第十二讲(2多元函数微分法)

模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。

另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。

可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。

多元函数微分公式法1.偏导数的定义考虑一个具有两个自变量的多元函数$f(x,y)$，其中$x$和$y$分别代表两个自变量。

在其中一点$(x_0,y_0)$处，偏导数$\frac{\partialf}{\partial x}$表示函数$f(x,y)$对于变量$x$的变化率。

类似地，偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}$表示函数$f(x,y)$对于变量$y$的变化率。

偏导数的定义如下：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$$$\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$2.全微分的定义全微分表示函数$f(x,y)$在其中一点$(x_0,y_0)$附近的微小变化。

全微分记作$df$，它可以看作是函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的局部线性近似。

全微分的定义如下：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partialf}{\partial y}dy$$其中$dx$和$dy$分别代表自变量$x$和$y$的微小变化量。

3.多元函数微分公式$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + ... + \frac{\partial f}{\partialx_n}dx_n$$或者写成更紧凑的形式：$$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$这个公式描述了函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在其中一点$(x_1,x_2,...,x_n)$处的微小变化。

第十二章 多元函数的微分学 (24 时 )教学目的与要求1熟练掌握求偏导数、特别是求多元复合函数的偏导数的运算； 2理解全微分的概念及意义； 3掌握求高阶偏导数的方法；4 理解方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度；5理解一阶全微分方程的形式不变性；6 能将简单的二元函数展开成Taylor 公式或马克劳林公式，并知道两公式的意义；7 理解隐函数的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；8 知道函数组)(22R R 在一点的邻域存在反函数组的条件；9 会求隐函数（组）的偏导数和高阶导数。

10 会求空间曲线的切线方程和法平面方程、空间曲面的法线和切平面方程； 11会求二元函数的局部极值和最大（小）值，并能解决一些简单的应用问题。

12 掌握取条件极值的必要条件的证法，并会应用Lagrange 乘数法求条件极值； 13 能将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点1多元复合函数的偏导数及全微分的求法；2 方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度；3 空间曲线的切线方程和法平面方程、空间曲面的法线和切平面方程；4二元函数的局部极值和最大（小）值的求法；5应用Lagrange 乘数法求条件极值；6 将实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学难点1多元复合函数的偏导数及全微分的求法；2简单的二元函数展开成Taylor 公式或马克劳林公式的求法；3 应用函数的最值解决一些简单的应用问题。

4 隐函数（组）的偏导数§ 1 偏导数与全微分 ( 4 时 )教学目的：1熟练掌握求偏导数、特别是求多元复合函数的偏导数的运算； 2理解全微分的概念及意义； 3掌握求高阶偏导数的方法4 理解方向导数和梯度的概念并能求方向导数和梯度教学过程 1 偏导数1.1偏导数的定义及几何意义P135----136由一元函数引入. ))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.1.2 求偏导数:例1、2、3 、4 （P 137—138） 例2 求下列函数的偏导数（1）),(y x f =)12sin()32(2+++y x x（2）),(y x f = 1)1ln(2+++y x x .（3）),(y x f =22yx y x ++.并求) 1 , 2 (-x f .（4）),(y x f =1223ln )2(22222++++-+x y y x x xy . 求) , 2 (y f y 和) 1 , 2 (y f . 解 ) , 2 (y f y =y y y f 4)2() , 2 (2='=',) 1 , 2 (y f =4), 2 (1='=y y f .例3 .0 , 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)s i n c o s (lim),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f =)0,0(0)s i n c o s (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim 300==-→→x x x x f x f x x ,) 0 , 0 (y f ||lim)0,0(),0(lim 200y y y y f y f y y →→=-= 不存在 .2 方向导数2.1 定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义 . l 为从点0P 出发的射线。