立体几何9

第9讲 立体几何截面和交线问题一、对于正方体（长方体）的截面问题应抓住两点：1.截面的边从何而来（是截面与正方体的表面的交线，故正方体截面最多是六边形。

2.对面交线平行，故正方体的四边形截面一定是平行四边形或梯形。

典例为：2003安徽高考数学填空题最后一题。

二、对于旋转体的组合体，截面方法是主要突破口。

一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A D ，11D C 的中点，则过B ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A ．B ．CD 【解答】解：如图，延长EF ，FE ，分别交11B C ，11B A 的延长线于点H ，G 连结BG ，BH ， 分别交1AA ，1CC 于点I ，J ，则五边形BIEFJ 为所求截面．平面1//B C 平面1A D ，∴平面BGH 与之交线//IE BJ ，棱长为2的正方体1111ADCB A D C B -中，可得BI GJ ==，EI FJ ∴===EF ， ∴则过D ，E ，F 三点的平面截该正方体，故选：C ．2．已知圆22:(2)4M x y -+=，过点(1,1)的直线中被圆M 截得的最短弦长为O 是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O 的截面，则最小截面的面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解答】解：由题意，正方体的棱的中点与O 的距离为，∴2=， ∴最小截面的面积为224ππ=，故选：B ．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为( )A ．B ．4+C ．D ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为， 故选：A ．4．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为2162⨯⨯=故选：D ．5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，，α截此正方体所得截面最大值为：26． 故选：A ．6．体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A ．[4π，12]πB ．[8π，16]πC ．[8π，12]πD ．[12π，16]π【解答】解：设3BC a =，则2R a =，体积为的正三棱锥A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，∴2193a h =224h a ∴=，222())R h R =-+，2222244(2)3a a a a∴=-+，2a ∴=， 6BC ∴=，4R =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =， ODB ∴∆中，4OD OB ==，6DB =，3cos 4ODB ∠=，OE ∴=，截面垂直于OE =，截面圆面积为8π， 以OE 所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，∴所得截面圆面积的取值范围是[8π，16]π．故选：B ．7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是( )A ．,2)πB ．[]πC ．}D ．[,)2π 【解答】解：圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2， 设轴截面的中心角为2α，由条件得：42ππα<，2sin 2r r l α==， 解得2r ，222r lππθ==，∴2θπ<，θ∴的取值范围是,2)π．故选：A ．8．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )A ．14B C D ．1【解答】解：补成正方体如图：由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，可得1KL KN +=； 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥； KN KL ∴⊥，(2MNKL NK KL S NK KL +∴=⋅四边形21)4=， 当且仅当NK KL =时取等号．故选：A ．9．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(α )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个【解答】证明：由侧面PAD 与侧面PBC 相交，侧面PAB 与侧面PCD 相交， 设两组相交平面的交线分别为m ，n ， 由m ，n 确定的平面为β， 作α与β平行且与四条侧棱相交， 交点分别为1A ，1B ，1C ，1D 则由面面平行的性质定理得： 1111////A B m D C ，1111////A D n B C ，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个． 故选：D ．10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上任取一点P ，以A 为球心，AP 为半径作一个球．设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当1x =；②当12x =；③当x ①当1x =时，以A 为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；②当12x =时，以A 为球心，12为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x =．以A 其弧长为：1332142ππ⨯⨯⨯=，且为函数()f x 的最大值；对照选项，B 正确． 故选：B ．11．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )A ．56π B ．23π C ．π D ．76π 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为：5326πππ+=． 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的棱AP 、AB 、AC P 为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．23π B ．56π C ．π D ．32π【解答】解：如图，AP 1AN =，6APN π∠=，12NPM π∠=，∴2126MN ππ=⨯=．同理6GH π=，122HN ππ=⨯=，2233GM ππ=⨯=，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于2366232πππππ+++=． 故选：D ．13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD -，各侧棱长都为16，以O 为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD -相交部分的体积是( ) A ．29π B ．89πC ．169πD ．43π 【解答】解：连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，∴四棱锥O ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，各侧棱长均为以O 为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体； 而以O 为球心，2为半径的球正好在正方体的内部； 则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的16； 因此以O 为球心，2为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是314162639V ππ=⨯⨯⨯=，故选：C ．二．多选题（共2小题）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A ．点1C ，1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=︒D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取BC 中点E ，1CC 中点F ，则有六边形MQNPEF 为正六边形， 对于A ，根据正方体的对称性，可得点1C ，1D 到平面MQNPEF 的距离相等，A ∴正确； 对于B ，PN 与QM 为共面直线，故B 错；对于C ，在正六边形MQNPEF 中，设1PN =，则2PM =，MN =222MN PN PM ∴+=，则MN PN ⊥，故C 正确；对于D ，平面PMN 截该正方体的截面为正六边形，故D 正确． 故选：ACD ．15．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列结论成立的有( )A ．存在点G ，使OD 垂直于平面EFGB ．对于任意点G ，//OA 平面EFGC ．直线EF 的被球OD ．过直线EF 的平面截球O 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2π 【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心O ，1R =， 对于A ，当G 为BC 的中点时，EG BD ⊥，1BB EG ⊥， 1BB BD B =，EG ∴⊥平面1BB D ，而1B D ⊂平面1BB D ，则1EG B D ⊥，同理，FG ⊥平面1B CD ，可得1FG B D ⊥， EGFG G =，1B D ∴⊥平面EFG ，即OD 垂直于平面EFG ，故A 正确；对于B ，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ， OA ∴与平面EFG 相交，此时//OA 平面EFG 不成立，故B 错误；对于C ，EF ===EF 的中点M ， 由对称性可知，OE OF =，OM EF ∴⊥，2OE =OM ∴=O 到EF ，∴直线EF 的被球O 截得的弦长为=C 正确； 对于D ，设截面圆的半径为r ，O 到平面的距离为d ，则222r d R +=， 当O 到平面的距离最大时，截面圆的半径r 最小，O 到平面的距离小于等于O 到EF 的距离，∴当d =时，min r =，∴半径最小的圆的面积为22r ππ=，故D 正确．故选：ACD ．三．填空题（共17小题）16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为1053++． 【解答】解：如图所示：过点F 作//FH AE 交11A D 于H ，由题意可得AE == 易知11D H =，可得HF =所以点H 为11A D的四等分点，可得5AH ===， 所以11114D H A D =， 过点E 作//EP AH 交1CC 于点P ， 则△1AA H PCE ∆∽， 所以11AA CP A H CE =，解得83CP =， 所以截面与11BCC B的交线段长为103PE =，PF ，可得截面的周长10105533L AE EP PF FH HA =++++==++故答案为：1053+ 17．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的中点，∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面为梯形1APQD ，12AD PQ ==，1AP D Q ==∴过点A ，P ，Q 的平面α截该正方体所得的截面的周长为：11L AP PQ QD AD =+++=故答案为：．18．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1CC 的中点，若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中BD AC ⊥， BD AM ∴⊥（三垂线定理）， 取1BB 中点N ，11A B 中点E ，连MN ，AN ，BE ， 可知BE AN ⊥，BE AM ∴⊥（三垂线定理），AM ∴⊥平面DBE ，取11A D 中点F ， 则α即为截面BEFD ，易求周长为故答案为19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 12π ． 【解答】解：设圆柱的轴截面的边长为x ，则由28x =，解得x =其表面积为：222212S S S πππ=+=⨯⨯+=侧圆柱表底．故答案为：12π．20．正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，M ，N ，P 分别是棱11A D ，1A A ，11D C 的中点，则过M ，N ，P三点的平面截正方体所得截面的面积为 【解答】解：如图所示；取正方体1111ABCD A B C D -棱AB 、BC 、1CC 的中点L 、K 、Q ， 连接NL ，LK 、KQ 、QP ，则六边形PQKLNM 是过M ，N ，P 三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为12NQ =其面积为162⨯⨯=．故答案为：．21．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为23π． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 与该正方体的各个面相切， 则球O 的半径为1，如图，设E 、F 、G 分别为球O 与平面ABCD 、平面11BB C C 、11AA B B 的切点， 则等边三角形EFG 为平面1ACB 截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得EF EG GF ===∴平面1ACB 截此球所得的截面圆的半径r =．∴截面的面积为223ππ⨯=． 故答案为：23π．22．球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，2AB =，E ，F 分别为棱AD ，1CC 的中点，则直线EF 被球O【解答】解：连结OE ，OF ，取EF 的中点M ，连结OM ． O 是正方体的中心，E ，F 是AD ，1CC 的中点，OE OF ∴=OM EF ∴⊥．又EF ==OM ∴． 球O 的半径为1r =，EF ∴被球O 截得弦长为23．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M ，N 两点，设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 ② ．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，MN ⊥平面11BB D D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线1BD 上从点B 向1D 运动时，x 变大y 变大，直到P 为1BD 的中点时，y 最大为AC ； 然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样． 故答案为：②．24．如图，正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和()GF EF +等于56π．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上； 另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为2AE =，1AA =， 则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为：263ππ⨯=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ，半径为1，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为：122ππ⨯=．于是，所得的曲线长为5326GF EF πππ+=+=． 故答案为：56π．25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A表面相交所得到的曲线的长等于． 【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =，11AA =，则16A AE π∠=．同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF的长为6π，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为，2FBG π∠=，所以弧FG 的长为2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=．26．已知正三棱锥P ABC -侧棱长为1，且PA 、PB 、PC 两两垂直，以顶点A个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为． 【解答】解：设以顶点A线是EFNM ，如图所示．则AE AF AM AN ====， 在直角三角形APE中，cos PAE ∠=，6PAE π∴∠=，∴()46ME ππ=-=，同理NF =； 在直角三角形PBC 中，2BPC π∠=，PE PF ==∴2EF π==在等边三角形ABC 中，MN AM ==，3MAN π∠=，∴3MN π==．则这条封闭曲线的长度为ME NF EF MN +++=．．27．以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 [0，12]π ．【解答】解：以棱长为2的正方体中心点O 为球心，以(1r r <<为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧），∴根据勾股定理可以算出：O 点到正方体各个面距离为1，O以O 点为球心，以(1r r <<为半径的球，当r 为1时球刚好和棱长为2的正方体六个面相切，∴此时若干个圆（或圆弧）的总长度为0；当r 0； 球与正方体表面相交的圆正好与正方体的十二个棱边相切的时候若干个圆（或圆弧）的总长度才是最大的， 一共是6个圆，而且正方形的棱长为2，∴每个圆的直径是2，则每个周长是2π，∴圆的总长度最大为6212ππ⨯=，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是：[0，12]π． 故答案为：[0，12]π．28．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，以其体对角线的交点O 为半径的球与正方体表面的交线长为． 【解答】解：依题意，球心O 到正方体表面的距离为1， 设正方形ABCD 的中心为1O ，正方形ABCD 所在平面裁球O 所得的圆的半径1r =>． 故球O 与每一个面的交线均为四段圆弧，且13EO F π∠=．故四段圆弧的圆心角之和为2()4233πππ-⨯=，故一个面上的交线长23l π==，则66⨯=，29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以表面所截得的所有弧长的和为 6π ．【解答】解：如图，不妨以D 为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分， 与上底面截得的弧长，是以1D 为圆心，以4为半径的四分之一圆周， 则弧长：111824AC ππ=⨯=． ∴该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为6π．故答案为：6π．30．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号） ①当102CQ <<时，S 为四边形 ②当12CQ =时，S 为等腰梯形③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R = ④当314CQ <<时，S 为四边形⑤当1CQ =时，S【解答】解：如图当12CQ =时，即Q 为1CC 中点，此时可得1//PQ AD ，1AP QD ==，故可得截面1APQD 为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q 向C 移动时，满足102CQ <<，只需在1DD 上取点M 满足//AM PQ ， 即可得截面为四边形APQM ，故①正确； ③当34CQ =时，如图， 延长1DD 至N ，使112D N =，连接AN 交11A D 于S ，连接NQ 交11C D 于R ，连接SR ， 可证//AN PQ ，由11NRD QRC ∆∆∽，可得1111::1:2C R D R C Q D N ==，故可得113C R =，故③正确；④由③可知当314CQ <<时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故④错误；⑤当1CQ =时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，可证1//PC AF ，且1PC AF =，可知截面为1APC F 为菱形，故其面积为112AC PF ⋅，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤．31．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，若102CQ<，则S 的面积取值范围是 3(4，9]8．【解答】解：在1CC 上取点M 使得2CM CQ =，在1DD 上取点N ，使得DN CM =，连接BM ，AN ，MN ，CN ，AP ，则PQ 为BCM ∆的中位线，//PQ BM ∴，//DN CM =，CD CM ⊥，∴四边形CDNM 是矩形， ////MN CD AB ∴==，∴四边形ABMN 是平行四边形，//AN BM ∴，//AN PQ ∴，故截面多边形为梯形APQN ， 设CQ x =，则PQ =，2AN BM PQ ===， 取AD 的中点O ，过O 作OE AN ⊥，过D 作DF AN ⊥，则可证PE AN ⊥，则DF =，12OE DF ∴=，PE ∴∴梯形APQN的面积为S =102x<，∴3948S <．故答案为：3(4，9]8．32．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q的平面截正方体所得的截面为S ，当1CQ =时，S 的面积为．【解答】解：当1CQ =时，1C 与Q 重合，取11A D 中点E ，则菱形1APC E 就是过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面，1AC =PE =∴过点A ，P ，Q 的平面截正方体所得的截面为：112S AC PE =⨯⨯=．．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD -中，30BAC ∠=︒，AB a =，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H ．（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由．（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明．【解答】解：（1）//=，AD⊂面ACDAD面EFGH，面ACD⋂面EFGH HG∴．（2分）//HG EF同理//EH FG，∴四边形EFGH是平行四边形（3分）三棱锥A BCD-是正三棱锥，∴在底面上的射影O是BCDA∆的中心，DO BC∴⊥，∴⊥，AD BC∴⊥，四边形EFGH是矩形（5分）HG EH（2）当AP=时，平面PBC⊥平面EFGH．（7分）证明如下：作CP AD⊥于P点，连接BP，⊥，AD BC∴⊥面BCP（10分）ADHG AD，//∴⊥面BCP，HG⊂面EFGH⇒面BCP⊥面EFGH，HG在Rt APC=，∠=︒，AC a∆中，30CAPAP ∴（12分） 34．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点G 在棱11D C 上，且11114D G D C =，点E 、F 、M 分别是棱1AA 、AB 、BC 的中点，P 为线段1B D 上一点，4AB =． （Ⅰ）若平面EFP 交平面11DCC D 于直线l ，求证：1//l A B ； （Ⅱ）若直线1B D ⊥平面EFP ． ()i 求三棱锥1B EFP -的表面积；()ii 试作出平面EGM 与正方体1111ABCD A B C D -各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM 与棱11A D 交于点Q ，求三棱锥Q EFP -的体积．【解答】解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面EFP ⋂平面11ABB A EF =， 所以//EF l ，因为点E 、F 分别是棱1AA 、AB 的中点， 所以1//EF A B ， 所以1//l A B ．（2）()i 因为直线1B D ⊥平面EFP ，EP ⊂平面EFP ， 所以1B D EP ⊥，又因为DAE ∆≅△11B A E ， 所以1DE B E =， 所以1DP B P =，因为2EFP S ∆==11122EPB FPB S S ∆∆+=⨯⨯1162EFB S ∆=⨯=，所以三棱锥1B EFP -的表面积为6+ ()ii 作图步骤如下：连接GE ，过点G 作GH DC ⊥于点H ，连接HA 并延长交GE 的延长线于点I ，连接IM 并延长交AB 于点J 交DC 的延长线于点K ，再连接GK 交1CC 于点S ，连接MS 并延长交11B C 的延长线于点R ，连接RG 并延长交11A D 于点Q ，再连接EQ ，GS ，EJ ，则图中EQ ，QG ，GS ，SM ，MJ ，JE 即为平面EGM 与正方体各个面的交线．设BJ CK x ==，由题知 23AJ HC CK x =+=+，所以1322x AJ HK +==，所以342xx ++=，解得53x =， 因为11139553C R C S GC MC SC CK ====， 2MC =，∴1185C R =，所以111635D Q C R ==，如上图，设N 为线段11A D 的中点，可证点N 在平面PEF 内，且三角形PNE 与三角形PEF 面积相等， 所以，三棱锥Q EFP -的体积=三棱锥Q ENP -的体积=三棱锥P ENQ -的体积183215ENQ AB S ∆==，所以三棱锥Q EFP - 的体积为815． 35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD -中，F 是AC 上的一点，过F 作平行于棱AB 和棱CD 的截面，分别交BC ，AD ，BD 于E ，G ，H ． （1）证明截面EFGH 是矩形；（2）F 在AC 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．【解答】证明：（1）//AB 平面EFGH ，平面ABC ⋂平面EFGH EF = //AB EF ∴同理//AB GH //EF GH ∴同理////EH CD FG∴四边形EFGH 是平行四边形取CD 中点S ，连接AS ，BS AC AD =，S 是CD 中点 AS CD ∴⊥同理BS CD ⊥ 又ASBS S =CD ∴⊥平面ABSCD AB ∴⊥又//AB EF ，//FG CDEF CD ∴⊥即四边形EFGH 是矩形 解：（2）设FG x =，(0,1)x ∈ 由（1）知FG AF AB EFCD AC AB-==， 又1CD AB == 1EF x ∴=-则(1)EFGH S EF FG x x ==- 211()24x =--+∴当12x =时，EFGH S 最大 即F 是AC 的中点时，截面面积最大36．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11AA =，AB 2AC =，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点．（1）求异面直线EF 与1A B 所成角的大小；（2）若G 为线段1AA 的中点，试在图中作出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．【解答】解：（1）连接1BC ，则EF 为1BCC ∆的中位线， 故11A BC ∠为所求异面直线所成的角． 又1111AC A B ⊥，111AC A A ⊥，且1111AAA B A =，11AC ∴⊥平面11ABB A ，1190C A B ∠=︒．在Rt △11C A B 中，112AC =，12A B =，1145A BC ∴∠=︒，故异面直线EF 与1A B 所成角的大小为45︒；（2）取AB 中点M ，连接EG 、MG 、MF ，可得//EG AC ，//MF AC ， //MF EG ∴，则M 、F 、E 、G 四点共面，则EFMG 为所求截面的多边形．11111212ABC A B C ABC V S AA -∆=⋅=⨯=，连接AF ，GF ，则ACEGMF G AMF F ACEG V V V --=+111111232232=⨯⨯+⨯⨯=∴519=．37．已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆与BCD ∆均为等腰直角三角形，且90BAC ∠=︒，6BC CD ==，E 为AD 上一点，且CE ⊥平面ABD ． （1）求证：AB CD ⊥；（2）过E 作一平面分别交AC ，BC ，BD 于F ，G ，H ，若四边形EFGH 为平行四边形，求多面体ABEFGH 的表面积．【解答】（1）证明：90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥，CE ⊥平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，CE AB ∴⊥， 又AC CE C =，AB ∴⊥平面ACD ，则AB CD ⊥；（2）解：在等腰直角三角形BCD 中，BC CD =，BC CD ∴⊥， 又AB CD ⊥，AB BC B =，CD ∴⊥平面ABC ，得CD AC ⊥．在等腰直角三角形ABC 中，6BC =，AC ∴=又Rt ACD ∆中，6CD =，CE AD ⊥，AD ∴==而2AC AE AD =，可得AE =，故13AE AD =． 四边形EFGH 为平行四边形，//EF GH ∴，得//EF 平面BCD ， 又EF ⊂平面ACD ，且平面ACD ⋂平面BCD CD =，//EF CD ∴．又13AE AD =，得123EF CD ==，且有13AF AC = 由CD ⊥平面ABC ，得CD FG ⊥，进而EF FG ⊥．同理可得//FG AB ，且23FG AB ==进一步求得2BG =，2GH =，EH =．在ABD ∆中，由222AB AD BD +=，得AD AB ⊥． 则122AEF S AF FE ∆==，122BGH S BG GH ∆===， 1()52ABGF S FG AB AF =+=，2EFGH S =⨯= 1()532AEHB S EH AB AE =+=∴所求表面积为7S =+。

第9讲 立体几何一、填空题1、正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于ECDPAB2、圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为3、如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为4、右图是正四面体的平面展开图，M N G 、、分别为DE BE FE 、、的中点，则在这个正四面体中，MN 与CG 所成角的大小为 .5、已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是6、若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．7、如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是▲ABCNEGM DF8、如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 .9、如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .10、如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.11、在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 （结果用反三角函数表示）．12、若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）13、如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是PABCDEA BCD P二、选择题1、在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥2、设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是（ ）. （A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠⊂ （D ）若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥3、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β三、解答题1、如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1所成角的大小为21arctan，求正四棱柱1111D C B A ABCD -的体积.2、如图，在四棱锥P ABCD -的底面梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AB =，3AD =，45ADC ∠=︒．又已知PA ⊥平面ABCD ，1PA =．求：（1）异面直线PB 与CD 所成角的大小. （2）四棱锥P ABCD -的体积．PDCBA 第26题3、如图，四棱锥P ABCD -的侧棱都相等，底面ABCD 是正方形，O 为对角线AC 、BD 的交点，PO OA =，求直线PA 与面ABCD 所成的角的大小．4、一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r . （1）试确定R 与r 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比； （2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比.5、在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示． (1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； (2)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积．PABCD OABO1O Rr6、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，21===AA AC AB ，点E 、F 分别为棱AC 与11B A 的中点．（1）求三棱锥11EFC A -的体积；（2）求异面直线C A 1与EF 所成角的大小．7、如图，在四棱锥P –ABCD 的底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB =2，AD=3，∠ADC =45︒.已知P A ⊥平面ABCD ，P A =1．求：(1)异面直线PD 与AC 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)；(2)三棱锥C –APD 的体积．8、如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N . （1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）F CAEBA 1C 1B 1P DCBAA BCDA 1B 1C 1D 1PMNDCBAD 1A 1C 1B 1M第11题图9、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .10、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。

2020届苏州市高三数学过关题9 立体几何一.填空题 1. 给出下列命题：①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行． 上面命题中，真命题的序号__________.2. 已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒.其中正确命题的序号是__________.3. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ；②若βα//,l l ⊥，则βα⊥；③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ；④若γαβα//,⊥，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是__________.4. 如图，圆柱内有一个内接长方体1AC ，长方体的对角线为210，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形面积为π100，圆柱的体积__________.5. 一个长方体的三条棱长分别为3，8，9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为__________.6. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 __________.7. 如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为__________cm 3．8. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________.9. 如图，已知正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为__________cm.10. 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为__________.11. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为__________.12. 如图，在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，D 1C 1上的动点，点G 为正方形B 1BCC 1的中心，则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为__________.13. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的 动点，设1,AE x B F y ==，若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围为__________.14. 一个封闭的正三棱柱容器，高为2a ，内装水若干（如 图甲，底面处于水平状态）.将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点为11,,,E F F E ,分别为所在棱的中点，则图甲中水面高度为__________. 二.解答题15. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E 、分别是棱1BC CC 、上的点（点D 不同于点C ），且AD DE ⊥，F 为棱11B C 上的点，且111A F B C ⊥．F E 1EF 图乙A 1B 1CB图甲A B 11CB A求证：（1）平面ADE 平面BCC B；11（2）A F∥平面ADE．1FA B CPDE16. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证：（1）EF ∥平面PAD ；（2）EF ⊥平面PDC .17.如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是△ABC 的中心． (1)若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；(2)若AD 上存在点N ，使MN ∥平面BCD ，求ANND的值．18.如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥ 平面BCE ，BE EC ⊥．DB（1）求证：平面AEC ABE ⊥；（2）若点F 在BE 上，且//DE 平面//ACF ，求BFBE的值．19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AB ，11B C 的中点．（1）求证：//MN 平面11AA C C ；（2）若11CC CB =，CA CB =，平面11CC B B ⊥ 平面ABC ，求证：AB ⊥ 平面CMN ．NC 1B 1BA 1MCA20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，若4,43,28AD BD AB CD ====．（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥ 平面PAD ； （2）当M 点位于线段PC 什么位置时，//PA 平面MBD ？ （3）求四棱锥P ABCD -的体积．2020届苏州市高三数学过关题9 立体几何立体几何是江苏高考的必考知识点，一般考查填空题一题（中间位置左右），解答题一题（第15题或第16题）。

面上，则该球的表面积为（ ）
． ． ． ． A 100π B 128π C 144π D 192π
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1, r2 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
设正方体棱长为 ，则 ， ， ， 1
C1O =
2 2
BC1 = 2
sin ∠C1BO
=
C1O BC1
=
1 2
6 / 36
所以，直线 BC1与平面 BB1D1D 所成的角为30 ，故 C 错误；
因为C1C ⊥ 平面 ABCD，所以∠C1BC 为直线 BC1 与平面 ABCD所成的角，易得∠C1BC = 45 ，故 D 正确. 故选：ABD ．（ 5 2023 新高考Ⅰ卷·12）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度 忽略不计）内的有（ ）
棱台上底面积 ，下底面积 ， S =140.0km2 =140×106m2
S′ = 180.0km2 = 180×106m2
∴ ( ) ( ) V = 1 h S + S′ + SS′ = 1 × 9 × 140×106 +180 ×106 + 140×180×1012
3
3
( ) ． = 3× 320 + 60 7 ×106 ≈ (96 +18× 2.65)×107 = 1.437 ×109 ≈ 1.4×109 (m3)
A．直径为0.99m 的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m 的圆柱体 D．底面直径为1.2m ，高为 0.01m 的圆柱体 【答案】ABD 【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项 A：因为0.99m <1m ，即球体的直径小于正方体的棱长， 所以能够被整体放入正方体内，故 A 正确； 对于选项 B：因为正方体的面对角线长为 2m ，且 ， 2 >1.4 所以能够被整体放入正方体内，故 B 正确； 对于选项 C：因为正方体的体对角线长为 3m ，且 ， 3 <1.8 所以不能够被整体放入正方体内，故 C 不正确； 对于选项 D：因为1.2m >1m ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图，过 AC1的中点O 作OE ⊥ ，设 AC1 OE I ， AC = E