江苏省高考数学提分专练：第 20 题 平面解析几何（解答题）
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一、 真题演练 (共 5 题；共 60 分)
1. （12 分） (2016 高二下·绵阳期中) 已知函数 f（x）= x3﹣2ax2+3x（x∈R）． （1） 若 a=1，点 P 为曲线 y=f（x）上的一个动点，求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2） 若函数 y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数 a． 2. （12 分） (2020 高三上·青浦期末) 已知焦点在 轴上的椭圆 上的点到两个焦点的距离和为 10，椭
圆 经过点
.
（1） 求椭圆 的标准方程；
（2） 过椭圆 的右焦点 作与 轴垂直的直线 ，直线 上存在 、 两点满足
，
求△
面积的最小值；
（3） 若与 轴不垂直的直线 交椭圆 于 、 两点，交 轴于定点 ，线段 的垂直平分线
交 轴于点 ，且
为定值，求点 的坐标.
3. （12 分） (2017 高三上·张家口期末) 已知 M 是直线 l：x=﹣1 上的动点，点 F 的坐标是（1，0），过 M 的 直线 l′与 l 垂直，并且 l′与线段 MF 的垂直平分线相交于点 N
（Ⅰ）求点 N 的轨迹 C 的方程
（Ⅱ）设曲线 C 上的动点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，点 P 的坐标为（2，0），直线 AP 与曲线 C 的另一个交点 为 B（B 与 A′不重合），直线 P′H⊥A′B，垂足为 H，是否存在一个定点 Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
4. （12 分） (2020·大连模拟) 已知离心率为
别为
，
，直线 ：
的椭圆 ：
的上下顶点分
与椭圆 Q 相交于 C，D 两点，与 y 相交于点 M .
（Ⅰ）求椭圆 Q 的标准方程；
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（Ⅱ）设直线 ， 相交于点 N，求
的值.
5. （12 分） (2019 高三上·江西月考) 已知圆 C 过点（4,1），（0,1），（2,3），过点 交于 M，N 两点．
的直线与圆 C
（1） 若圆 ：
，判断圆 C 与圆 的位置关系，并说明理由；
（2） 若
，求
的值．
二、 模拟实训 (共 10 题；共 120 分)
6. （12 分） (2013·天津理) 设椭圆
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
．
（1） 求椭圆的方程；
=1（a＞b＞0）的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x
（2） 设 A，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点．若 =8，求 k 的值．
7. （12 分） (2017 高三下·深圳月考) 已成椭圆
顶点的距离为 ，过点
的直线 与椭圆 相交于
（1） 求椭圆 的方程；
两点．
的离心率为
．其右顶点与上
（2） 设 是 中点，且 点的坐标为
，当
时，求直线 的方程．
8. （12 分） (2020·浙江) 如图，已知椭圆 C1： +y2＝1，抛物线 C2：y2＝2px（p＞0），点 A 是椭圆 C1 与抛物线 C2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 C1 于点 B，交抛物线 C2 于 M（B，M 不同于 A）．
（Ⅰ）若 p＝
，求抛物线 C2 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值．
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9. （12 分） (2018·上饶模拟) 在平面直角坐标系
中，椭圆 ：
轴长为
，离心率为 ．
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 已知 为椭圆 于另一点 ，若
的上顶点，点 ，求点
为 轴正半轴上一点，过点 作 的坐标．
（）
的短
的垂线 与椭圆 交
10. （12 分） (2017·太原模拟) 已知椭圆 C：
的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角
形的三个顶点，点 D
在椭圆 C 上，直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、P 两点，与 x 轴、y 轴分别相交于点 N
和 M，且 PM=MN，点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点 B，过点 A、B 分别作 x 轴的垂涎，垂足分
别为 A1、B1
（1） 求椭圆 C 的方程；
（2） 是否存在直线 l，使得点 N 平分线段 A1B1？若存在，求求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由．
11. （12 分） (2020·西安模拟) 已知椭圆 ：
连结 TF 并延长与椭圆 交于点 S ， 且
.
的上顶点为
，右焦点为 F ，
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（1） 求椭圆 的方程；
（2） 已知直线
与 x 轴交于点 M ， 过点 M 的直线 AB 与 交于 A、B 两点，点 P 为直线
上任意
一点，设直线 AB 与直线
交于点 N ， 记 PA ， PB ， PN 的斜率分别为 ， ， ，则是否存在实数
，使得
恒成立？若是，请求出 的值；若不是，请说明理由.
12. （12 分） (2019 高二上·绍兴期末) 已知椭圆 （Ⅰ）求椭圆 的方程；
的离心率为 ，长轴长为 ．
（Ⅱ）若直线 与椭圆 求点 的轨迹方程．
交于
， 两点，坐标原点
在以
为直径的圆上，
于 点．试
13. （12 分） (2017 高三上·集宁月考) 已知抛物线
为 P,与抛物线的交点为 Q,且
.
的焦点为 F,直线
与 x 轴的交点
（1） 求抛物线的方程;
（2） 过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A,D 两点,与圆
相交于 B,C 两点(A,B 两点相邻),过 A,D 两
点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点 M,求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值.
14. （12 分） (2019 高三上·宁波期末) 过抛物线
在
处的切线交于 .
的焦点 的直线交抛物线于
两点，抛物线
（1） 求证： （2） 设
； ，当
时，求
的面积 的最小值.
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