10.3组合⑴-组合与组合数公式1

组合数常用公式
在组合数理论中，有几个常用的公式：
1. 组合数的定义公式：
组合数（Combination）表示从n个不同元素中选择r个元素，记作C(n,r)，计算公式为：
C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)
2. 二项式定理：
二项式定理表达了两个数的和的幂展开的公式，即：
(a + b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n
3. 杨辉三角形：
杨辉三角形是由组合数构成的一个数表，它具有以下特点：
- 每一行的两端元素都是1。

- 从第三行开始，每个元素的值等于它上方两个元素的和。

- 杨辉三角形可用于计算组合数。

这些是组合数理论中常用的公式，可用于计算组合数和展开二项式等问题。

组合与组合数公式从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．组合数公式：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，称之，用符号表示，如从6个元素中取出2个元素的组合数为.【评述】区分一个排列与一个组合的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是组合问题．求从个不同元素中取出个元素的排列数，可分为以下两步：第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数为；第2步，求每一个组合中个元素的全排列数为．根据分步计数原理，得到公式1：公式2：组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .例1 在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4。

6，8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数．分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素，因此可以根据选零不选零为分类标准。

解：第一类：五位数中不含数字零。

第一步：选出5个数字，共有种选法．第二步：排成偶数—先排末位数，有 种排法，再排其它四位数字，有种排法．∴（个）第二类：五位数中含有数字零．第一步：选出5个数字，共有种选法。

第二步：排顺序又可分为两小类；（1）末位排零，有种排列方法；（2）末位不排零．这时本位数有种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有种排法，其余3个数字则有种排法．∴∴符合条件的偶数个数为（个）说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解．请读者自行完成．例2有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。

现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人}先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。

组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质组合数定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法C mn组合数 公式 乘积式 C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！性质 C mn ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 备注①n ，m ∈N *且m ≤n ；②规定：C 0n ＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 23.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)C 35＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3n ＝8C 2n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案：A计算：(1)C 37＝________；(2)C 1820＝________． 答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，Cm nCm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x.解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3，所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。

组合及组合数公式1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m_(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．3．组合数公式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，m≤n)．探究点一组合的概念例1判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？探究点二组合的列举问题思考怎样写一个问题的所有组合？答和解排列问题类似，可以借助树形图来写一个问题的所有组合，组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序(如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b 等)来考虑，否则就会出现重复或遗漏．例2从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素，写出所有的组合形式．踪训练2写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合．探究点三组合数公式及应用思考1对比排列数的定义，能否给组合数下一个定义？答从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．思考2 由例2看出组合数C 34与排列数A 34有什么关系？你能写出求C 34的公式吗？答 由例2可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步计数原理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33.例3(1)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1；(2)若C 4n >C 6n ，则n 的取值集合为________．跟踪训练3 (1)计算C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值； (2)求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n.例4现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？巩固练习：1.已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为________．答案 42．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种．答案 1203．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．答案 964．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．答案 705.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，求其中一个数是另一个数的两倍的概率．6．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有________．答案70组合的应用探究点一组合数的两个性质思考1“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数有什么关系？答思考2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？(4)由(1)(2)(3)问的结果你能得到怎样的关系？答思考3由思考1、2你能得出组合数的性质吗？如何证明？答组合数具备以下两个性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.例1计算下列各式的值．(1)C9699＋C9799；(2)C n n＋1·C n－2n；(3)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(4)A23＋A24＋A25＋…＋A2100.探究点二简单的组合应用题例2某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？跟踪训练27名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案140例3 (1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？探究点四有限制条件的组合问题例4在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？。