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1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于｜F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝｛M｜｜｜MF1|－｜MF2｜|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a，c 为常数且a〉0，c〉0。
(1）当2a<｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线;(2）当2a＝|F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3）当2a〉|F1F2｜时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!－错误!＝1（a〉0，b〉0)y2a2－错误!＝1(a〉0，b〉0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a,0)，A2(a，0）A1（0，－a)，A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈(1,＋∞）,其中c＝错误!实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b〉0）系【知识拓展】巧设双曲线方程（1)与双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t（t≠0)．（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn〈0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×”）(1）平面内到点F1（0，4)，F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ×）(2）方程错误!－错误!＝1（mn〉0）表示焦点在x轴上的双曲线．（×）(3)双曲线方程错误!－错误!＝λ(m〉0，n>0,λ≠0)的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0.( √）(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.（√）（5)若双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0）与错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率分别是e1，e2,则错误!＋错误!＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）．（√）1．(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A。
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1。
双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的等于非零常数（小于|F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做。
集合P=｛M｜||MF1｜—｜MF2||=2a｝，|F1F2｜=2c,其中a〉0,c>0，且a，c为常数。
（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；（2)若a c,则点M的轨迹是两条射线；(3)若a c，则点M不存在。
2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1（a〉0，b>0）；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2 a2−x2b2=1（a>0,b〉0)。
3。
双曲线的性质续表1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0，b>0)上一点M（x0，y0)的切线方程为x0x a2−y0yb2=1.2。
双曲线x2a2−y2b2=1（a〉0,b〉0）的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2tanθ2。
3。
若点P（x0，y0）在双曲线x2a2−y2b2=1（a〉0,b>0）内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
4。
双曲线中点弦的斜率公式设点M(x0,y0）为双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0，b〉0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则k AB·k OM=b2a2,即k AB=b2x0a2y0。
5.双曲线的焦半径公式双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0，b〉0)的焦点为F1（—c，0），F2(c，0），当点M(x0，y0)在双曲线右支上时,|MF1｜=ex0+a,｜MF2|=ex0-a；当点M（x0，y0)在双曲线左支上时,|MF1｜=-ex0-a，|MF2|=—ex0+a。
6。
若P是双曲线右支上一点,F1，F2分别为双曲线的左、右焦点,则｜PF1|min=a+c,｜PF2|min=c—a。
