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第三十三讲二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式
Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平 面区域(半平面)不包括边界直线,不等式Ax+By+C≥0所表 示的平面区域(半平面)包括边界直线.
原料 药剂
A B
甲
乙
2
5
5
4
药剂A､B至少各配一剂,且药剂A､B每剂售价分别为100元､200 元,现有原料甲20 kg,原料乙25 kg,那么可以获得的最大 销售额为( )
A.600元
B.700元
C.800元
D.900元
解析 : 设配制药剂A为x剂,药剂B为y剂,则有不等式组
2x 5y≤20,
z=x+y取得最大值6.
答案:C
类型一
二元一次不等式表示的平面区域
解题准备:确定二元一次不等式(组)表示的平面区域有两种 方法:一是用特殊点定区域,二是用B的符号与不等式的符 号定区域.
即
Ax
B 0, By C
0
及
Ax
B 0, By C
0
表示直线Ax
By
A.(-14,16)
B.(-14,20)
C.(-12,18)
D.(-12,20)
解析:由题可知,平行四边形ABCD的顶点D的坐标为(0,-4),点 (x,y)在平行四边形内部,如图,所以在D(0,-4)处目标函数 z=2x-5y取得最大值为20,在点B(3,4)处目标函数z=2x-5y 取得最小值为-14,由题知点(x,y)在平行四边形内部,所以 端点取不到,故z=2x-5y的取值范围是(-14,20),故选B.
7 20.
即应截第一种钢板4张, 第二种钢板8张, 或第一种钢板6张,
第二种钢板7张, 得所需三种规格的钢板, 且使所用钢板的
面积最小.
[反思感悟]在可行域内找整点最优解,一般采用平移找解 法,即打网格､描整点,平移直线,找出整点最优解.另外也 可找临近的整点,验算选最优解.
错源一 混淆“线性规划”与“一般规划”
(2)Ax+By+C≥0(≤0):表示直线l:Ax+By+C=0某一侧含边界直 线上的所有点组成的平面区域,直线l应画成实线.
x y 5≥0
【典例1】画出不等式组
x y≥0
表示的平面区域,并
x≤3
回答下列问题 :
1指出x, y的取值范围;
2 平面区域内有多少个整点?
x 2 y 19≥0
【典例1】设二元一次不等式组
x y 8≥0
[分析]本题属第二种类型,是一道整点最优解问题,先用最优 解的方法,求可行域和目标函数,然后在可行域上求满足条 件的整数解.
[解]设需截第一种钢板x张, 第二种钢板y张, 所用钢板面
x y≥12,
积为zm2
,
则
x
3
2x y≥15, y≥27,其中x, y为整数.
x≥0,
2.基本概念 (1)线性约束条件:由x,y(或方程)组成的不等式组,是关于x
与y的一次不等式(或等式). (2)目标函数:要求最大值或最小值的函数如z=2x+y,z=x2+y2. (3)线性目标函数:关于x,y的一次函数. (4)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.
(5)可行域,由所有的可行解组成的集合叫做可行域. (6)最优解:使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优
x≤3
结合图中可行域得x
5 2
, 3
,
y
[3,
8].
(2)由图形及不等式组知
x≤y≤x 5
2≤x≤3
且x∈Z
当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;
当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;
当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;
当x=0时,0≤y≤5,有6个整点;
7x 5y 23≤0
【典例2】已知x､y满足条件
x
7
y
11≤0.
求
4x y 10≥0
1 4x 3y的最大值和最小值;
2 x2 y2的最大值和最小值.
[分析]本题考查线性约束条件下目标函数的最值问题,用
图解法求解.
[解]原不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(4,1),B(1,-6),C(-3,2).
C 0上方的区域.
Ax
B 0, By C
0
及
Ax
B 0, By C
0
表示直线Ax
By
C
0下方的区域.
即B的符号及不等式的符号 同号在上 异号在下
注意:(1)Ax+By+C>0(<0):表示直线l:Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域,直线应画成虚线.
4x
x
3y 3y
20 0 20
Hale Waihona Puke , 可得A点坐标( 22 , 4),然而点A不是整数, A点坐标不能作为最优解. 55
因经过点A的目标函数所确定的直线l为 :
7x 5y 34 4 , 5
令7x 5y 34,经验证可得 :
在可行域中与此直线l距离最近的整点为B2, 4,使
y≥0.
其中目标函数z x 2y,
作出可行域, 如图 作出一组平行直线x 2y t.
由
x 3y x y
1227,, 得A
9 2
, 15 2
.
由于点A
9 2
, 15 2
不是可行域内的整点,
而在可行区域内的
整点中,点4,8和点6, 7使z最小,且zmin 4 2 8 6 2
,B点到原点的距离最大,而当(x,y)在原点时,距离为 0.∴umax=(-1)2+(-6)2=37,umin=0.
[反思感悟]线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或 边界上取得,具体方法是:将目标函数的直线平行移动,最 先(或最后)通过的顶点便是.特别地,当表示线性目标函数 的直线与可行域的某边平行时,其最优解可能有无数个.
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题.
【典例3】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每 张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表.
规格类型 钢板类型
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 第二种钢板
1
2
1
1
1
3
每张钢板的面积,第一种为1m2,第二种为2m2,今需要A,B,C三 种规格的成品各12､15､27块,问各截这两种钢板多少张,可 得到所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小.
7x 5 y 34 4 距离较近的点有 5
(1,5),(2,4),(3,2),(4,1),可以代入S=7x+5y进行验证,则 得点(2,4)为最优解,使S最大.
类型三
线性规划的简单应用
解题准备:解线性规划应用题的步骤:
(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问 题转化为数学上的线性规划问题.
当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;
∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).
[反思感悟]本题主要考查不等式表示的平面区域､数列求和 及不等式的应用等基础知识,考查了数形结合的方法和逻 辑推理能力.
(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区 域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公 共部分.
(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有的点(x,y),使得 Ax+By+C值的符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐 标适合Ax+By+C>0;而位于另一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C<0.
(3)可以在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点,一般取特殊点 (x0,y0),从Ax0+By0+C的符号来判断Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域.
SB 7 2 4 5 34为最大.
[反思感悟]由于点A不是整点, 在可行域中寻找满足条件的
整点时, 不能以与A点的距离为依据, 应以与过点A的直线l
的距离为依据,从图可知整点C4,1, 距点A最近,然而SC
14
7 4 1 5 33,而点C到l的距离dC
5 ,点B到l的距离为 74
5x
4 y≤25, x≥1,
成立,即求u
100x
200y在上述线性约
y≥1,
束条件下的最大值.借助于线性规划图可得选C.
答案:C
4.(2010·新课标全国)已知▱ABCD的三个顶点为A(1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在▱ABCD的内部,则z=2x-5y 的取值范围是( )
D.
x y 1≤0 x 2 y 2≥0
解析:图中两直线方程分别为x+y-1=0和x-2y+2=0.因为阴影 部分在x+y-1=0的右上方,x-2y+2=0的右下方,所以x+y1≥0,x-2y+2≥0.
