下载文档原格式
较复杂的行程问题【使用说明】本讲义针对人教版本教材，适用于对基本概念掌握较好的学生。
旨在讲解解决行程问题的方法模式，介绍典型的较复杂行程问题的解法和突破点。
本节重点方法内容公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件。
图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。
示意图包括线段图和折线图。
图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。
另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。
比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值。
更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题。
分段法在非匀速（即分段变速）的行程问题中，公式不能直接适用。
这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。
方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。
例题精讲例题：甲乙丙三个小分队都从A地到B地进行野外训练，上午6时，甲乙两个小队一起从A地出发，甲队每小时走5千米，乙队每小时走4千米，丙队上午8时才从A地出发，傍晚6时，甲丙两队同时到达B地，那么丙队追上乙队的时间是上午几时？【分析】【解答】【难度系数】2变式练习：【题目】快慢两车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车的人．两车分别用了6分钟、10分钟追上骑车人。
已知快车每分钟行400米，慢车每分钟行320米．骑车人每分钟行多少米？【分析】【解答】【难度系数】2例题：甲、乙两车同时从东西两站相对开出,第一次离东站80km处相遇,各车到站后立即返回,又在离西站50km处第二次相遇.东西两站的距离是多少千米？【分析】【解答】【难度系数】2变式练习：【题目】【分析】【解答】【难度系数】2 例题：【分析】【解答】【难度系数】3变式练习：【题目】A、B、C三地依次分布在由西向东的同一条道路上,甲、乙、丙分别从A、B、C同时出发,甲、乙向东,丙向西;乙、丙在距离B地18千米处相遇,甲、丙在B处相遇,而当甲在C地追上乙时,丙已经走过B地32千米.那么AC间的距离是多少千米？【分析】【解答】【难度系数】3 课堂总结：课后作业要灵活使用公式法、图示法、比例法、方程法等各种方法解决较复杂的行程问题！把握不同行程问题的计算方法和公式，牢记典型问题的解题流程和突破点！1、【分析】【解答】【难度系数】22、王明从A城步行到B城,同时刘洋从B城骑车到A城,1.2小时后两人相遇.相遇后继续前进,刘洋到A城立即返回,在第一次相遇后45分钟又追上了王明,两人再继续前进,当刘洋到达B城后立即折回.两人第二次相遇后（）小时第三次相遇。
5升6奥数拓展：行程问题-数学六年级上册人教版一、选择题1．客车从甲城到乙城需要10小时，货车从乙城到甲城需要15小时，现在两车从两城同时出发相向而行，4小时后两车相距150千米，甲乙两城相距（ ）。
A ．405千米B ．504千米C ．450千米2．小明上山时的速度为a ，下山时速度为b ，那么他上下山的平均速度为（ ）。
A ．()a b 2+÷B ．()ab a b ÷+C ．()2ab a b ÷+D ．不知道路程无法求出3．甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米和100米，甲、乙二人在A 地，丙在B 地与甲、乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又经过2分钟和甲相遇。
A 、B 两地之间的距离是（ ）米。
A ．1880 B ．2108 C ．28804．甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。
甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇。
若乙车慢一些，则乙车每时行（ ）千米。
A ．93B ．99C ．1115．一列火车长160米，每秒行20米，全车通过440米的大桥，需要（ ）秒。
A ．8B ．22C ．30D ．无法确定6．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A 背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。
已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A 点沿跑道上的最短距离是（ ）。
A ．166米B ．176米C ．224米D ．234米二、填空题( )千米。
8．一列快车和一列慢车，分别从甲、乙两地同时相对开出，快车每小时行75千米，慢车每小时行65千米，两车在距中点20千米处相遇，则甲、乙两地相距( )千米。
9．A ，B 两地间有一平直公路，A ，B 两地的距离为360千米，甲车从A 地出发以60千米/时的速度前往B地，在甲车出发的同时，乙车从B 地出发沿同一公路匀速行驶前往A 地，3小时后，甲、乙两车的距离是A ，5三、解答题15．绕操场一周共400米，A、B二人同时从同一地点同方向出发，A过10分钟第一次从B身后追上B，若二人同时从同一地点反方向而行，只要2分钟就相遇，求A、B的速度。
行程问题解题技巧行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。
此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。
相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。
相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
相离问题两个运动着的动体，从同一地点相背而行。
若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。
它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。
解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。
基本公式有：两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。
六年级奥数行程问题专题：电梯问题的要点及解题技巧一、自动扶梯的速度有哪两条关系式？与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题,与行船问题类似的,自动扶梯的速度有以下两条关系式：二、自动扶梯上的行走速度有哪两种度量？与流水行船不同的是,自动扶梯上的行走速度有两种度量,一种是"单位时间运动了多少米",一种是"单位时间走了多少级台阶",这两种速度看似形同,实则不等,拿流水行程问题作比较,"单位时间运动了多少米"对应的是流水行程问题中的"船只顺(逆)水速度",而"单位时间走了多少级台阶"对应的是"船只静水速度",一般小学数学题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度,即"单位时间走了多少级台阶",所以处理数量关系的时候要非常小心,理清了各种数量关系,自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．三、电梯问题需要注意哪两点问题？电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。
有两点需要注意,一是“总行程＝电梯可见部分级数±电梯运行级数”,二是在同一个人上下往返的情况下,符合流水行程的速度关系,（注意,其总行程仍然是电梯可见部分级数±电梯运行级数）小学数学行程：电梯问题的例题及答案（一）例1。
小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯,小偷每秒可跨越3级阶梯,警察每秒可跨越4级阶梯。
已知该自动扶梯共有150级阶梯,每秒运行1。
5级阶梯,问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？答：_____。
【解答】全部以地板为参照物,那么小偷速度为每秒1。
5级阶梯,警察速度为每秒2。
5级阶梯。
警察跑上电梯时相距小偷1。
5×30＝45级阶梯,警察追上小偷需要45秒,在这45秒内,小偷可以跑上1。
5×45＝67。
5级阶梯,那么追上小偷后,小偷在第112～第113级阶梯之间,没有超过150,所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。
行程问题之间隔发车问题由李老师收集整理而成、2、小明放学回家,他沿一路电车的路线步行,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来，每搁12分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？同向时电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程=发车间隔时间*车速电车6分钟走的路程+小明6分钟走的路程=发车间隔时间*车速则:电车6分钟走的路程=小明18分钟走的路程小明12分钟走的路程=电车4分钟走的路程电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程电车12分钟走的路程-电车4分钟走的路=电车8分钟走的路程=发车间隔时间*车速所以,发车间隔时间为8分钟3、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？分析：要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。
对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则：间隔距离=（V汽-V人）×6（米），间隔距离=（V汽-V自）×10（米），V自=3V人。
综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，则：间隔距离=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米）所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）。
小学奥数创新体系6年级
（上册授课课本） 最
新
讲
义
小学奥数
第十二讲复杂行程问题
这一讲，是我们最后一次系统地学习行程问题，我们将针对扶梯问题、优化配置问题、往返接送问题等几类特殊的行程问题进行详细讲解．它们都
是整个行程问题中复杂度较高，难度较大的问题，需要大家对以前学过的各种分析方法有比较好的掌握，并能够将它们综合运用．
本讲知识点汇总：
一． 扶梯问题
1． 扶梯问题类似于流水行船问题，解题时要注意人速和电梯速度的合成． 2． 和流水行船的不同，扶梯问题通常会考虑“人走的路程”和“电梯带
人走的路程”，所以在解题时通常需要把路程分拆．
3． 解题时注意比例法的应用．
二． 优化配置问题
注意“极值”发生时的状况；
三． 往返接送
一般的往返接送问题的过程如下：
1． 车载甲出发，乙步行前进；
2． 在某地甲下车，甲、乙步行，车返回接乙；
3． 车接上乙后继续向目的地前进，甲、乙同时到达终点．
往返接送的不同类型：
1． 车速不变，人速相同；
此时图是对称的，即甲、乙会走同样多路程，此时只要把①和②两个
过程合并起来考虑即可．
2． 车速不变，人速不同；
此时两人走的路程不同（走的快的人会多走一些），所以需要先把①、
②过程合并，再把②、③过程合并，用这两次过程分别计算比例．
3． 车速不同，人速相同；
4． 车速不同，人速不同；
5． 多组往返接送．
A
B 甲 乙 ① ① ② ② ② ③ ③
例1． 自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动了1级台阶．卡莉娅在扶梯向上行走，
每秒走两级台阶．已知自动扶梯的可见部分共120级，卡莉娅沿扶梯向上走，从底部走到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？
「分析」当卡莉娅顺着扶梯向前进时，她所走过的路程应该小于扶梯可见部分长度，因为除了她自身向前走了一段距离外，扶梯还把她往前带了一段，这两段路程加起来才是扶梯可见部分的总长．
练习1、自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒向上移动了1级台阶．卡莉娅在扶梯向下行走，每秒走两级台阶．已知自动扶梯的可见部分共120级，卡莉娅沿扶梯向下走，从底部走到顶部的过程中，她共走了多少级台阶？
例2． 自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了150级；乙从底部向上
走到顶部，共走了75级．如果甲的速度是乙的速度的3倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
「分析」甲逆着扶梯走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？乙顺着扶梯走，他走过的台阶数比扶梯可见部分台阶数多还是少？
练习2、自动扶梯由上向下匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了90级；乙从底部向上走到顶部，共走了120级．如果乙的速度是甲的速度的2倍，那么扶梯可见部分共有多少级？
例3．
四辆汽车分别停在一个十字路口的四条岔路上，它们与路口的距离都是18千米，四辆车的最大时速分别为40千米、50千米、60千米和70千米．现在四辆汽车同时出发
扶梯 卡莉娅
扶梯可见部分
沿着公路行驶，那么最少要经过多少分钟，它们才能设法相聚在同一地点？
「分析」4辆车要能够相聚在同一地点，一个前提要求是在相应的时间内，任意两辆车必须能够相聚到同一地点．
练习3、一个边长为4千米的正方形环路，它的四个顶点处各有一辆汽车，最大时速分别为10千米、10千米、40千米、40千米．允许调整四辆车的初始位置，但必须保证每个环路四个顶点处各有一辆车．如果4辆车同时出发，开到环路上的某个地方集合，最少需要多少分钟？
例4．某种小型飞机满油最多能飞行1500千米，但不够从A地飞到B地．如果从A地派3架这样的飞机，通过实现空中供给油料，可以使其中一架飞机飞到B地，另两架安全返回A地，那么A、B两地最远相距多少千米？
「分析」只需让一架飞机飞到B地即可，其余两架安全返回．返回的两架飞机其实就是给飞往B地的飞机供油的．
练习4、一支轻骑摩托小分队奉命把一份重要文件送到距驻地很远的指挥部．每辆摩托车装满油最多能行120千米，且途中没有加油站．由于一辆摩托车无法完成任务，队长决定派四辆摩托车执行任务，其中一辆摩托车负责把文件送到指挥部，另三辆则在中途供给油料后安全返回驻地．请问：指挥部距小分队驻地最远可能是多少千米？
例5．高思学校的80名同学去距学校36千米的铁路博物馆参观．但学校只有一辆接送车，
车上最多只能载40人（除了司机）．已知车速每小时45千米，同学们步行速度是每小时5千米．那么他们最少需要多少分钟才能到达博物馆？
「分析」首先要把全部同学等分成两队，然后保证两队同时达目的地，为了保证尽可能快的到达目的地，汽车送一个队走的时候，另外一个队也要步行往前走，这样显然会更快一点．另外，汽车把第一拨人到底送到哪里放下呢？如果送到终点，那么汽车回去接另一拨人时，第一拨人就在目的地干等着，这显然不合理；若是放下的较早，则汽车回头把第二拨人接到终点时第一拨人还没到，还得再回去接第一拨人，这显然也不合理．因此，放下第一拨人的时间应该恰到好处：汽车把第一拨人送到某个地方放下，回去接第二拨人，将第二拨人送到目的地时第一拨人恰好也到目的地．
例6．
超人队和蝙蝠侠队从同一地点同时出发，到29千米远的体育馆参加比赛，但只有一辆接送车，一次只能乘坐一个队的队员．超人队的步行速度是6千米/时，蝙蝠侠队的步行速度是3千米/时，汽车速度是42千米/时．为了尽快到达体育馆，那么超人队步行的距离是多少千米？ 「分析」同上一题目，注意这一次两队步行路程是不一样的．
同时性的妙用——苏步青的狗
苏步青是我国著名的数学家．他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人
同时从两地出发，相向而行，距离是50公里，甲小时走6公里，乙每小时走4公里．甲有
一条狗，每小时跑8公里．这只狗和甲一起出发朝乙跑去，碰到乙的时候它又掉转头跑回甲，
碰到甲又掉头跑向乙……就这样来回跑，直到两人碰头为止．那么这条狗一共跑了多少公里
路？。
