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第五篇第2章第二讲一、选择题1．(09·广东)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④[答案] D[解析]①显然错误，因为这两条直线相交才满足条件；②成立；③错误，这两条直线可能平行，相交，也可能异面；④成立，用反证法容易证明．故选D.2．平面α∥平面β的一个充分条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α[答案] D[解析]如图(1)三棱柱中侧棱a，与交于侧棱l的两个侧面α、β都平行，故A错．如图(2)a⊂α，α∩β＝l，a∥l，故B错．如图(3)α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，故C错．3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l () A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线[答案] C[解析]宜用排除法解法1：当直线l与平面α相交时，则A不可能；当直线l与平面α平行时，则B不可能，当直线l⊂α时，则D不可能；解法2：如果l⊥α，则在α内必有直线与l垂直；如果l与α不垂直，设l在α内射影为l′，则在α内必有直线a⊥l′，从而a⊥l，∴选C.4．对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是() A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n[答案] C[解析] 在下图(1)中满足A 的条件，但n ∩α＝A ；在图(2)中满足B 的条件，但m ∩n ＝A ；在图(3)中，∵n ∥α，∴n 与α无公共点，又m ⊂α，∴n 与m 无公共点，又n ，m 共面，∴m ∥n ；在图(4)中，满足D 的条件，但m ∩n ＝A .故选C.5．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C [解析] ①由线面关系知α、β可能相交，故错，②由线面关系知l ，m 还可能异面，③三个平面两两相交，由线面平行关系知，m ∥n 正确．综上所述正确命题只有1个，故选C.6．已知平面α、β满足α∥β，AB 和CD 是夹在α与β之间的线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2，如果直线AB 与α所成的角为30°，那么线段CD 的长的取值范围是 ( )A ．(233，433] B ．[1，＋∞) C ．[1，233] D ．[233，＋∞) [答案] D[解析] 若AB 确定，则CD 在与AB 垂直且与两平面α，β都相交的平面γ内，故CD 的长可无限增大．当CD 在AB 及其射影确定的平面内时，CD ＝AB ·tan30°＝233， 故CD 的取值范围为[233，＋∞)． 7．下列关于直线和平面的四个命题中不正确．．．的是 ( ) A ．平行于同一平面的两个平面一定平行B ．平行于同一直线的两条直线一定平行C ．垂直于同一直线的两条直线一定平行D ．垂直于同一平面的两条直线一定平行[答案] C[解析] 垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还可能相交或异面，故选C.8．在空间中，有如下命题，正确的是 ( )A ．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线B ．若平面α∥平面β，若平面α内任意一条直线m ∥平面βC ．若平面α与平面β的交线为m ，平面α内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面βD ．若平面α内的三点A ，B ，C 到平面β的距离相等，则α∥β[答案] B[解析] 两平行线在同一平面内的射影还可能是一条直线或两个点，故A 错．α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，固定平面α将β绕m 旋转到任意位置都满足上述条件，故C 错．三点位于平面异侧也满足距离相等，故D 错，选B.9．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；则真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 如图正方体中，设面AA 1B 1B 为α，面A 1B 1C 1D 1为β，A 1D 1为l ，A 1C 1为m ，而A 1D 1与A 1C 1相交，故②错．⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，故③对．10．已知两条直线m 、n ，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是 ( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③[答案] C[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m ∥n ，m ∥α时，n ∥α或n ⊂α，故③错；由α∥β，m ⊥α得m ⊥β，由m ⊥β，n ∥m 得n ⊥β，故④正确．二、填空题11．(文)过两平行平面α、β外的一点P 作两条直线，分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD ＝________.[答案] 12(理)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1cm ，过AC 作平行于对角线BD 1的截面，则截面面积为________．[答案] 64cm 2[解析] 如图，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，易求S △ACE ＝64cm 2.12．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.[答案] M ∈线段FH [解析] 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，又平面NHF ∩平面EFGH ＝FH .故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面B 1BDD 1，故填M ∈线段FH .13．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③ [解析] 如图①，∵MN ∥AD ，NP ∥AC ，∴平面MNP ∥平面ADBC ，∴AB ∥平面MNP . 如图②，假设AB ∥平面MNP ，设BD ∩MP ＝Q ，则NQ 为平面ABD 与平面MNP 的交线，∴AB ∥NQ ，∵N 为AD 的中点，∴Q 为BD 的中点，但由M 、P 分别为棱的中点知，Q为BD 的14分点，矛盾，∴AB ∥\ 平面MNP . 如图③，∵BD 綊AC ，∴四边形ABDC 为平行四边形，∴AB ∥CD ，又∵MP 为棱的中点，∴MP ∥CD ，∴AB ∥MP ，从而可得AB ∥平面MNP . 如图④，假设AB ∥平面MNP ，并设直线AC ∩平面MNP ＝D ，则有AB ∥MD ，∵M 为BC 中点，∴D 为AC 中点，这样平面MND ∥平面AB ，显然与题设条件不符，∴AB ∥\ 平面MNP .14．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．[答案] 平行 [解析] 取PD 的中点F ，连接EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD .又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB .∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵BE ⊄面P AD ，AF ⊂面P AD ，∴BE ∥面P AD .三、解答题15．(文)已知正方形ABCD 的边长是13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都为13，M 、N 分别是P A 、BD 上的点且PM MA ＝BN ND ＝，如图(1)求证：直线MN ∥平面PBC ；(2)求线段MN 的长． [解析] (1)连结AN 并延长和BC 交于E 点，则EN NA ＝BN ND ，∴NE NA ＝PM MA. ∴MN ∥PE ，而MN ⊄平面PBC ，PE ⊂面PBC ，∴MN ∥平面PBC .(2)由余弦定理求得PE 2＝PB 2＋BE 2－2PB ·EB cos60°代入数值计算得PE ＝918，∴MN ＝813PE ＝7.(理)如图，正四棱锥S －ABCD 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，点P 、Q 分别在BD 和SC 上，并且BP PD ＝，PQ ∥平面SAD ，求线段PQ 的长．[解析] 延长CP 交DA 延长线于点R ，连结SR .∵PQ ⊂平面SRC ，平面SRC ∩平面SAD ＝SR ，PQ ∥平面SAD ，∴PQ ∥SR .由△PBC ∽△PDR 及已知求得DR ＝2a .在等腰△SAD 中，求出cos ∠SDA ＝14.又在△SDR 中，由余弦定理得SR ＝6a .∵PQ ∥SR ，∴PQ SR ＝CP CR ＝BP BD ＝13，∴PQ ＝63a . 16．(文)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．(1)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(2)求证：AB 1∥平面BEC 1.[解析] (1)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ，则BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又∵BE ⊂平面BEC 1，∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1.(2)连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D .∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴四边形BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点． ∵E 是AC 的中点，∴AB 1∥DE .又DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1，∴AB 1∥平面BEC 1.(理)如图所示，AF 是⊙O 的直径，AD 与圆所在的平面垂直，AD ＝8，BC 也是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，且OE ＝AD .(1)求证：EF ∥平面BCD ；(2)求证：BC ⊥EF ；(3)求多面体ABFED 的体积V . [解析] (1)证明：∵OE ∥AD ，且OE ＝AD ，∴DE 綊AO .又AO ＝OF ，∴DE 綊FO .∴四边形ODEF 为平行四边形，∴EF ∥OD ，∵OD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ⇒EF ∥平面BCD .(2)证明：∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AO .∵AD ⊥平面ABC ，∴BC ⊥AD .∵AO ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面AFED .∵EF ⊂平面AFED ，∴BC ⊥EF .(3)解：∵OE ＝AD ＝8，AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AF ＝62，BO ＝AO ＝DE ＝3 2.∴S ADEF ＝36 2.又BO ⊥平面ADEF ，V ＝V B －ADEF ＝13S ADEF ·BO ＝13·362·32＝72. 17．(文)(09·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .[解析] (1)因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC ，所以EF ∥平面ABC . (2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ，又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .(理)如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，CD ＝2AB ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝AD ＝1，Q 是PC 的中点．(1)求证：BQ ∥平面P AD ；(2)如果点E 是线段CD 中点，求三棱锥Q －BEC 的体积．[解析] (1)证明：设PD 中点为F ，∵Q 为PC 中点，∴FQ 綊12CD ，又∵AB 綊12CD ，∴FQ 綊AB ，∴四边形ABQF 为平行四边形， ∴BQ ∥AF ，∵AF ⊂平面P AD ，BQ ⊄平面P AD ，∴BQ ∥平面P AD .(2)设Q 到平面ABCD 的距离为h ，∵Q 为PC 中点，P A ⊥平面ABCD ，∴h ＝12P A ＝12. 由条件知，BE ⊥CE ，且BE ＝CE ＝1，∴V Q －BEC ＝13S △BEC ·h ＝13·⎝⎛⎭⎫12BE ·CE ·h ＝112.。
1.(文)(2011·温州十校二模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．44 [答案] C[解析] 根据等差数列的性质可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.(理)(2011·北京海淀期中)已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( )A ．10B ．16C ．20D ．24 [答案] C[解析] S 3＝3a 2，又S 3＝12，∴a 2＝4，∴d ＝a 2－a 1＝2，∴a 4＝a 1＋3d ＝8，S 4＝4(a 1＋a 4)2＝20，故选C.2．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4 [答案] B[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.(理)(2010·黄山质检)已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143[答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4，故选A.3．(2011·山东东明县月考)在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45 [答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝22a 1＋3d ＝13，∴d ＝3.∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝42，故选B.4．(文)(2011·西安五校一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.(理)(2011·江西八校联考)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )A ．22B ．21C ．20D ．19 [答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有3d ＝93－99＝－6，∴d ＝－2；∴a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝3a 1－18＝99，∴a 1＝39，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n .令a n ＝41－2n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n 项和中，S 20最大．依题意得知，满足题意的k 值是20，选C.5．(文)(2010·山东青岛质检)已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }，则数列{a n }的第四项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1 [答案] D[解析] 由x 2－2x －3<0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.(理)已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38[答案] C[解析] 设x 2－2x ＋m ＝0的根为x 1，x 2且x 1<x 2， x 2－2x ＋n ＝0的根为x 3，x 4且x 3<x 4，且x 1＝14，又x 1＋x 2＝2，∴x 2＝74，又x 3＋x 4＝2，且x 1，x 3，x 4，x 2成等差数列，∴公差d ＝13(74－14)＝12，∴x 3＝34，x 4＝54.∴|m －n |＝|14×74－34×54|＝12，故选C.6．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝105，∴a 1a 3＝21，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 3＝21a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0得n ≤4，∴选A.7．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b 2的值为________．[答案] 20[解析] 依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2bb 2＝ac ，或②⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2ba 2＝bc ，或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2bc 2＝ab.由①得a ＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0.∵{a n }为等差数列且d ≠0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.(理)(2011·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．[答案] 4[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4，又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n ＋2＝29－3n .由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为4.1.(文)(2011·合肥一模)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∵a 1>0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. 又q >0，因此有q ＝1＋2，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，选C. (理)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若点O (0,0)，A (l ，S l )，B (m ，S m )，C (p ，S p )(其中l <m <p )，且向量AB →与OC →共线，则l ，m ，p 之间的关系是( )A ．m ＝p ＋lB ．2m ＝p ＋lC ．2p ＝m ＋lD ．p ＝m ＋l [答案] D[解析] 依题意得AB →＝(m －l ，S m －S l )，OC →＝(p ，S p)，因为于AB →与OC →共线，所以有(m －l )S p ＝p (S m －S l )，再设等差数列{a n }的公差为d ，代入整理可得p ＝m ＋l ，故选D.[点评] 可取特殊等差数列验证求解，如取a n ＝n .2．(2011·江西九校联考)已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±11[答案] B[解析] 依题意得x ＋y ＝2＋3＝5，mn ＝2×3＝6，x ＋y ＋mn ＝11，选B.3．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ＋1－x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34d，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)(2011·江南十校联考)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( ) A.921 B.1021 C.1121D.2021[答案] B[解析] 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)＝12×(1－121)＝1021.故选B. 4．(2011·黄冈3月质检)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．2058[答案] A[解析] 依题意得a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，ab n ＝b n ＋1＝2n －1＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝1×(210－1)2－1＋10＝210＋9＝1033，故选A.5．(文)将正偶数按下表排成5列：[答案] 252,4[解析] 通项a n ＝2n ，故2010为第1005项，∵1005＝4×251＋1，又251为奇数，因此2010应排在第252行，且第252行从右向左排第一个数，即252行第4列．(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (21,12)＝________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …[答案] 412[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2个数，因此前20行共有S 20＝400个数，故第21行的第一个数为401，第12个数为412，即A (21,12)＝412.6．(2011·重庆文，16)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2∴a n＝a1·q n－1＝2·2n－1＝2n(2)数列b n＝1＋2(n－1)＝2n－1∴S n＝2×(1－2n)1－2＋[n×1＋n(n－1)2×2]＝2n＋1＋n2－2.7．(文)在数列{a n}中，a1＝4，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线y＝x－2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b1＋b2＋…＋b n＝a n，试比较a n与b n的大小．[解析](1)∵点(a n，a n－1)在直线y＝x－2上，∴a n＝a n－1＋2，即数列{a n}是以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列．∴a n＝2＋2(n－1)＝2n，∴a n＝4n2.(2)∵b1＋b2＋…＋b n＝a n，∴当n≥2时，b n＝a n－a n－1＝4n2－4(n －1)2＝8n－4，当n＝1时，b1＝a1＝4，满足上式．∴b n＝8n－4，∴a n－b n＝4n2－(8n－4)＝4(n－1)2≥0，∴a n≥b n.[点评]第(2)问可由b1＋b2＋…＋b n＝a n得，a n－b n＝a n－1＝4(n －1)2≥0，∴a n≥b n简捷明了，注意观察分析常能起到事半功倍的效果．(理)(2011·浙江金华联考)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n为数列{1a n a n＋1}的前n项和，若T n≤λa n＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．[解析] 设公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)1a n a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2).∵T n ≤λa n ＋1，∴n 2(n ＋2)≤λ(n ＋2)，∴λ≥n2(n ＋2)2.又n 2(n ＋2)2＝12(n ＋4n ＋4)≤12(4＋4)＝116(当且仅当n ＝2时取等号)．∴λ的最小值为116. 8．(理)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 则依题设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16.① 由a 3·a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55.②由①得2a 1＝16－7d ，将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220，∴d 2＝4.又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.解法二：由等差数列的性质得：a 2＋a 7＝a 3＋a 6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55a 3＋a 6＝16， 由韦达定理知，a 3，a 6是方程x 2－16x ＋55＝0的根，解方程得x ＝5或x ＝11.设公差为d ，则由a 6＝a 3＋3d ，得d ＝a 6－a 33.∵d >0，∴a 3＝5，a 6＝11，d ＝11－53＝2，a 1＝a 3－2d ＝5－4＝1. 故a n ＝2n －1.(2)解法一：当n ＝1时，a 1＝b 12，∴b 1＝2.当n ≥2时，a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1＋b n 2n ，a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1，两式相减得a n －a n －1＝b n2n ，∴b n ＝2n ＋1，因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n ＋1 n ≥2当n ＝1时，S 1＝b 1＝2；当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝2＋b 2(1－2n －1)1－2＝2n ＋2－6.∵当n ＝1时上式也成立，∴当n 为正整数时都有S n ＝2n ＋2－6.解法二：令c n ＝b n2n ，则有a n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，a n ＋1＝c 1＋c 2＋…＋c n ＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝c n ＋1. 由(1)得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＋1＝2，c n ＝2(n ≥2)，即当n ≥2时，b n ＝2n ＋1，又当n ＝1时，b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n ＋1 n ≥2于是S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋23＋24＋…＋2n ＋1＝2＋22＋23＋24＋…＋2n ＋1－4＝2(2n ＋1－1)2－1－4＝2n ＋2－6，即S n ＝2n ＋2－6.1．(2010·温州中学)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．43D ．27[答案] B[解析] 由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45.2．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2010，其前n 项的和为S n .若S 20092009－S 20072007＝2，则S 2010＝( )A ．－2010B ．－2008C ．2009D ．2010[答案] A [解析] ∵S 20092009－S 20072007＝2， ∴(a 1＋1004d )－(a 1＋1003d )＝2，∴d ＝2， ∴S 2010＝2010a 1＋2010×20092d ＝－2010.3．(2010·北京顺义一中)一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案] D[解析] 由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i (i ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝ii ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D.4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，则S n 的最大值为________．[答案] 169[分析] 利用前n 项和公式和二次函数性质求解． [解析] 方法1：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)·(－2)＝－(n －13)2＋169，∴由二次函数性质，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法2：先求出d ＝－2，∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312n ≥1212，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.方法3：由S 17＝S 9得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0. ∵d ＝－2<0，a 1>0，∴a 13>0，a 14<0， 故n ＝13时，S n 有最大值．方法4：由d ＝－2得S n 的图象如图所示(图象上一些孤立点)，由S 17＝S 9知图象对称轴为n ＝9＋172＝13，∴当n＝13时，S n取得最大值169.5．已知正项数列{a n}，其前n项和S n满足10S n＝a2n＋5a n＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{a n}的通项公式．[解析]∵10S n＝a2n＋5a n＋6①∴10a1＝a21＋5a1＋6，解之得a1＝2或a1＝3又10S n－1＝a2n－1＋5a n－1＋6(n≥2)，②由①－②得10a n＝(a2n－a2n－1)＋5(a n－a n－1)，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－5)＝0.∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝5(n≥2)．当a1＝3时，a3＝13，a15＝73.a1，a3，a15不成等比数列，∴a1≠3；当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有a23＝a1a15，∴a1＝2，∴a n＝5n－3.[点评]S n与a n的关系是高考中经常出现的．该问题较新颖，但新而不难．思维的选择性很有深意，值得回味．。
第三篇 第2章 第三讲一、选择题1．(文)抛物线y ＝x 2的准线方程是 ( ) A ．4y ＋1＝0 B ．4x ＋1＝0 C ．2y ＋1＝0 D ．2x ＋1＝0 [答案] A[解析] x 2＝y 中2p ＝1，∴p 2＝14，∴准线y ＝－14，即4y ＋1＝0.(理)抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＋1＝0，则a ＝ ( ) A.14 B.12C ．－14D ．－12[答案] A[解析] ∵y ＝ax 2 ∴x 2＝1a y ，∴准线方程为y ＝－14a ∴－14a ＝－1，∴a ＝14，故选A.2．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝－x 对称，则C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18B ．x ＝12C ．x ＝18D ．x ＝－12[答案] C[解析] 抛物线C 1：y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，其关于直线y ＝－x 对称的抛物线C 2：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝18.故应选C.3．(文)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] 由x 2＝4y 知其准线方程为y ＝－1，据抛物线的定义，点A 与焦点的距离等于点A 与准线的距离，显然A 的纵坐标为4.其距离为5.(理)抛物线y 2＝8x 上的点(x 0，y 0)到抛物线焦点的距离为3，则|y 0|＝( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 [答案] B[解析] 设点A (x 0，y 0)，过点A 作AA 1⊥l (l 为准线)，则|AF |＝|AA 1|＝x 0＋2＝3即x 0＝1，代入抛物线方程得|y 0|＝8x 0＝22，故选B.4．(09·山东)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[答案] B[解析] 由抛物线方程知焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，∴直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 与y 轴交点A ⎝⎛⎭⎫0，－a 2.∴S △OAF ＝12·|OA |·|OF |＝12·⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪a 4＝a 216＝4. ∴a 2＝64，a ＝±8.故y 2＝±8x .故选B.5．(文)已知点P 为抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是A (72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值是 ( ) A.112 B ．4 C.92 D ．5 [答案] C[解析] 如图，焦点F (12，0)，当P 、A 、F 三点共线时|P A |＋|PM |才有最小值，此时|P A |＋|PM |＝|P A |＋|PF |－12，即|P A |＋|PM |的最小值为|F A |－12＝(72－12)2＋42－12＝5－12＝92，故选C.(理)(08·辽宁)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A.172B ．3C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．(文)对于任意n ∈N *，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n 、B n 两点，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2011B 2011|的值是 ( )A.20102011B.20112012C.20092010D.20092008 [答案] B[解析] 设A n (x n,0)，B n (x ′n,0)， 则x n ＋x ′n ＝2n ＋1n 2＋n ，x n x ′n ＝1n 2＋n ，|A n B n |＝|x n －x ′n |＝(x n ＋x ′n )2－4x n x ′n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴当n ＝2011时，结果为20112012.[点评] 由条件知A n 、B n 的横坐标x 1、x 2是方程(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0的两根，∴x 1＝1n ＋1，x 2＝1n ，∴|x 1－x 2|＝1n －1n ＋1.(理)已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能 [答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2，∴此圆与y 轴相切． 7．(文)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线L 与抛物线有公共点，则直线L 的斜率的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)y 2＝8x，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝4，由Δ＝0得，k ＝±1，结合图形知选C.(理)定点N (1,0)，动点A 、B 分别在图中抛物线y 2＝4x 及椭圆x 24＋y 23＝1的实线部分上运动，且AB ∥x 轴，则△NAB 的周长l 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫23，2B.⎝⎛⎭⎫103，4C.⎝⎛⎭⎫5116，4 D ．(2,4)[答案] B[解析] 易知N 为抛物线和椭圆的焦点，设A (x 1，y 1 )，B (x 2，y 2)，由抛物线及椭圆的定义知，焦半径|AN |＝x 1＋1，|BN |＝12(4－x 2)，又|AB |＝x 2－x 1，∴周长l ＝|AB |＋|AN |＋|BN |＝3＋12x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 24＋y 23＝1得交点的横坐标为23，∴23<x 2<2.∴103<l <4. 8．(09·全国Ⅰ)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )A. 3 B ．2 C. 5 D. 6 [答案] C[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立得x 2±ba x ＋1＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫±b a 2－4＝0⇒b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.9．(福建厦门)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝ ( )A.π6B.π4C.π3D.5π12 [答案] A[解析] 如图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NP |＝|NF |＝32·|MN |.在Rt △NMP 中，sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32⇒∠NMP ＝π3⇒∠NMF ＝π6，故选A.10．(北京崇文)已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线 [答案] A[解析] P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线． 二、填空题11．(文)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →＝________.[答案] －34[解析] 设直线AB ：x ＝my ＋12，代入y 2＝2x 中，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34.(理)已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)． 12．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y 2＝2x 的准线和双曲线x 216－y 29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫12，138或⎝⎛⎭⎫12，78 [解析] 设圆心为(a ，b )，则a >0，b >0.∵y 2＝2x 的准线方程为x ＝－12，x 216－y29＝1的渐近线方程为3x ±4y ＝0. 由题意知a ＋12＝1，则a ＝12，|3a ±4b |5＝1，解得b ＝138或b ＝78， ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫12，138或⎝⎛⎫12，78.13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过(2p,0)作直线交抛物线于A 、B 两点，给出下列结论：①OA ⊥OB ；②△ABO 重心必是抛物线焦点；③△ABO 面积最小值为4p 2.其中正确的结论是________． [答案] ①③[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2py 2＝2px得：y 2－2pmy －4p 2＝0，∴y 1y 2＝－4p 2，y 1＋y 2＝2pm ，x 1x 2＝4p 2， k OA ·k OB ＝－1，S ＝p |y 1－y 2|＝p ·(2pm )2－16p 2≥4p 2.14．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是________米．[答案] 4 2[解析] 设抛物线拱桥的方程为x 2＝－2py ，当顶点距水面2米时，量得水面宽8米， 即抛物线过点(4，－2)代入方程得16＝4p ∴p ＝4，则抛物线方程是x 2＝－8y ， 水面升高1米时，即y ＝－1时，x ＝±2 2. 则水面宽为42米．三、解答题15．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)．∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x，得ky 2－4y －4km ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点． [点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b (a >0，b ≠0)，且交抛物线y 2＝2px (p >0)于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程；(2)证明：1y 1＋1y 2＝1b；(3)当a ＝2p 时，求∠MON 的大小．[解析] (1)直线l 的截距式方程为x a ＋yb＝1.①(2)证明：由①及y 2＝2px 消去x 可得 by 2＋2pay －2pab ＝0②点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根，故 y 1＋y 2＝－2pab ，y 1y 2＝－2pa .所以1y 1＋1y 2＝y 1＋y 2y 1y 2＝－2pa b －2pa ＝1b.(3)设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.当a ＝2p 时，由(2)知，y 1y 2＝－2pa ＝－4p 2，由y 21＝2px 1，y 22＝2px 2相乘得(y 1y 2)2＝4p 2x 1x 2，x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝4p 2，因此k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－4p 24p 2＝－1， 所以OM ⊥ON ，即∠MON ＝90°.16．已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为y ＝(2－1)x －2.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k ，∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k >0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线． (1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F? (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围．[解析] (1)∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意y 1、y 2不同时为0，x 1≠x 2，∴F ∈l ⇔|F A |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．⇔y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔x 1＋x 2＝0.即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F . (2)设l 在y 轴上的截距为b ，∴l 的方程为y ＝2x ＋b ；过点A 、B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ，所以x 1、x 2满足方程2x 2＋12x －m ＝0，∴x 1＋x 2＝－14；A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则 x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，即得l 在y 轴上截距的取值范围为⎝⎛⎭⎫932，＋∞.(理)如图，过点F (1,0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A 、B 两点．(1)若|AB |＝8，求直线AB 的方程；(2)记抛物线C 的准线为l ′，设直线OA 、OB 分别交l ′于点M 、N ，求OM →·ON →的值． [解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝8，即x 1＋x 2＋p ＝8， ∴x 1＋x 2＝6.∵|AB |>2p ，∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝k (x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k (x －1)消去y 得，k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，即2k 2＋4k 2＝6，得k ＝±1.∴直线AB 的方程是x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. (2)①当直线l 的斜率不存在时，OM →·ON →＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 当直线l 的斜率存在时，由(1)知， x 1x 2＝1，y 1y 2＝－16x 1x 2＝－4， 设M (－1，y 3)，N (－1，y 4)， B ，O ，M 三点共线， ∴y 3－1＝y 2x 2⇒y 3＝－y 2x 2，同理可得y 4＝－y 1x 1. ∴OM →·ON →＝(－1，y 3)·(－1，y 4)＝1＋y 3y 4＝1＋y 1y 2x 1x 2＝－3.。
必修三第五章第二讲一、选择题1．关于物质循环的叙述正确的是() A．生产者和无机环境之间可以直接进行碳循环B．消费者与无机环境之间可以直接进行碳循环C．物质循环在生产者、消费者和分解者之间进行D．不同的生态系统，都能独立地进行各自的物质循环答案 A解析因为生产者可以通过光合作用或化能合成作用，直接利用无机环境的CO2合成自身的组成物质，也能通过细胞呼吸直接将CO2释放到无机环境中，所以A项是正确的。
消费者只能通过细胞呼吸向无机环境释放CO2但不能直接利用CO2；物质循环应是在无机环境与生物群落之间进行的；物质循环是在整个生物圈中进行的，而比生物圈小的任何一个生态系统都不能独立进行物质循环，故B、C、D三项均是错误的。
2．如图是自然界碳循环的简图，图中甲、乙、丙各代表()A．甲为生产者、乙为分解者、丙为消费者B．甲为消费者、乙为分解者、丙为生产者C．甲为分解者、乙为生产者、丙为消费者D．甲为生产者、乙为消费者、丙为分解者答案 A解析碳在生物群落和无机环境之间是以二氧化碳的形式进行循环的。
首先通过绿色植物的光合作用，被合成有机物进入植物体内，再通过食物链流到各级消费者体内，最后再流到分解者，被分解成二氧化碳再释放到大气中，同时各种生物的呼吸作用也产生二氧化碳，直接回到大气中。
3．下列有关生态系统功能的描述，错误．．的是() A．物质循环的关键环节是分解者的分解作用B．物质流是循环的，能量流是单向的，信息流往往是双向的C．一个生态系统的营养级越多，消耗的能量就越多，人类可利用的能量就越少D．信息传递有利于沟通生物群落与非生物环境之间、生物与生物之间的关系，具有调节生态系统稳定性的作用答案 C解析从能量金字塔可以看出，在一个生态系统中，营养级越多，在能量流动过程中消耗的能量就越多，但是生态系统具有多样性，人类未参与的生态系统中不存在人类利用能量的问题。
自然界的物质循环中存在两个关键环节，生产者的光合作用(或化能合成作用)和分解者的分解作用，所以A项是正确的。
