上海省地区高三数学学科函数部分函数的基本性质质料

沪教版高中数学必修三（新版）
第一章：初等比与指数
1.比较指数
2.指数函数
3.指数增长与指数衰减
4.指数函数的性质和图象
第二章：函数的基本性质
1.定义域和值域
2.函数的增减性
3.函数的最大值和最小值
4.函数的奇偶性
第三章：一元二次函数
1.一元二次函数的定义与性质
2.一元二次函数的图象
3.一元二次函数的分析
第四章：二元一次函数
1.二元一次函数的性质
2.二元一次函数的图象
3.一元一次函数的分析第五章：椭圆
1.椭圆的定义与性质
2.椭圆的图象
3.椭圆的分析
第六章：双曲线
1.双曲线的定义与性质
2.双曲线的图象
3.双曲线的分析。

函数复习1、概念：（一一对应，图像识别）2、定义域（复合函数等）3、函数的和，积（注意定义域求法），什么是相等的函数？4、奇偶性5、对称性6、单调性7、值域（最值）8、周期性9、反函数10、特殊函数：二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、耐克函数11、图像例1、判断下列各组函数是否表示同一函数?2332222332log )(,log 2)(612)(,12)(5)(,1)(4)(,)0(,)0(,)(3)0(,1)0(,1)(,)(2)(,)(1xx g x x f t t t g x x x f x x x g x x x f xx g x x x x x f x x x g x xx f xx g x x f ==--=--=+=+==⎩⎨⎧<-≥=⎩⎨⎧<-≥====、、、、、、xx x x x x f x x y x xx y x x x x f xx x y +-++-=-+=---=--=--=2222)1(651)(525sin 41133)12lg(2)(243231、、、、、[][][][]的定义域求，定义域为、已知的定义域求函数，的定义域为、已知函数的定义域，求定义域为、的范围，求实数的定义域为、已知)()3(4,0)(9)12(1,0)12(8)1(8,3)(71)1()1(a lg y 62222x f x f y x f x f y x f y x f x f a R x a x ++=-=+=-+++-=1、已知的表达式求)(),(,11)11(22x f x f xx f -=+2、已知12)(,21)(--=--=x x x g x x x f ，求f(x).g(x)的表达式3、f(x)=ax 2+bx+c,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的表达式4、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)+g(x)=11-x , 求f(x),g(x)的表达式5、已知f(x)+2f(-x)=3x-2, 求f(x)的解析式 6、已知函数x x x g x x x x x f -+=⎩⎨⎧<-≥-=11)(,)0(,1)0(,1)(，求函数f(x)与g(x)的积的解析式 7、已知n ∈N ，且[]⎩⎨⎧<+≥-=10,)5(10,3)(n n f f n n n f ，求f(5)的值8、已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,20,12x x x x y ，求使函数值为10的x 的值 例4、求值域或最值 1、直接法(配方等) ①22++-=x x y②⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈++=21,1,12x x x y ③x x y -+-=532、反函数法①)13(,2415)(-≤≤-+-=x x x x f ②1cos 1cos )(-+=x x x f3、单调性 ①(]2,1,12)(∈-=x x x f②[)1,4,521--∈--=x x x y③[]3,1,12∈-=x xx y 4、换元法①x x y 21-+=②⎥⎦⎤⎝⎛∈+=ππ65,3,sin 2cos 2x x x y5、“△”法1322)(22+-+-=x x x x x f6、基本不等式①4522++=x x y②⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=4,41,1x x x y③)1(,)1(613842->+++=x x x x y 7、图像法①11)(-+=x x x f②)13(,2415)(-≤≤-+-=x x x x f ③31--+=x x y8、其他已知x,y ∈R 且满足3x 2+2y 2=9x,求u=x 2+y 2的最值函数奇偶性：1、定义域关于原点对称2、偶：f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，图像关于y轴对称奇：f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，图像关于原点对称3、在R上的奇函数有f(0)=04、奇函数的反函数也是奇函数5、在R上任意f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和6、奇函数在原点对称区间上单调性相同，偶函数相反7、在公共定义域内：奇+奇=奇奇×奇=偶偶+偶=偶偶×偶=偶偶×奇=奇例1、判断下列函数的奇偶性 ①2)(xx f =②3232)(++-=x x x f ③11)(-+-=x x x f ④2211)(x x x f -+-= ⑤)1lg()(2++=x x x f⑥⎩⎨⎧>+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ⑦334)(2-+-=x x x f⑧x x f arccos 2)(-=π⑨)21121()(+-=x x x f例2、已知函数f(x)是R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-x+1,求f(x)在R 上的表达式 例3、已知奇函数f(x)定义域为[-3,3]，且在[-3,0]上单调递增，求满足f(2m-1)+f(m2-2)<0的实数的取值范围。

课题：函数的奇偶性复习目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。

知识点归纳：1、定义：设()y f x =，x D ∈，如果对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。

2、性质（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；（2）()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；（3）奇函数在对称的区间内有相同的单调性，偶函数在对称的区间内具有相反的单调性。

（4）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=（5）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =方法归纳：1、判断函数的奇偶性的方法：（1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式；（2）图象法；（3）性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数。

2、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-． 3、若函数()f x 的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数和一个偶函数之和：11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+-- 例题选讲：例1．判断下列各函数的奇偶性：（1）()f x ax b ax b =++-()()f x ax b ax b ax b ax b f x -=-++--=-++=，∴()f x 为偶函数。

一、函数的奇偶性和对称性 （一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．奇偶性：如果函数()f x 为奇函数或偶函数，那么，就说函数()f x 具有奇偶性.4．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． 5．奇偶函数的性质：1)函数具有奇偶性的必不可少的条件是：定义域在数轴上所显示的区间关于原点对称.换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有函数的奇偶性. 如：函数2y x =在区间(),-∞+∞上是偶函数，但在区间[]1,3-上却无奇偶性可言.2)()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； 3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． 4)()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． 5)若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 6)复合的奇偶函数的性质对于复合函数())F x f g x =⎡⎤⎣⎦（：若()g x 为偶函数，则())=F x f g x ⎡⎤⎣⎦（为偶函数；若()g x 为奇函数，()f x 为奇函数，则())F x f g x =⎡⎤⎣⎦（为奇函数；若()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，则())F x f g x =⎡⎤⎣⎦（为偶函数.7)函数的分拆任何一个函数()f x 都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和：知识内容函数的奇偶性即()=F()()f x x G x +，则()()F()2f x f x x +-=（偶函数），()()G()2f x f x x --=（奇函数）.8)对称性关于y 轴对称：()()f x f x -=； 关于原点对称：()()f x f x -=-；关于直线a x =对称：()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-； 关于点),(b a 对称：()2(2)f x b f a x =--或()=()f a x b b f a x +---．（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：1)定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； 2)图象法；3)性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =I 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；二、函数的周期性 （一） 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）， ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； （二）主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．三、函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点．作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点． （2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； ①平移变换：Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）()()h y f x y f x h =−−−→=+左移；2）()()hy f x y f x h =−−−→=-右移； Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）()()h y f x y f x h =−−−→=+上移；2）()()h y f x y f x h =−−−→=-下移. ②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；()()y y f x y f x =−−→=-轴Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；()()x y f x y f x =−−→=-轴Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；()()y f x y f x =−−−→=--原点Ⅳ、函数=()x f y 的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到．()()y x y f x x f y ==−−−−→=直线Ⅴ、函数(2)y f a x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；()(2)x ay f x y f a x ==−−−−→=-直线 ③翻折变换：Ⅰ、函数()y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；()()y ay f x y af x ⨯=−−→=Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． ()()x ay f x y f ax ⨯=−−→=（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．1． 判断函数奇偶性判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断()()f x f x ±-是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】 判断下列函数的奇偶性：（1）422y x x =++；（2）31y x =-；（3）1()f x x x=+；（3）2()5||f x x x =+； （3）[]2()=1,1,4f x x x x -+∈-【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）()11f x x x =-+-；（2）1()(1)1xf x x x+=--； （3）22()=11f x x x -⋅-;【例3】 已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m n ，为何值时，()f x 是奇函数？【例4】 已知函数2()=(0)f x ax bx c a ++≠是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【例5】 若函数()()3()f x x x g x =+是偶函数，且()f x 不恒为零，判断函数()g x 的奇偶性．例题精讲【例6】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()()()()1f x F x f xg x =+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【例7】 设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）【例8】 （1）函数()f x x R ∈，，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+.求证：()f x 为奇函数，（2）函数()f x x R ∈，，若对于任意实数12,x x ，都有121212(+)+()2()()f x x f x x f x f x -=⋅，求证：()f x 是偶函数；（3）设函数()f x 定义在(),l l -上，证明()+()f x f x -是偶函数，()()f x f x --是奇函数.2.函数奇偶的性质【例9】 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；【例10】 已知函数()f x ()x R ∈满足()()f x f x -=，则下列各点中必在函数()y f x =图像上的是（ ）A.()()a f a -，B. ()()a f a --，C. ()()a f a ---，D. ()()a f a -，【例11】 对于定义在R 上的任意奇函数()f x 恒成立的是（ ）A.()()0f x f x --≥B. ()()0f x f x --≤C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->【例12】 已知()238f x x ax bx =+++且(2)10f -=，求()2f .【例13】 已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()f x f x f x ++（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零【例14】 已知函数21()()ax f x a b c Z bx c+=∈+，，是奇函数，且(1)2f =，(2)3f <，求a ，b ，c 的值.【例15】 知()()f x g x ，都是奇函数，()0f x >的解集是2()a b ，，()0g x >的解集是222a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，22ba >，那么求()()0f x g x >的解集．2． 函数的解析式（1）利用函数奇偶性可求函数解析式．【例16】 已知偶函数()f x 的定义域为R ，当x≥0时，2()31f x x +x -=，求()f x 的解析式．【例17】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．【例18】 ()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．（2）利用下列结论求函数的解析式对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．即 ()()()12f x F x G x =+⎡⎤⎣⎦ 其中()()()F x f x f x =+-，()()()G x f x f x =-- 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．【例19】 定义在R 上的函数()22x x x 1f x +=+，可表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之和，求()g x ，()h x ．【例20】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x ．3． 奇偶性与单调性【例21】 如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在[]7,3--上是（ ）A.增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5【例22】 已知函数()f x 是偶函数，而且在(0)+∞，上是减函数，判断()f x 在(0)-∞，上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【例23】已设函数()f x是定义在R上的奇函数，且在区间(0)-∞，上是减函数，实数a满足不等式22(33)(32)f a a f a a+-<-，求实数a的取值范围.【例24】已知()y f x=为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x=在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f=，解不等式41(log)0f x-<≤，4．奇偶性和周期性【例25】若()f x是定义在R上的奇函数，(3)2f=，且对一切实数x都有(4)()f x f x+=，则(25)f=__________；【例26】设函数()()3222()2x g x x xf xx g x+++=+（其中()g x为偶函数）的最大值为M，最小值为m，则M与m满足（）．A．2M m+=B．4M m+= C．2M m-=D．4M m-=5． 函数对称性【例27】 设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．【例28】 当实数k 取何值时，方程组422(1)||1,1k x x y x y ⎧++-=⎪⎨-=-⎪⎩有惟一实数解.6． 抽象函数的奇偶性【例29】 已知函数()f x ，当R x y ∈，时恒有 ()()()f x y f x f y +=+ ．①求证：函数()f x 是奇函数；②若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ．③如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[26]-，上的最大值与最小值．【例30】 设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12x x ，，恒有1212()()()f x x f x f x =+，⑴求证：(1)(1)0f f =-=；⑵求证：()y f x =是偶函数；⑶已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．【习题1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x =-； （2）23()f x x x =-.(3)21()=22x f x x ---；（4）()=f x x b x b +--【习题2】已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解析式.【习题3】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．【习题4】函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数；求(2005)f 的值．课后检测。

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学综合备考三角系列之正余弦函数的图像与性质 ①教学目标1. 形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义；2. 掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质.【重点掌握两函数sin ,cos y x y x ==的四大性质（奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值），特别是正弦函数和余弦函数的周期性与单位圆的对应.对对称中心和对称轴的讲解视学生情况自定.】 知识梳理 1． 正弦函数的图像与性质正弦函数的定义域是__________,最大值是____，最小值是____，周期是____, 递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是______________,对称中心是_____________；答案：定义域是x R ∈，最大值1，最小值1-，周期2π，递增区间是(2,2),k k k Z ππππ-++∈，递减区间是3(2,2),22k k k Z ππππ++∈2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的定义域是______,最大值是______，最小值是____，周期是____, 递增区间是_____________________，递减区间是______________________． 对称轴是__________________,对称中心是____________；答案：定义域是x R ∈，最大值1，最小值1-，周期2π，递增区间是(2,2),k k k Z πππ-+∈，递减区间是(2,2),k k k Z πππ+∈典例精讲例1. （★）求下列函数的定义域与值域（1）x y 2sin 21=（2）x y cos 2-= 分析：(1)∵sin y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-；∴1sin 22y x =的定义域应是2x R ∈，即x R ∈，值域是11[,]22-； (2)虽然cos y x =的定义域为R ，值域是[1,1]-.但本题中2cos x -作为二次根式的被开方数，所以2cos 0x -≥，即cos 0x ≤.根据余弦比的符号可求得x 求值范围，并由02cos 2x ≤-≤，可得函数值域.解：(1)定义域为R ，值域是11[,]22-； (2)定义域为322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，值域为[0y ∈. 例2. （★）求下列函数的周期（1）cos(2)y x =-； （2）sin()26x y π=+ 【分析：2||T πω=.】 解：（1）2|2|T ππ==-； （2）2412T ππ==例3. （★★）设R x t x ∈-=,3sin ，求t 的取值范围.解：1sin 1,x x R -≤≤∈,则131t -≤-≤，解得24t ≤≤.【本题实际是正弦函数的值域问题.学生程度尚可的话可以选用变式练习为例题进行讲解.】 变式练习：（★★★）已知α是第四象限角,且23sin 4m mα-=-，求实数m 的取值范围. 解：α是第四象限角，故0sin 1α≤≤从而有23014m m -≤≤-， 解得 3723m ≤≤.【本题的难点：解分式不等式.必要的话学科教师可以进行分解，即适当讲解分式不等式的解法.】例4. （★★）函数sin y a b α=+的值域为[4,2]-,求,a b 的值.解：当0a >时 2341a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=-⎩⎩. 当0a <时 2341a b a a b b -+==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩（矛盾舍去）. 变式训练：（★★）设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M m +等于（ ）A ．32B ．－32C ．－34 D ．－2 解：D例5. （★★）判断函数sin()2y x π=-的奇偶性和单调性，并写出的单调区间.解：sin()cos 2y x x π=-=-，为偶函数，单调递增区间为(2,2),k k k Z πππ+∈，单调递减区间为(2,2),k k k Z πππ-+∈.课堂练习 1. （★）函数cos3y x =，x R ∈的最小正周期是 .解：23π 2. （★★）函数x x x f 22sin cos )(-=是 （ ）A ．最小正周期为2π的奇函数．B ．最小正周期为2π的偶函数．C ．最小正周期为π的奇函数．D ．最小正周期为π的偶函数．解：D3. （★★）若将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a (0)a >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为（ ） A ．6π B ．3πC ．32π D ．65π解：D4. （★★）函数)cos(sin x x y --=π)R (∈x 的单调递增区间为 ．解：3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈。

专题16 函数的基本性质（2）（函数的单调性）知识梳理1.函数单调性的定义对于函数)(x f 的定义域D 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。

注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“ ”连接；如xy 1=的单调递减区间时()0，∞-和()∞+，0而不能写成()()∞+∞-，，00 。

2.单调性证明四部曲①任取1x ,2x 属于定义域，且令1x <2x ；②作差)(1x f －)(2x f 并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断)(1x f －)(2x f 的符号；④得出结论.3.复合函数的单调性：同增异减注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。

4.单调性与奇偶性之间的关系奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。

5.单调性的其它等价形式①对于任意的0a >，都有()()f x a f x +>，表示()f x 单调递增；对于任意的0a >，都有()()f x a f x +<，表示()f x 单调递减.②对于任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，表示()f x 单调递增； 对于任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-，表示()f x 单调递减. ③若()x f y =是奇函数，且对定义域内的任意y x ,（0≠+y x ）都有()()0>++yx y f x f 恒成立，则()x f y =在定义域内递增；()()0<++y x y f x f 恒成立，则()x f y =在定义域内递减.例题解析一、单调性的概念及简单基本函数的单调性【例1】设)(x f 是定义在R 上的函数．①若存在R x x ∈21,，当21x x <时、有)()(21x f x f <成立，则函数)(x f 在R 上单调递增；②若存在R x x ∈21,，当时，有)()(21x f x f ≤成立，则函数在R 上不可能单调递减；③若存在02>x ，对于任意R x ∈1，都有)()(211x x f x f +<成立，则函数在上单调递增；④任意，当时，都有)()(21x f x f ≥成立，则函数在上单调递减．以上命题正确的序号是（ ）（A ）①③ （B ）②③ （C ）②④ （D ）②【难度】★★21x x <)(x f )(x f R R x x ∈21,21x x <)(x f R【答案】D【例2】判断命题：（1）已知)(),(x g x f 均为R 上的单调递增函数，则)()(x g x f ⋅是R 上单调递增函数；（2）已知)(x f 的定义域为R ，)1()(+<x f x f ，)(x f 为R 上的增函数。

第三章函数及其性质2009年上海考试手册规定的考试内容：1、函数的有关概念。

要求：对所学数学只是有理性的认识，能用自己的语言进行叙述，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识点之间的联系；知道它们的用途。

对所学技能会进行独立的尝试性操作。

2、函数的运算。

要求：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

3、函数关系式的建立。

要求：能在新的情境中综合的、灵活的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。

4、函数的基本性质。

要求：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有的数学只是建立联系，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。

一、知识点归纳：第一个点：什么是函数？在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f（x），Dx ，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.小提示：1、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

2、理解关键字“任意”：在定义域中，对于一个确定的x，这个x是定义域内的任意一个值。

3、对应法则的理解：对应法则是某一种运算规律。

etc:（1）、2xy=的对应法则为取平方。

（2）、1=的对应法则为乘2加1。

2xy+4、理解关键字“唯一”：通过运算，只能得到一个确定的值。

从对应的观点来看，有两种对应可以成为函数：一对一和多对一。

图示：X y x y一对一多对一但是有一种情况不是函数：图示：X y一对多第二个点：反函数的定义。

对于函数y=f（x），设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D 中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f （x）的反函数，记作)(1yx-=，习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所f以把它改写为f=-xy∈x(1A.),小提示：对于反函数来讲，我们对反函数和函数的定义加以区分，函数的定义是任取一个x，xy o 1-1-11xy =3x y =3xy =都有唯一的一个y 与其对应，体现出的对应形式是一对一和多对一，但是对于反函数只有一对一才有反函数，而多对一不存在反函数，如果唯一的一个x 对应唯一的y ，这样能判断是否存在反函数。