四边形4

四边形4点共圆的条件
四边形4点共圆的条件可以用圆的性质来解释。

如果四个点A、B、C和D在同一圆周上，那么它们之间的弧长相等。

因此，如果四
边形的四个顶点满足这个条件，那么它们可以被一个圆完全包围。

另外，四边形4点共圆的条件也可以通过几何推理来证明。

通
过观察四边形的对角线和中垂线的关系，可以得出四边形4点共圆
的条件。

当四边形的对角线互相垂直且相交于同一点时，四边形的
四个顶点就共圆。

在几何学中，四边形4点共圆的条件是一个重要的性质，它可
以帮助我们判断四边形的性质和特点。

同时，这个条件也可以应用
到实际问题中，比如在建筑设计和工程测量中，我们可以利用这个
条件来判断四边形是否为圆的四点共圆，从而保证设计和测量的准
确性。

总之，四边形4点共圆的条件是一个重要的几何性质，它可以
通过圆的性质和几何推理来解释和证明。

这个条件在几何学和实际
应用中都具有重要意义，对于理解和应用几何学知识都有着重要的
作用。

第4讲四边形【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用．2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理，并能灵活应用.4. 理解用多边形进行镶嵌的应用，能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【基础知识】一、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2. 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有条对角线．二、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.三、平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质与判定性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.平行线的性质（1）平行线间的距离都相等（2）等底等高的平行四边形面积相等四、特殊的平行四边形1.矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.2.矩形的性质与判定性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.3.菱形的性质与判定性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.4正方形的性质与判定性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.五、镶嵌的概念和特征用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【考点剖析】考点一：多边形内角和的问题例1．1．下列多边形中，内角和为360°的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】若多边形的边数是n，则其内角和计算公式为（n﹣2）•180°，据此进行解答即可.【详解】解：由多边形内角和公式可得，（n﹣2）•180°=360°，解得n=4，是四边形，故选择B.考点二：平行四边形例2．2．下列关于判定平行四边形的说法错误的是（）A．一组对角相等且一组对边平行的四边形B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形C．两组对角分别相等的四边形D．四条边相等的四边形【答案】B【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】A. 一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故本选项符合题意；C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D. 四条边相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B考点三：矩形性质理解例3．3．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．邻边相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．邻角互补【分析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．【详解】解：A、邻边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项正确；B、对角线互相平分，菱形具有而矩形也具有，故本选项错误；C、对角线相等，菱形不具有矩形具有，故本选项错误；D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项错误；故选：A．考点四：多边形的镶嵌例4．4．用一批完全相同的正多边形能镶嵌成一个平面图案的是（）A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形【答案】B【分析】根据镶嵌的性质即可判断.【详解】A. 正五边形内角为108°,不能被360°整除,不符合题意;B. 正六边形内角为120°,可以被360°整除,符合题意;C. 正七边形内角为128.571°,不能被360°整除,不符合题意;D. 正八边形内角为135°,不能被360°整除,不符合题意;故选B.【真题演练】1．用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是( )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【分析】本题考查了平面镶嵌的条件分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能镶嵌；B 、正方形的每个内角是90°，能整除360°，4个能镶嵌；C 、正五边形每个内角是1803605108︒︒︒-÷=，不能整除360°，不能镶嵌；D 、正六边形每个内角为120度，能整除360度，3个能镶嵌．故选C ．2．用一批完全相同的多边形地砖铺地面，不能进行镶嵌的是( )A ．正三角形B ．正方形C ．正八边形D ．正六边形 【答案】C【解析】【详解】A 、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；B 、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；C 、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；D 、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．故选C ．3．边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（ ）A ．正方形与正三角形B ．正五边形与正三角形C ．正六边形与正三角形D ．正八边形与正方形 【答案】B【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】解：A.正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能作平面镶嵌．B.正三角形的每个内角是60°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6-95n ，显然n 取任何正整数时，m 不能得正整数，故不能作平面镶嵌．C.正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能作平面镶嵌．D.正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能作平面镶嵌． 故选：B ．4．下列说法错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D【分析】根据菱形的判定、矩形和平行四边形和直角三角形斜边上的中线性质进行判定即可．【详解】A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，故选：D．5．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D【分析】利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．【详解】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，∵菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，故选：D．6．下面说法正确的有（）∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；∵如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；∵等腰三角形的两个内角相等；∵到三角形三边距离相等的点是三边垂直平分线的交点；∵等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的内心和外心、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．【详解】解：∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，正确；∵如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，正确；∵等腰三角形的两个内角相等，正确；∵在三角形中，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，故此选项不正确；∵等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半，正确；故选：C ．7．矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对边平行且相等D ．内角和为360° 【答案】B【分析】列举出矩形和菱形的所有性质，找出矩形具有而菱形不具有的性质即可．【详解】解：矩形的性质有：∵矩形的对边相等且平行，∵矩形的对角相等，且都是直角，∵矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：∵菱形的四条边都相等，且对边平行，∵菱形的对角相等，∵菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；矩形和菱形都属于四边形，其内角和均为360°∵矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：B ．8．在菱形ABCD 中，对角线 2AC =，BD =S 菱形ABCD ＝（ ）A ．B ．C ．3D 【答案】B【分析】根据菱形的面积等于其对角线积的一半，进而求解．【详解】由题意知，菱形ABCD 的面积122=⨯⨯= 故选B ．【过关检测】1．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．内角和是360°【答案】A【分析】利用平行四边形的性质逐个判断，即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，∵对角相等，不一定互补，故A符合题意，C不符合题意．AB∵CD，AD∵BC，∵邻角互补，故B不符合题意．任意四边形的内角和为360°，故D不符合题意．故选：A．2．下列关于平行四边形的特征的描述中，正确的个数有（）（1）对边相等；（2）对角相等；（3）对角线相等；（4）邻边相等；（5）邻角互补．A．2个B．5个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即可判断各选项的正误．【详解】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，对边相等，邻角互补可知（1）（2）（5）正确，故选：C．3．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是( )A．AB∵CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∵A=∵B，∵C=∵D D．AB=AD，CB=CD【答案】B【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．【详解】解：A、AB∵CD，AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；B、AB=CD，AD=BC判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项正确；C、∵A=∵B，∵C=∵D不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；故选：B．4．平行四边形的一个内角为40︒，与它相邻的另一个内角等于（）A．40︒B．50︒C．90︒D．140︒【答案】D【分析】利用平行四边形的邻角互补进而得出答案．【详解】解：∵平行四边形的一个内角为40°，∵与它相邻的另一个内角为：140°．故选：D．5．六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．180°【答案】C【分析】根据多边形内角和=(n-2) ×180 °计算即可．【详解】解：根据多边形的内角和可得：六边形的内角和为（6﹣2）×180°=720°．故选C．6．若一个正多边形的一个内角是144°，则它的边数是（）A．6B．10C．12D．13【答案】B【分析】设这个正多边形的边数为n ，根据n 边形的内角和为(2)180n -⨯得(2)180144n n -⨯=⨯，然后解方程即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，则(2)180144n n -⨯=⨯，解得10n =．故选：B ．7．四边形的内角和等于（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．150° 【答案】C【分析】n 边形的内角和是（n -2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【详解】解：（4-2）•180°=360°．故选：C ．8．正五边形的每一个内角是（ ）A ．30B ．72︒C ．108︒D ．120︒【答案】C【分析】求出正五边形的每个外角即可解决问题．【详解】 解：正五边形的每个外角360725︒==︒，正五边形的每个内角，故选：C ．9．十二边形的内角和为（ ）A ．1620°B ．1800°C ．1980°D ．2160°【答案】B【分析】根据多边形内角和公式解答即可;【详解】解：十二边形的内角和为：（12﹣2）•180°＝1800°．故选B．10．从五边形的一个顶点出发，最多可以引出该五边形的对角线的条数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】n n>边形从一个顶点出发可引出条对角线即可得．根据(3)【详解】-=（条），从五边形的一个顶点出发，最多可以引出的对角线的条数为532故选：A．。

知识必备07四边形（公式、定理、结论图表）考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.典例1：2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形=21ab=ch.（a、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）S 平行四边形=ah.a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG ＝90°，∠EGF ＝60°，∠AEF ＝50°，则∠EGC 的度数为（）A ．100°B ．80°C ．70°D ．60°【分析】由平行四边形的性质可得AB ∥DC ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF 的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故选：B．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．典例5：（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．典例6：（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4B．2C．2D．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．典例7：（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD ＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．典例8：（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，＝×AC×BC＝×2×2＝2．∴S△ABC【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．典例9：（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．典例10：（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；＝DF•（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDFAF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF 的面积S为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∴S矩形ABDF∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，＝BD•CD＝×4×3＝6，∴S△BCD+S△BCD＝12+6＝18，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.典例14：（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是4答案不唯一．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．。

小学三年级数学《四边形》教案1教学目标：1．直观感知四边形，能区分和辨认四边形，知道四边形的特征。

进一步认识长方形和正方形，知道它们的角都是直角。

2．通过画一画、找一找、拼一拼等活动，培养学生的观察比较和概括抽象的能力，发展空间想象能力。

3．通过情境图和生活中的事物进入课堂，感受生活中的四边形无处不在，进一步激发学生的学习兴趣。

教学重点：感知四边形的特征，能判别四边形。

教具、学具：课件一套、三角尺、四边形、格子纸等。

教学过程：（一）感知四边形的特征1．认识四边形。

（1）师：（板书课题）看一看，今天我们要学习什么？你见过四边形吗？你认为它是什么样的？根据学生回答出示长方形、正方形等四边形的图片。

（2）出示下列学生没有说到的图形。

师：那这个是四边形吗？它们有什么共同特征吗？根据学生回答板书（四条边，四个角。

）2．判断四边形。

（1）老师这里还有一些图形，请你判断一下它们是四边形吗？（书第35页中的图形补充4个图形，用课件展示。

）说说为什么不是。

那你觉得四边形光有四条边行吗？是怎样的四条边？（补充板书：直的。

）（2）你有没有办法把这些不是四边形的图形改成四边形？（根据学生回答课件中操作。

）（二）寻找四边形1．找生活中的四边形。

师：同学们真能干，经过你们的修改，这些图形都成了四边形，那请你们找一找在你周围哪些物体的表面也是四边形的。

请你摸给大家看。

2．找主题图中的四边形。

师：其实四边形在生活中的应用是非常广泛的，你看这是一幅校园图，你能从中找到四边形吗？（课件出示，根据学生的回答，相应的四边形用红色闪一闪，提取出来放在屏幕的右边。

）（三）小结：我们找到了这么多的四边形，那么什么样的图形是四边形呢？（多指名学生说）（四）四边形分类1．指导分法。

师：虽然这些都是四边形，可它们的样子还是有些不同的，你们看，这是长方形、正方形、梯形、平行四边形、菱形，这些都有自己的名字，而这个是任意四边形（在黑板上边指边说）。

接下来请你们拿出练习纸，你能按一定的标准给这些特殊的四边形分分类吗？先想一想你打算怎么分？需要什么工具吗？练习纸：根据学生回答师：你可以用三角尺的直角去比一比这些角的大小（板书：比），你还可以用尺量一量它们的边长（板书：量）。

12.2几种特殊的平行四边形(4)教学目标：1、掌握菱形的概念和特征，理解和掌握菱形的识别方法。

2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、逻辑思维能力。

3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。

重点与难点：重点是菱形的识别方法；难点是菱形的识别方法的理解和掌握。

教学准备：教师准备：投影仪、投影片，平行四边形教具。

教学过程：一、复习引入：1、复习菱形的有关概念及边、角、对角线方面的特征。

2、复习平行四边形、矩形的识别方法。

二、讲授新课：1．菱形的识别方法：①菱形是有一组邻边相等的平行四边形，因此在识别一个四边形是不是菱形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两邻边是不是相等，这种用“定义”识别我们已经知道是最重要和最基本的识别方法。

今天我们研究菱形有几种识别方法。

总结出识别方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

②大家都知道，菱形的特别之处在于它的邻边相等，能否从边的特点来识别菱形呢？学生猜想：会从平行四边形、矩形的识别方法和特征联想到。

给出：问题1：有四边相等的四边形是菱形吗？…(投影)分析问题1：因为四边形的四边都相等，因此一定有一组邻边相等，只要再证出它是平行四边形就可由定义证明此问题是肯定的。

(由学生自己证明书写过程)。

总结出识别方法2：四边相等的四边形是菱形。

③我们再考虑菱形的其他特殊的特征，如从对角线的角度来考虑，那么，是否可以从对角线上来识别菱形呢？给出：问题2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？…(投影)分析问题2：因为平行四边形是条件，所以只需证有一组邻边相等即可。

为加深学生对问题2条件的理解，可举反例：如：两条对角线相等的四边形，是不是菱形？两条对角线相等且互相平分的四边形是不是菱形？两条对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？(学生可自行画图观察，进行证明过程的书写训练)可知，由对角线垂直推不出四边形是平行四边形，巩固学生对识别方法3的印象和理解。

三年级数学四边形的特点三年级数学四边形的特点：
一、正四边形：
1、四边形：所有边均相等，角度也相等;
2、每条边的中点全部在四边形的对角线上;
3、所有的内角相加起来等于 360°;
4、四边形的内角和外角的角度是相等的。

二、矩形：
1、只有四条边，角度均为90°;
2、两个对角线互相平行，在同一条线上;
3、四边形的内角和外角的角度是相等的;
4、四条边的中点构成一个矩形。

三、菱形：
1、边长不等，内外角均不相等;
2、四边形中两个对角线是平行的，等距离分开;
3、菱形的内角加起来等于 360°;
4、菱形中四条边的中点构成一个菱形。

四、梯形：
1、只有四条边，其中两条对角线互相平行;
2、梯形的内角加起来等于 360°;
3、两条相邻边的对角线相交，形成一个尖角;
4、梯形四边形中四条边的中点构成一个梯形。

《四边形》教学设计教学设计者：谢蕾、教学内容：人教版三年级上册第79页。

三、教学目标:1.直观感知四边形，能区分和辨认四边形，知道四边形的特征。

进一步认识长方形和正方形，知道它们的角都是直角。

2.通过画一画、找一找、拼一拼等活动，培养学生的观察比较和概括抽象的能力，发展空间想象能力。

3.通过情境图和生活中的事物进入课堂，感受生活中的四边形无处不在, 进一步激发学生的学习兴趣。

四、教学重点：感知四边形的特征，能判别四边形。

五、教学难点：对四边形进一步分类，了解不同四边形各自的特性。

六、教具、学具：课件一套、三角尺、四边形、信封等。

七、教学过程:（一）情景导入1.同学们，你们喜欢参加体育活动吗？你喜欢什么体育运动?2.光明小学校园里，同学们也正在进行各种活动，我们一起去看看。

（课件出示主题图）仔细观察，在这美丽的校园里你发现了什么图形？（先自己找一找，再同桌交流）交流汇报，学生可能找到的图形有：（指名回答，课件单一闪动）3.导入课题在美丽的校园里有许多的图形，像长方形、正方形、平行四边形、菱形、梯形（同时指这些图形）这些都是平面图形，都叫四边形。

今天这节课我们就一起来研究四边形。

板书：四边形的认识（二）探究认知1、初步感知：你认为怎样的图形是四边形?同学们，数学书第79页也有许多的图形，你能从中找出四边形吗？并涂上你自己喜欢的颜色。

比一比，看谁涂得又快又好看。

（2）涂完后，同桌交流，说说理由。

（3）集体反馈，为什么这些是四边形，而那些却不是?2、讨论，概括四边形的特征。

根据学生的反馈，板书:3、判断四边形。

老师这里还有一些图形请你判断一下他们是四边形吗?仔细观察一下，这些四边形有什么特点? （先小组，再反馈）四边形4、我们知道了四边形的特征，你能说说我们生活中哪些物体的表面也是四边形？（出示课件）5、动手操作，获取新知（1）分一分：每一小组一信圭寸，内有六种图形：正方形、长方形、平行四边形、菱形、不规则四边形和梯形。

第14讲四边形（讲义）小学数学三年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1. 四边形的特征。

四边形有4条直的边，有4个角，并且是封闭图形。

2. 长方形、正方形的特征。

长方形的对边相等，4个角都是直角；正方形的4条边都相等，4个角都是直角。

1.四边形是由四条线段首尾顺次相接围成的一个封闭图形。

2.4个角都是直角的四边形，同时具备4条边都相等才能称作正方形,，二者缺一不可。

【易错一】下面图形中，（）是四边形。

A．B．C．【解题思路】在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形；四边形有四条边，四个角，由此求解。

【完整解答】上面图形中，是四边形。

故答案为：B【易错点】解决本题关键是熟知四边形的特点。

【易错二】在下面的点子图上画出几个不同的四边形。

【解题思路】在点子图上画出几个有4个顶点，4条边的图形即可。

【完整解答】【易错点】本题主要考查学生对四边形概念的掌握。

【易错三】下图中有（）个带“*”的长方形。

A．11 B．5 C．8 D．3【解题思路】长方形的对边相等，并且有4个直角；依此计算出带“*”的长方形的个数即可。

【完整解答】1＋3＋1＋2＋1＝8（个）故答案为：C【易错点】熟练掌握长方形的特点是解答此题的关键。

【易错四】下图是一个长方形。

（1）如果在图中画一个最大的正方形，这个正方形的边长是( )厘米。

（2）剩下的图形是一个长方形，长是( )厘米，宽是( )厘米。

【解题思路】（1）从一个长方形中画一个最大的正方形，则正方形的边长等于原长方形的宽，依此填空；（2）剩下部分为长方形，用原来长方形的长减去长方形的宽，求出计算出剩下的长方形的长和宽。

【完整解答】（1）长方形的宽是4厘米，即所画这个正方形的边长是4厘米。

（2）7－4＝3（厘米），即剩下的图形是一个长方形，长是4厘米，宽是3厘米。

【易错点】此题考查的是平面图形的分割，熟练掌握正方形和长方形的特点是解答此题的关键。