x
有解，求实数m 的取值范围．
20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．
（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33
()n n S S 成立，求数列{a n }的通项公式； （2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所
得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合．
(ⅰ)求a 1，a 2的值；
(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．
参考答案
一、填空题
1．6 2．-12 3．π2 4．x 220－y 25＝1 5．1
2 6．0 7．10
8．(1, ＋∞) 9．12 10．533或－ 3
11
12．(－1,1) 13．2 14．2－1
2
二、解答题
15．(1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，
所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．
因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π
4
．
(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，
所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋43
5
． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝4
3
．
所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B
1－tan A tan B
＝7．
16．证明（1）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB I 平面ABCD = AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，∴ P A ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，
∴P A ⊥BD ．连结AC BD O =I ，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4， ∴
1
2
AB BC BC CD ==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ， ∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆． ∴BDC ACB ∠=∠．
∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒．
则AC ⊥BD ．∵AC PA A =I ，∴BD ⊥平面P AC ．
（2）∵PB //平面F AC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD I 平面F AC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DO
PF OB
=
. 又∵AB //CD ，且
1
4
BO AB OD CD ==，∴DF ：FP=4:1. 17．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：
当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x
5
恒成立．
对于函数模型f (x )＝x
150
＋2．
当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝20
3
＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．
但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x
5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．
(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2
，当3a ＋20＞0，即a ＞－20
3时递增；
要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥982
3
；
要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2
≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥192
5．
综上所述，a ≥982
3，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．
18．(1)由于
c 2＝a 2－b 2，将
x ＝－c 代入椭圆方程22
221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22
b a
＝1，即a ＝2b 2，
又e ＝c a ＝32
， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为22
14x y +=． P F
D
C
B
A O
