金湖县实验中学高中数学奥赛辅导初等几何变换(一)

基础知识：

平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989年中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。

一、 平移变换

1． 定义 设PQ 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上

任一点X 变到X'，使得'XX =PQ ，则T 叫做沿有向线段PQ 的平移变换。记为X −−→−)PQ (T

X'，图形F −−→−)PQ (T

F' 。 2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、 轴对称变换

1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点

X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。记为X −→−)l (S X'，

图形F −→−)l (S F' 。

2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于

对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

例题：

【例1】 P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB 。

求证：∠PBA=∠PDA 。

【例2】 如图左：线段AA ′,BB ′,CC ′交于点O ，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。 求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<3

B'B O A'

C A C'B'B

O P A'C

A Q R C'图2

【例3】 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边

形。

【例4】 P 是⊙O 的弦AB 的中点，过P 点引⊙O 的两弦CD 、EF ，连结DE 交AB 于M ，连结CF 交AB 于N 。求证：MP=NP 。（蝴蝶定理）

【例5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆，试在⊙O 及射线CA 、CB 上各求一点P 、Q 、R ，使得△PQR 的周长为最小

【例6】△ABC 中，∠A ≥90°，AD ⊥BC 于D ，△PQR 是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD 。

O A C B D F

E C'A'

O A C B

D O A C B D F

E C'A'G

图3

O B A P D F C E N M H

G F'O B A P D F

C E

N M 图4 图6

A B C D P Q R

P'P''A B C D P Q R