α粒子散射公式的几种推导方法
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１９９９年第３期 西江大学学报 Ｎｏ．３．１ ９９９ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＪＩＡＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
粒子散射公式的几种推导方法 胡宝坚 （西江大学 副教授 肇庆市 ５２６０６ ｆ）
提要本文用不同方法导出 粒子散射公式，将有助于 原子物理学 课程的课堂教学 作， 关键词 粒子散射原子核
《原了物理学》中，用以解释原了的核武结构的 粒了散射公式为： １ ２Ｚ ｅ２ ２ ４ 占０ 下面用 同的方法导出，以丌阔初学者的视野。 【方法一】采用几何法。设有一个初速为Ｖ。的 粒了（２ｅ）身寸到一原了核（ｚｅ）附近，ＬＬＩ 于两者的排斥力，在原了核的质最比 粒了大得多的情况下，则认为原了核 动而口粒了偏 离原来的运动方向。 图①中Ｖ。是口粒了的初速度，ｂ是原了核离 粒了原运动轨迹的延长线的幂寓距离，也 称瞄准距离。 是偏转角或称散射角，ｍ是 粒了的质罱。 设 粒了达到离原了核最小距离， 处的速度为Ｖ，根据能量守恒定律和角动最守恒定 律，得：
三 ８＝芝１ ２＋４ ２Ｚ占。ｅ厂２＿＿小 ｍ Ｖｏ ｂ＝ｍ ｒ
（１）
（２ 册 ｒ－＼ ｌ６
山（１）、（２）得：，． ２一＿ｌ＿ｌ＿～４…Ｚ．ｅ２厂 一Ｕ厶２：０ …··（３） ， ｔ ． １，埘 Ｖ ４ｚ Ｃｏ ｍ
考虑到， ＞０，则解出：
一 ＋ １…
２ Ｚ ｅ２］ …
＋ｚＰ 图①
６ｌ
维普资讯 http://www.cqvip.com 令口：． ２Ｚ２ 则（４）式改写为： 卅＝ ＋ 、，ｌ ＋ｂ ……（５）
４ ｏ ｍ Ｖ
山图②，，． ＝ＯＣ＝ＢＣ＋ＢＯ 在ＡＢＡＯ中： ＢＯ＝（ ＋ Ａ Ｂ＝ｂ ＋
则 ＝ ０＋ 、）２＋６ …一（６ （５）、（６）比较得：ＢＣ：ＯＡ： ：１２Ｚ ｅ ２ ４ｚ ｏ ｍ 在ＡＢＡＯ中： ａ １ ２Ｚ Ａ—Ｂ—ｂ ４ 。ｍ Ｖ２ｏ…ｂ
锄 ，而 ＋ ≥
＝２ ，即 ＝兰，代入（７）式得： 罢
【方法二】利用毕耐公式，见图③ ＋ 卜 …
式中 ： ， ：ｒ２ ｑ）为速度矩。 粒孚与核问的相互作用是库仑相互作用’：
（７） ｌ ２Ｚ Ｐ２ ４ｚ ０ ｍ Ｖ ｂ
（９） ｄ Ｕ． １ ２Ｚ ｅ （１０） ——＿’＋Ｕ 一 一 ： Ｃ ｄ ４ｚ占ｏ ｍ ｈ
式中 １ ２Ｚ ｅ （】ｏ）式的通解为 ４ｚ ０ ｍ ｈ （１１） Ｕ＝Ｘｃｏｓｆｐ＋Ｂｓｉｎ￣ｏ＋Ｃ
式中Ａ、Ｂ为积分常数，可按下列方法确定：
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Ａ＋ｚｃ 图②
ｚｅ 图③
呈Ｚ～ ２ 一 Ｏ 一 ● 到 ４得 ＝ 式 Ｆ 维普资讯 http://www.cqvip.com 粒子从无穷远入射， ＝＝＝ ：Ｃ：… ４兀￡ ｍ ｈ
轨道上任一点纵坐标ｙ＝ｒＳｌｌｇＯ （碰撞参数）得到 ＝ 把Ａ、Ｂ代入（１Ｄ式得到
厂＝Ｏ０，贝Ｕ“＝０，山止Ｅ得 Ｕ［Ｊ ：ｓｉｎ ０代入（９）式并考虑到 ＝丌时６
Ｙ
“＝ｃ ｃ。ｓ ＋占１ ｓｉｎ ＋ｃ ……（１２）
散射后 粒予飞向无乡了远 ＝∞，“＝０，则 — ０，故有 Ｃ（１＋ｃｏｓ ）＋ １ ｎ ＝。
考虑到 一二ｓｉｎＯ１ ＝留 ，则山（１３）式得ｃｏｓＯ ２ ＋
， ０ １ ２Ｚ ｅ２ ｂ ２－＝－ｂｃ＝
因为ｈ＝ （Ｄ＝６ Ｖｏ，故得到 粒予散射公式： ０ １ ２Ｚ ｅ２ 留 ｂ—
Ｅ＝ （ｒ ２＋ （ｐ ）＋ １ ２ ｊ＝Ｅ。
因为 Ｉ ｒ （ｐ Ｉ＝ｍｂ Ｖ
１ ， Ｖ Ｅ ０
引入新 量“： 得到 Ｉ ｑ，Ｉ：—Ｖｏ ｂｒｏ ｂ
Ｉ ｒ Ｉ Ｉ ｄ Ｆ（ｐ Ｉ ｒｏ ｂ ，
其中 一 ，山（１８）、（１９）式把（１６）武变为： ａ
“，２＋“２＋ 一 ２ ｂｍ Ｖ ｂ ｂ ４万 ０
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５ ６ ７
维普资讯 http://www.cqvip.com 把（２１）式对 再求一次导数得到： ＋ ＋… …２Ｚｅ
２
＝Ｏ ４ｎ＂占ｏｍＶ ｂ
剩下解法与第一种方法的解法相同。
【方法四】利用动最定律。令Ｐ。和Ｐ为 粒了初始和最终的动量矢景，山于 粒予受到 原予核给予它的冲景ｌ ，它的动罱变化最为△ ，即
△ —Ｐ。 Ｊ …‘（２３） 因为根据卢瑟福１｝５；｛设，在 粒予通过期间原了核保持静，【｝：，故 粒了的动能保持不变，那 么 粒了的动景的大小也保持 变： Ｐ ＝ｉＰｏｊ＝ ，，ｌＶ ｏｌ 参看图④，依据正弦定律有 △Ｐ ，，，Ｖ ０ ｓｉｎ ．ｆ万一０ １ｍ ｏ ｒｎ ｍ ｏ ｒｎ（２４） ．ｓｉｎ ｌ…～ ｌ … 。 ２ 山 ｎ（ ）…ｓ ｎ ＝２ ｓｉｎ呈ｃｏｓ ０ 故动景的变化 为
△尸＝２ｍ Ｖｏｓｉｎ …．．（２５ 由于冲量Ｉ Ｆｄｔ和动量变化最△Ｐ同方向，它的大小为 Ｊ ＣＯＳ触 …··（２６） 其中 是 粒子轨道上各点的 和△ 问的瞬时夹角，见图③。把（２５）、（２６）式代Ａ（２３） 得 ｏ２ｍ Ｖ ｓｉｎ罢：Ｊｉｏ Ｆ ＣＯＳ触 ： ｔ
把积分变景改变为角 ，并注意到积分限相应的山ｔ＝ｏ和余ｔ＝Ｏ０分别变为 巾＝一毒（兀一。） ，和巾 弓’ —０），所以有 ｓｉｎ ＝杞， ｓ 茹 … ８
其中 可以用 粒子埘原点的角动量来表示，因为根据有心力的特点：角动量守恒。开 始角动最大小为，，， ，后来角动量变为，，，，． 警，故ｍ ｒ２ ｄｔ＝，，ｌ 。６
，． 即 一Ｖ…
ｏｂ
把上式和Ｆ： 一２Ｚｅ
２ 代入（２８）式
得到
４万占ｏ ，．２
维普资讯 http://www.cqvip.com ｎ ＝螂ｃｏｓ ｃｏｓ … 。 由此得到 粒子散射公式 芝０＝ １ ２Ｚ ｅ ２ ·
【方法五】利用牛顿第二定律。并由于 粒子在有心力场中运动时，遵守角动量守 恒，所以有 １ ２Ｚ ｅ 一
晰２ ： 。６： ｄｔ
式中负号是由于却本身是一负值。由（３１）、（３２）式得到
：一 ：一 ｆ—ｒｏ ｄ￣ 由 可知４ 。
Ｖｏ＝２Ｖｏ ｆ （＿ ｆ ｊ＋ｃ。 了） 因为在任一时刻有ｒｏ ＣＯＳ（ｐ ｉ＋ｓｉｎ（ｐ Ｊ，故有 ＝ 。 ＋ ｉｎｔｐ ｊ ＝ ｉｎＯ—ｊ一（１＋ｃｏｓＯ）ｊ ＝２ｃ。 ０（ｓｉ ００了）
把（３４）式和（３５）式代入（３３）得到 ２ 呈＝ ２ｃｏｓ墨
由此得到 粒子散射公式 １ ２Ｚ口 辔
图④ 必须指出，上面的每一种推导方法都基于下列假设： 图⑤ ①只发生单次散射：②只有库仑相互作用；③忽略核外电予的作用；④靶核在实验 坐标系中固定不动。要考虑核与 粒子的相互作用时，一般地说，这是一个两体问题，显 然上面得到的 粒子散射公式就不适用。但是我们知道，两体问题可以简化成粒子质景为 ＝ｍＭ ｆ，ｍ＋Ｍ），而散射中心固定在两体的质心的单体问题，那么只要将上面推得的
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维普资讯 http://www.cqvip.com 基本公式中０、 理解为在质心坐标系中的散射角Ｏｃ和初度Ｖｃｏ，即： 辔譬＝ 砉蒜
参考文献 ｆｌ１阿克木哈孜、马力克．原子物理中两个基本公式的推导．华中师范大学学报，１９９７．８（专辑）：２８４ ｆ２１周镇宏、胡宝坚．大学物理学一题多解及评注．广东人民出版社，１９８８：３４１
ｒ上接４６页） 其中一块使用真实的ＩＰ地址与ｌｎ￣ｒｎｅｔ相连：另一网卡与实验室内部客户机相连，并山它给内 部每一客户机分配一个虚拟的ＩＰ地址。例如本系统中安装完Ｗｉｎｄｏｗｓ ＮＴ后设置真实ＩＰ地址 ２ｌ０．３８．１７６．５７，予网掩码（主要用来识别ＩＰ地址中哪部分是网络地址，哪部分是主机地址） 设为２５５．２５５．２５５．２５５．０（Ｃ类子网掩码），网关设为２１０．３８．１７６．１：另一网卡的ＩＰ地址设为虚 拟的ＩＰ地址２０．２０．２０．１，不设网关。 ５．２安装及配置代理服务器参数 安装ＭＳ Ｐｍｘｙ Ｓｅ￣ｅｒ时，选中“以ＩＰ来选择服务器”开关，设置实验室内部网络虚拟地 址范围，如：２Ｏ．２Ｏ．２Ｏ．１至２Ｏ．２Ｏ．２０．２５５：然后单击“开始”一“Ｍｉｃｒｏｓ￣ｐｒｏｘｙ Ｓｅ￣ｅｒ”一 “Ｉｎｔｅｒａｃｔ Ｓｅ￣ｅｒＭａｔｕｒｅｒ”一双击Ｗｅｂ Ｐｒｏｘｙ选项，弹出Ｐｍｘｙ管理窗口一设置窗口中选项 “￣ｉｓｓｉｏｎ”来配置限定哪些用户可以使用哪种ｌｍｅｍｅｔ服务（如ＷＷＷ、ＦＴＰ、Ｇｏｐｈｅｒ 等）。为了简便，利用ＮＴ管理工具建立一个组（如Ｐｒｏｘｙ组），组下含各学生的学号（以学 号作用户名），再将上述有关服务的访问权恰当地分配给有关用户。选项“Ｓｅｃｕｒｉｔｙ”用于 配置限制用户可以访问或不可以访问哪些站点。 ５．３安装及配置客户软件 客户机应安装Ｗｉｎｄｏｗｓ ９５／９８或ＮＴ Ｗｏｒ￣ｔｉｏｎ操作系统，然后利用Ｐｍｘｙ Ｓｅ￣ｅｒ提供的 Ｐｒｏｘｙ Ｃｌｉｅｎｔ软件安装客户机，客户机的ＩＰ地址从２０．２０．２０．２开始（最多至２Ｏ．２Ｏ．２０．２５５），子 网掩码全部设置为２５５．２５５．２５５．０，网关设为２０．２０．２０．１。 通过上述几个步骤，代理服务器及其客户机便配置好了。 总之，在局域网上采用代理服务器 ｍｘｙ Ｓｅｒｖｅｒ）技术，能极大地和有效地缓冲Ｉｎ￣ｒｎｅｔ上 的资源，提高信息共享度和访问速度，节省网上资源，减轻本地节点站的出口负载，并方便 实现内部网络的管理与提高网络的安全性，在校园网中起到积极的作用。
参考文献 『ｌ１（美）Ｍａｒｋ Ａ．ｓｐｒ０ｔａｃｋ计算机连网技术大全．北京：机械工业出版社，ｌ９９８．１ｌ Ｉ２１（美）ＢａｒｒｙＮａｎ∞计算机网络基础教程．北京：机械工业出版社，ｌ９９８．６
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