【精品】2016年安徽省淮北市濉溪二中高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)

2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（文科）一.选择题：选择题答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应位置，否则该大题不予计分（每一题5分，共60分）1．（5分）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定2．（5分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（）A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心3．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A． B．32πC．8πD．8π4．（5分）过两点A（m2+2，3﹣m2），B（3﹣m﹣m2，﹣2m）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．15．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β②如果m⊥α，α∥α，那么m⊥n③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题为（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②④6．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC（0＜k＜1），则（）A．当k=时，平面BPC⊥平面PCDB．当k=时，平面APD⊥平面PCDC．对∀k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直D．∃k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直．7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）圆C 1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4外切，则m的值为（）A．2 B．﹣5 C．2或﹣5 D．不确定9．（5分）已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（）A．﹣6 B．6 C．4 D．1010．（5分）设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣，） C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）11．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．12．（5分）集合A={直线l|直线l的方程是（m+3）x+（m﹣2）y﹣1﹣2m=0}，集合B={直线l|直线l是x2+y2=2的切线}，则A∩B=（）A．∅B．{（1，1）}C．{（x，y）|x+y﹣2=0}D．{（x，y）|3x﹣2y﹣1=0}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为．14．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则|CP|+|PA1|的最小值是．15．（5分）已知圆C的圆心与点M（1，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称，并且圆C与x﹣y+1=0相切，则圆C的方程为．16．（5分）所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（11分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=3，AC⊥BC，点M在线段AB上．（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；（2）当BM长是多少时，三棱锥B1﹣BCM的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的．18．（11分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．19．（12分）已知直线l经过两点A（2，1），B（6，3）（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点（2，0），求圆C的方程；（3）若过B点向（2）中圆C引切线，BS、BT，S、T分别是切点，求ST直线的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=4，AB∥CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，（1）求证：BD⊥平面PAC（2）已知点F在棱PD上，且PB∥平面FAC，若PA=5，求三棱锥D﹣FAC的体积V D﹣FAC．21．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（1）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2016-2017学年安徽省蚌埠二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：选择题答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应位置，否则该大题不予计分（每一题5分，共60分）1．（5分）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定【解答】解：∵如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，∴据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况，故选：A．2．（5分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O．则下列说法正确的是（）A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心【解答】解：由题意可知PA、PE、PF两两垂直，由PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知：AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选：A．3．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A． B．32πC．8πD．8π【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，PA⊥底面ABC，BC⊥AC．该几何体可以补成一个长方体，∴该几何体的外接球的半径R满足：（2R）2==8，∴外接球的表面积为4πR2=8π．故选：C．4．（5分）过两点A（m2+2，3﹣m2），B（3﹣m﹣m2，﹣2m）的直线l的倾斜角为135°，则m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．1【解答】解：由直线的倾斜角为135°，斜率为﹣1．可得=﹣1，解得m=﹣2．故选：C．5．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β②如果m⊥α，α∥α，那么m⊥n③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题为（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②④【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；所以正确的命题为：②③④，故选：A．6．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC（0＜k＜1），则（）A．当k=时，平面BPC⊥平面PCDB．当k=时，平面APD⊥平面PCDC．对∀k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直D．∃k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直．【解答】解：只有A正确．下面给出证明：延长BA，CD交于M点，连接MP，则BM=2AB，A是BM的中点，AP=BM，∴MP⊥PB，又∵侧面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，∴BC⊥平面PBM，可得BC⊥MP，故MP⊥平面PBC，∵MP⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．可知：B，C，D都不正确．故选：A．7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA 1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，∴A1（4，0，6），E（2，2，3），F（0，0，4），A（4，0，0），=（﹣2，2，﹣3），=（﹣4，0，4），设异面直线A1E与AF所成角所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．8．（5分）圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2=9与圆C2：（x+1）2+（y﹣m）2=4外切，则m的值为（）A．2 B．﹣5 C．2或﹣5 D．不确定【解答】解：由圆的方程得C 1（m，﹣2），C2（﹣1，m），半径分别为3和2，两圆相外切，∴=3+2，化简得（m+5）（m﹣2）=0，∴m=﹣5，或m=2，故选：C．9．（5分）已知直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，垂足为（2，p），则p﹣m﹣n的值为（）A．﹣6 B．6 C．4 D．10【解答】解：∵直线2x+my﹣1=0与直线3x﹣2y+n=0垂直，∴2×3+（﹣2）m=0，解得m=3，由垂直在两直线上可得，解得p=﹣1且n=﹣8，∴p﹣m﹣n=4，故选：C．10．（5分）设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．（﹣，） C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，﹣2），且斜率为﹣a，∵k MA==﹣，k MB==，由图可知：﹣a＞﹣且﹣a＜，∴a∈（﹣，），故选：B．11．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．12．（5分）集合A={直线l|直线l的方程是（m+3）x+（m﹣2）y﹣1﹣2m=0}，集合B={直线l|直线l是x2+y2=2的切线}，则A∩B=（）A．∅B．{（1，1）}C．{（x，y）|x+y﹣2=0}D．{（x，y）|3x﹣2y﹣1=0}【解答】解：（m+3）x+（m﹣2）y﹣1﹣2m=0，即m（x+y﹣2）m+3x﹣2y﹣1=0，∴，解得x=1，y=1，∴直线l恒过点（1，1），设圆x2+y2=2过点（1，1）的切线方程为：y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0，则，整理，得：k2+2k+1=0，解得k=﹣1，∴切线方程为：﹣x﹣y+2=0，即x+y﹣2=0．∴A∩B={（x，y）|x+y﹣2=0}．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，∴AC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，∴x=1或，∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=．故答案为：4或．14．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则|CP|+|PA1|的最小值是．【解答】解：由题意，△A1C1B是直角三角形，沿BC1展开，△CC1B是等腰直角三角形，作CE⊥A1C1，CE=C1E=1，∴|CP|+|PA1|=|A1C|==5．故答案为：．15．（5分）已知圆C的圆心与点M（1，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称，并且圆C与x﹣y+1=0相切，则圆C的方程为x2+y2=．【解答】解：∵圆C的圆心C（a，b）与点M（1，﹣1）关于直线x﹣y+1=0对称，∴，解得∴圆C的圆心C的坐标为（﹣2，2），圆C与x﹣y+1=0相切，半径r=，所求圆C的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=．故答案为：（x+2）2+（y﹣2）2=．16．（5分）所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2，则正三棱锥S﹣ABC的体积为，其外接球的表面积为12π．【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，∵SO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥SO，又BO⊥AC，∴AC⊥平面SBO，∵SB⊂平面SBO，∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM⊂平面SAC，AC⊂平面SAC，AM∩AC=A，∴SB⊥平面SAC，同理可证SC⊥平面SAB．∴SA，SB，SC两两垂直．∵△SOA≌△SOB≌△SOC，∴SA=SB=SC，∵AB=2，∴SA=SB=SC=2．∴三棱锥的体积V==．设外接球球心为N，则N在SO上．∵BO==．∴SO==，设外接球半径为r，则NO=SO﹣r=﹣r，NB=r，∵OB2+ON2=NB2，∴+（）2=r2，解得r=．∴外接球的表面积S=4π×3=12π．故答案为：，12π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（11分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=3，AC⊥BC，点M在线段AB上．（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；（2）当BM长是多少时，三棱锥B1﹣BCM的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的．【解答】证明：（1）连结BC1，交B1C于E，连结ME．∵侧面B B1C1C为矩形，∴E为BC1的中点，又M是AB的中点，∴ME∥AC1．又ME⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，∴AC1∥平面B1C M．•BB1，（2）∵V=，V=S△ABCV=V，∴S=S△ABC，∴BM=AB，△BCM∵AC=BC=3，AC⊥BC，∴AB=3，∴当BM=时，三棱锥B1﹣BCM的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的．18．（11分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点（1）求圆A的方程．（2）当|MN|=2时，求直线l方程．【解答】解：（1）意知A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴，∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20（5分）（2）垂径定理可知∠MQA=90°．且，在Rt△AMQ中由勾股定理易知设动直线l方程为：y=k（x+2）或x=﹣2，显然x=﹣2合题意．由A（﹣1，2）到l距离为1知．∴3x﹣4y+6=0或x=﹣2为所求l方程．（7分）19．（12分）已知直线l经过两点A（2，1），B（6，3）（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点（2，0），求圆C的方程；（3）若过B点向（2）中圆C引切线，BS、BT，S、T分别是切点，求ST直线的方程．【解答】解：（1）由题可知：直线l经过点（2，1），（6，3），由两点式可得直线l的方程为：整理得：x﹣2y=0，（2）依题意：设圆C的方程为：（x﹣2）2+y2+ky=0，（k≠0）其圆心为（2，）∵圆心C在x﹣2y=0上，∴2﹣2•=0，∴k=﹣2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2﹣2y=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．（3）圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的圆心为C（2，1）则BC的中点坐标为（4，2），|BC|=∵S、T分别是切点，∴以B（6，3），C（2，1）为直径的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=5，即x2+y2﹣8x﹣4y+15=0，∵C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+4=0，∴两个方程相减得4x+2y﹣11=0．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=4，AB∥CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，（1）求证：BD⊥平面PAC（2）已知点F在棱PD上，且PB∥平面FAC，若PA=5，求三棱锥D﹣FAC的体积V D﹣FAC．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，∴PA⊥平面ABCD∵BD⊂平面ABCD，PA⊥BD，连结AC∩BD=O，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=1，BC=2，CD=4，∠BDC=∠ACB，∴∠ACB+∠CBD=∠BDC+∠CBD=90°，则AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．（2）作FM⊥AD于M，连接MO，FO由（1）知：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴FM⊥平面ADC，FM∥PA∵PB∥平面FAC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面FAC=FO∴FO∥PB，∴平面FMO∥平面PAB∴，又PA=5，∴FM=4，∴．21．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1）判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【解答】解：（1）将曲线C的方程化为﹣﹣（2分）可知曲线C是以点（a，）为圆心，以为半径的圆．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）△AOB的面积S为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax（x﹣2a）=0，得点A（2a，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）在曲线C的方程中令x=0得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴S=|OA||OB|=|2a|||=4（为定值）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，∴圆心（a，）在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为，圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（1）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）设过点C1（﹣1，0）的直线l方程：y=k（x+1），化成一般式kx﹣y+k=0∵直线l被圆C2截得的弦长为，∴点C2（3，4）到直线l的距离为d==，解之得k=或由此可得直线l的方程为：4x﹣3y+4=0或3x﹣4y+3=0．（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2，即=，化简整理，得x+y﹣3=0，即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动．②设圆C过定点，设C（m，3﹣m），则动圆C的半径为=，于是动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0，由得或所以动圆C经过定点，其坐标为，．。

安徽省淮北市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .2. （2分）设，是向量，命题“若=﹣，则||=||”的逆命题是（）A . 若≠，则||≠||B . 若=﹣，则||≠||C . 若||≠||，则≠﹣D . 若||=||，则=﹣3. （2分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A . 8B . 6C . 3D . 24. （2分） (2017高二下·湖北期中) 已知函数f（x）=x2+ ，则“a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C 交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A .B .C . 2D . 36. （2分）己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为的直线，则点F到直线l的距离等于（）A . 1B .C . 2D .8. （2分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论中错误的是（）A . AC⊥BFB . 三棱锥A﹣BEF的体积为定值C . EF∥平面ABCDD . 面直线AE、BF所成的角为定值9. （2分）已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点，且，则双曲线的离心率的值是（）A .B .C .D .10. （2分）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A . －2B . 2C . －4D . 411. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0），点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1（0，b），B2（0，﹣b），若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·开封期中) 已知椭圆的上顶点为，左、右两焦点分别为、，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·浙江月考) 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为________，此时中点的坐标为________.14. （1分） (2017高二下·西安期末) 由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为________．15. （1分）若=（2，﹣3，），=（1，0，0），则＜•＞=________16. （1分）过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则等于________.三、解答题 (共6题；共47分)17. （2分）(2017·海淀模拟) 对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj﹣ai ， i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am﹣ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1﹣ak+1=t”，则称数列{an}具有性质P（t）．（Ⅰ）若数列{an}满足判断数列{an}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？（Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得aN ， aN+1 ， aN+2 ，…，aN+k ，…是等差数列．18. （10分）双曲线满足如下条件：①；②过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P ，线段PF交双曲线于点Q ，且|PQ|∶|QF|＝2∶1；求双曲线的方程．19. （5分） (2016高二上·邗江期中) 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20. （10分）(2018·安徽模拟) 如图，已知四棱锥的底面是菱形,平面，点为的中点。

淮北一中2017-2018学年上学期高二年级期中考试文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得：，所以，，即焦点到准线的距离为，故选C.2. 如角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得，选D.3. 离心率为，且过点的焦点在轴上的椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆过点，则，又由其离心率为，即，则，，即，此时椭圆的方程为，故选D.4. 执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（）A. B. C. D.【答案】B【解析】该程序框图表示的是通项为的前项和，，输出结果为，，得，故选B.5. 由公差为的等差数列重新组成的数列是（）A. 公差为的等差数列B. 公差为的等差数列C. 公差为的等差数列D. 非等差数列【答案】B【解析】设新数列的第项是，则，，此新数列是以为公差的等差数列，故选B.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式：(为常数)，则数列是等差数列；(4) 前n项和公式：(为常数) ，则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.6. 已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，，因为，，所以（当且仅当时等号成立），故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】因为，由正弦定理当可得，，因为，所以，的形状为直角三角形，故选A.8. 已知命题函数的图像恒过定点；命题若函数为偶函数，则函数的图像关于直线对称，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数的图象恒过定点，所以命题为假命题，若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，所以命题也为假命题，所以为真命题.故选D．考点：复合命题的真假．【方法点睛】由函数的奇偶性，对称轴和平移得到命题假，则为真命题. 复合命题的真假判断的方法：（1）非复合命题判断真假：当为真时，非为假；当为假时，非为真，即“非”形式的复合命题的真假与的真假相反；（2）“且”形式的复合命题真假判断：当、为真时，且为真；当、中至少有一个为假时，且为假，即“且”形式的复合命题，当与同为真时为真；（3）“或”形式的复合命题真假判断：当，中至少有一个为真时，“或”为真；当，都为假时，“或”为假，即“或”形式的复合命题，当与同为假时为假．本题考查命题的真假判断解题时要认真审题，注意复合命题的性质的合理应用，属于中档题.9. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A..................10. 如图，在中，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】11. 数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选D.12. 数列的通项公式为，其前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“”的否定是__________．【答案】14【解析】特称命题“”的否定为全称命题“”。

2017-2018学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．1 C．D．2．（5分）已知α∈R，sinα+2cosα=0，则tan2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣3．（5分）离心率为，且过点（2，0）的焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（）A．B．C．x2+4y2=1 D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=，则输入的n=（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列6．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q9．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．10．（5分）如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣211．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=cos，n∈N*，其前n项和为S n，则S2017=（）A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12．（5分）命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是．13．（5分）在数列{a n}中，已知其前n项和，则a n=．14．（5分）设实数x，y满足，则x2+y2的最大值为．15．（5分）下列命题中，错误命题的序号有．（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；（3）若xy=0，则|x|+|y|=0；（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）已知函数．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10，c=7．求角C及a，b的值．19．（12分）已知过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知过原点O作抛物线的两条弦OD和OE，且OD⊥OE，判断直线DE是否过定点？并说明理由．20．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项之和S n，求证：＞2n﹣3．21．（12分）已知椭圆，其长轴为4，短轴为2．（1）求椭圆C的方程及离心率．（2）直线l经过定点（0，2），且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．2017-2018学年安徽省淮北一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：抛物线y=2x2化为标准方程为x2=y∴抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为=故选：D．2．（5分）已知α∈R，sinα+2cosα=0，则tan2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由sinα+2cosα=0，得sinα=﹣2cosα，∴tanα=﹣2，则tan2α=．故选：A．3．（5分）离心率为，且过点（2，0）的焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（）A．B．C．x2+4y2=1 D．【解答】解：离心率为，且过点（2，0）的焦点在y轴上的椭圆，可得b=2，，解得a=4，c=2，所求椭圆方程为：．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=，则输入的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0执行循环体，S=，i=2不满足条件i＞n，执行循环体，S=+，i=3不满足条件i＞n，执行循环体，S=++，i=4不满足条件i＞n，执行循环体，S=+++=×（1﹣﹣+﹣+）=，i=5由题意，此时应该满足条件5＞n，退出循环，输出S的值为．可得：4≤n＜5，可得n的值为4．故选：B．5．（5分）由公差为d的等差数列a1、a2、a3…组成的新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列【解答】解：设新数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…的第n项是b n，则b n=a n+a n+3=2a1+（n﹣1）d+（n+2）d=2a1+（2n+1）d，∴b n﹣b n=2d，+1∴此新数列是以2d为公差的等差数列，故选：B．6．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．7．（5分）在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：在在△ABC中，由，结合余弦定理可得，，整理得：a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2．∴△ABC是以角C为直角的直角三角形．故选：A．8．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p 假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x ﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．9．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．10．（5分）如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2【解答】解：∵=+，==（﹣）=﹣=×﹣=﹣，∴=+（﹣）=+；又=λ+μ，∴λ=，μ=；∴=×=3．故选：B．11．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=cos，n∈N*，其前n项和为S n，则S2017=（）A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．0【解答】解：∵a n=cos，n∈N*，∴a1=cos=0，a2=cosπ=﹣1，a3=cos=0，a4=cos2π=1，数列{a n}是以4为周期的周期数列，∴S2017=504（a1+a2+a3+a4）+a1=504（0﹣1+0+1）+0=0．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）12．（5分）命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是∀x∈R，2x＜0．【解答】解：命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是：∀x∈R，2x＜0．故答案为：：∀x∈R，2x＜0．13．（5分）在数列{a n}中，已知其前n项和，则a n=．【解答】解：∵，∴n≥2时，∴两式相减可得=2n﹣1n=1时，∴a n=故答案为：14．（5分）设实数x，y满足，则x2+y2的最大值为68．【解答】解：不等式组的图象如图：x2+y2的几何意义是可行域内的点与不在原点的距离的平方，显然A到原点的距离最大，由，解得A（﹣2，8），则x2+y2的最大值为：4+64=68．故答案为：68．15．（5分）下列命题中，错误命题的序号有（2）（3）．（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；（3）若xy=0，则|x|+|y|=0；（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0．【解答】解：（1）若“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”，则f（﹣x）=f（x），即x2+|x+a+1|=x2+|﹣x+a+1|，则|x+a+1|=|x﹣（a+1）|，平方得x2+2（a+1）x+（a+1）2=x2﹣2（a+1）x+（a+1）2，即2（a+1）x=﹣2（a+1）x，则4（a+1）=0，即a=﹣1，则“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；正确；（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”则“直线l垂直平面α”不一定成立，故（2）错误；（3）当x=0，y=1时，满足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故（3）错误；（4）若p：∃x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0正确．故错误的是（2）（3），故答案为：（2）（3）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）已知函数．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0．【解答】解：（1）当a=2时得，解集为（2）∵不等式f（x）=（x﹣）（x﹣a）≤0，a＞0，当0＜a＜1时，有＞a，∴不等式的解集为{x|a≤x≤}；当a＞1时，有＜a，∴不等式的解集为{x|≤x≤a}；当a=1时，不等式的解集为{1}．17．（12分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10，c=7．求角C及a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，∴2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，将ab=40代入得：a2+b2=89②，联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．19．（12分）已知过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知过原点O作抛物线的两条弦OD和OE，且OD⊥OE，判断直线DE是否过定点？并说明理由．【解答】解：（1）y2=4x（2）（4，0）试题解析：（1）拋物线的焦点，∴直线AB的方程为：．联立方程组，消元得：，∴．∴解得p=2．∴抛物线C的方程为：y2=4x．（2）由（1）直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2﹣4my﹣4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t．所以t=4或t=0（舍）所以直线DE过定点（4，0）．20．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项之和S n，求证：＞2n﹣3．【解答】解：（1）∵a n=2a n﹣1+2n（≥2，且n∈N*）∴∴，∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；，∴a n=（n﹣）•2n；（2）∵S n=，∴2S n=，两式相减可得﹣S n=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3，∴S n=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n∴．21．（12分）已知椭圆，其长轴为4，短轴为2．（1）求椭圆C的方程及离心率．（2）直线l经过定点（0，2），且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）椭圆，其长轴为4，短轴为2．a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程为：，离心率：．（2）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线方程为：y=kx+2，由，得（4k2）x2+16kx+12=0，△=（16k）2﹣4（4k2+1）×12=16（4k2﹣3），由△＞0得：4k2﹣3＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，|AB|==，又∵原点O到直线的距离d=，∴S△OAB=|AB|d==4≤4=1．当且仅当，即时，等号成立，此时△OAB面积的最大值为1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。