西南大学初等数论

若 b 0 ，则令 s
得证． 下证唯一性 当 b 为奇数时，设 a bs t bs1 t1 则 t t1 b( s1 s ) b 而t
b b , t1 t t1 t t1 b 矛盾 故 s s1 , t t1 2 2
b 为整数 2
ax0 by0
x, y Z ，由带余除法有 ax by (ax0 by0 )q r , 0 r ax0 by0
则 r ( x x0 q )a ( y y0 q )b S ，由 ax0 by0 是 S 中的最小整数知 r 0
ax0 by0 | ax by ax0 by0 | ax by
a, b Z , b 0, s, t Z , 使 a bs t ,| t |
b 。 ， 2
s1 , t1 ，使 b s1t t1 ,| t1 | sn , tn , tn 2 tn 1sn tn ; sn 1 , tn 1 , tn 1 tn sn 1 tn 1 ;
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《初等数论》 （闵嗣鹤、严士健编著） （第三版）习题解答
是一个整数系数多项式且 a0 ，an 都不是零，则（1）的根只能是以 a0 的因数作分子以 an 为 分母的既约分数，并由此推出 2 不是有理数． 证：设（1）的任一有理根为
p ， ( p, q ) 1, q 1 。则 q
a bs t ,
| t |
|b| 2
成立，并且当 b 是奇数时，s，t 是唯一存在的．当 b 是偶数时结果如何？ 证：作序列 ,
3b b b 3b , b , , 0, , b , , 则 a 必在此序列的某两项之间 2 2 2 2

《初等数论》网络课程第一讲第一部分：应考指导一、考试相关情况说明（一）课程基本情况初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。

它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、不定方程和连分数理论等。

初等数论是数论的一个最古老的分支，它已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。

公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。

2000年来，数论的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。

本课程介绍初等数论中的一些基础知识。

选用的教材是闵嗣鹤、严士健编著的《初等数论》，高等教育出版社，2013年9月第22次印刷。

课程内容及基本要求：第1章整数的可除性【内容】：整除的概念，带余除法，最大公因数与辗转相除法，最小公倍数，素数与合数，素数的性质，算术基本定理，函数[x]及其应用。

【要求】：理解素数与合数的概念、素数的性质，理解算术基本定理，会用筛法求素数。

了解函数[x]的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。

第2章不定方程【内容】：二元一次不定方程，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。

多元一次不定方程，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。

勾股数。

【要求】：了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程解的方法。

知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。

了解勾股数。

第3章同余【内容】：同余的概念及基本性质，剩余类及完全剩余系，简化剩余系与欧拉函数。

欧拉定理、Fermat 小定理及其对循环小数的应用。

【要求】：理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

音乐学
专升本
视唱练耳、歌曲作法、中国音乐史、欧洲音乐史、曲式学概论、复调常识、钢琴、声乐、专业论文写作等。
汉语言文学
高起本
中国现代文学、中国当代文学、中国古典文学、外国文学、中学语文教学法、书法、古代散文诗歌研究、西方现代派文学、新文学思潮与流派等。
计算机科学技术
高起本
电路原理、模拟电子技术、数字逻辑、数字分析、计算机系统结构、计算机网络、高级语言、汇编语言、数字结构、系统分析与控制、信号处理原理、通信原理概论等。
房地产经营管理
专升本
企业管理、建筑设计工程、房地产开发与经营、SQL数据库系统及运用、运筹学、现代住宅经济与管理等。
工商管理
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管理学、宏微观经济学、管理信息系统、企业策划与诊断、统计学、会计学、财务管理、现在教育理论、企业战略管理等。
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基础会计学、管理学原理、经济学、管理思想史、劳动关系与劳动法、人员素质测评、薪酬管理、人力资源开发与管理等。
农学
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植物生理学、遗传学、农业试验设计、粮食作物学、经济作物学、作物育种学、耕作与生态学、农业企业经营管理等。
动物医学
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动物解剖与组织胚胎学、动物生理学、动物生物化学、兽医药理学、畜禽病理学、兽医微生物学与免疫学、兽医内科诊断学、畜禽流行病学、兽医卫生检验等。
动物科学
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动物生理与生化学、动物遗传学、家畜育种学、动物营养学、饲料与饲养学、动物繁殖学、家畜环境卫生学、动物生产学、草地学等。
管理学原理、区域经济学、房地产开发、房屋建筑学、房地产估价、房地产经济学、物业管理概伦、房地产项目管理、房地产营销学等。
金融学
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经济学、会计学、企业组织与环境、商务交流、财务管理、数量方法、管理会计、财务报表分析、组织行为学、电子商务概论、政府政策与经济学等。

作业3计算题答案1. 求400与240的最大公因数。

解：因为，，所以400与240的最大公因数是，即80。

2. 求不定方程10x + 9y = 1的一切整数解。

解：因为(109) = 1，所以不定方程有整数解。

显然x = 1，y = -1是其一个特解，所以不定方程的一切整数解为：，其中t取一切整数。

3. 求150与210的最大公因数。

解：因为，所有150与210的最大公因数是，即30。

4. 解同余式3x º 2 (mod 5)。

解：因为（3，2）=1，所以同余式有解，且有一个解。

将0，1，2，3，4直接代入检查知，4满足同余式，所以同余式的解为x º 4 (mod 5)。

5．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。

解：因为（72）=11|1，所以不定方程有解。

观察知其一个整数解是。

于是其一切整数解为，t取一切整数。

6．解同余式3x º 1 (mod 7)。

解：因为（37）= 1，所以同余式有解且有一个解。

由3x - 7y = 1得，所以同余式的解为7．解同余式28x º 21 (mod 35)。

解：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x º 21(mod 35)有解，且有7个解。

同余式28x º 21(mod 35)等价于4x º 3(mod 5)，解4x º 3(mod 5)得x º 2(mod 5)，故同余式28x º 21(mod 35)的7个解为x º 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。

8．解同余式组：。

解：由得，将其代入得，解得，即，所以，所以解为。

9.求不定方程3x + 2y = 2的一切整数解。

解：因为(32) = 1，所以不定方程有整数解。

显然是其一个特解，所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。

10. 解同余式。

解：因为(45) = 1，所以同余式有解，且只有1个解。