三角函数的概念 诱导公式(七大题型)目录：01任意角与弧度制02求弧长、扇形面积03求弧长、扇形面积的实际应用04三角函数的概念(求三角函数值及应用)05同角三角函数的基本关系06诱导公式07三角函数的概念诱导公式难点分析01任意角与弧度制1(2024高三·全国·专题练习)下列说法中正确的是()A.锐角是第一象限角B.终边相等的角必相等C.小于90°的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角2(23-24高一上·湖南株洲·阶段练习)把5π4化成角度是()A.45°B.225°C.300°D.135°3(2023高三·全国·专题练习)与9π4终边相同的角的表达式中，正确的是()A.45°+2kπ,k∈ZB.k⋅360°+π4,k∈ZC.k⋅360°+315°,k∈ZD.2kπ-7π4,k∈Z4(2023高三·全国·专题练习)已知角α第二象限角，且cos α2=-cosα2，则角α2是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角5(2014高三·全国·专题练习)集合αkπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()A. B.C. D.，B= 6(22-23高三上·贵州贵阳·期末)已知集合A=α 2kπ+π4≤α≤2kπ+π2,k∈Z，则()α kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈ZA.A⊆BB.B⊆AC.A=BD.A∩B=∅02求弧长、扇形面积7(23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习)已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为()A.9cm2B.27cm2C.48cm2D.54cm28(23-24高三下·浙江·开学考试)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是()A.1B.2C.4D.89(22-23高一下·河北张家口·期中)如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB=()A.3sin1B.3sin2C.3sin1°D.3sin2°10(22-23高三下·上海宝山·阶段练习)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P x,y，点B是P关于原点O的对称点．分别连结PA、PB、AB，如此形成了三个区 (y>0)．设A1,0域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个03求弧长、扇形面积的实际应用11(23-24高三上·广东肇庆·阶段练习)“顺德眼”是华南地区首座双立柱全拉索设计的摩天轮总共设有36个等间距座舱，其中亲子座舱4个，每2个亲子座舱之间有8个普通座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，质点运行轨迹为圆弧，运行距离为弧长，“顺德眼”在旋转过程中，座舱每秒运行约0.2米，转一周大约需要21分钟，则两个相邻的亲子座舱在运行一周的过程中，距离地面的高度差的最大值约为( )(参考数据：2π≈0.45，计算结果保留整数)A.40米B.50米C.57米D.63米12(23-24高三上·安徽·期中)扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形(如图2)，若图2中∠ABC =θ，D ，E 分别在BA ，BC 上，AD =CE =m ，AC的长为l ，则该折扇的扇面ADEC 的面积为()图1 图2 A.m l -θ2B.m l -θm2C.m 2l -θ2D.m 2l -θm213(2024·湖南长沙·一模)“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ，则AB的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为60°，则伞的弧长大约为( )3≈1.7A.5.3米B.6.3米C.8.3米D.11.3米04三角函数的概念(求三角函数值及应用)14(23-24高三下·重庆渝中·阶段练习)已知角α的终边经过点P 1,2sin α ，则sin α的值不可能是() A.32B.0C.-32D.1215(2024·上海松江·二模)已知点A 的坐标为12,32 ，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.16(2024·全国·模拟预测)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P m ,2 是角θ终边上一点，且cos θ=-31010，则m =．17(2023高三·全国·专题练习)已知角α的终边经过点P -x ,-6 ，且cos α=-513，则1sin α+1tan α=．18(2024·四川成都·模拟预测)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 3,4 ，则sin α+2cos αcos α-sin α=()A.11B.-10C.10D.-1119(2024·云南昆明·一模)已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点A (1,a )(a ∈Z )在角θ终边上，且OA ≤3，则tan θ的值可以是.(写一个即可)20(2024高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为原点O ，以x 轴的非负半轴为始边，终边经过点P (1,m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的有( )个．①sin αtan α；②cos α-sin α；③sin αcos α；④sin α+cos α．A.0B.1C.2D.321(21-22高三下·河南许昌·开学考试)已知某质点从平面直角坐标系xOy 中的初始位置点A 4,0 ，沿以O 为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B 点，则B 点的坐标为()A.4cos ∠AOB ,4sin ∠AOBB.4sin ∠AOB ,4cos ∠AOBC.4cos ∠AOB ,4 sin ∠AOBD.4sin ∠AOB ,4 cos ∠AOB05同角三角函数的基本关系22(21-22高一上·安徽宿州·期末)已知cos α=-513，且α为第二象限角，则sin α=()A.-1213B.-513C.1213D.12523(21-22高一上·四川遂宁·期末)已知cos x 1-sin x =3，则1+sin xcos x=()A.3B.-3C.33D.-3324(2024·河南洛阳·模拟预测)已知tan α=2，则5sin α+cos a2sin α-cos α=()A.13B.113C.53D.225(2023·全国·高考真题)若θ∈0,π2 ,tan θ=12，则sin θ-cos θ=．26(22-23高三·全国·对口高考)已知角α的终边落在直线y =-3x (x <0)上，则|sin α|sin α-|cos α|cos α=.27(2024高一上·全国·专题练习)已知tan α=12，则sin 2α+sin αcos αcos 2α+1的值为．06诱导公式28(2024·全国·模拟预测)已知sin 5π8+α =13,则cos π8+α =()A.-13B.13C.-33D.3329(2024·全国·模拟预测)已知cos θ-2π5 =23，则2sin 19π10-θ +cos θ+13π5=()A.-2B.2C.-23D.2330(23-24高一上·江苏无锡·阶段练习)已知sin α+cos α=-12，则cos π2+α 1-tan -α 的值为()A.-34B.34C.-316D.31631(23-24高一下·湖南株洲·开学考试)已知sin π3-x =13,且0<x <π2，则tan 2π3+x =．32(2023高三·全国·专题练习)已知sin 3π+θ =13，则cos π+θ cos θcos π+θ -1+cos θ-2πsin θ-3π2 cos θ-π -sin 3π2+θ的值为．07三角函数的概念诱导公式难点分析33(23-24高一上·山西运城·期末)若α,β∈0,π2 ，且4sin 2α-sin 2β+23=0，则当2sin α+cos β取最大值时，sin β的值为()A.66B.306C.33D.2634(22-23高三上·山东枣庄·阶段练习)若0<θ<π，且点P cos θ,sin θ 与点Q cos θ+π6 ,sin θ+π6关于x 轴对称，则cos θ=.35(20-21高二上·贵州铜仁·阶段练习)已知sin 5θ-cos 5θ<3cos 3θ-sin 3θ 恒成立，则θ取值范围是．36(2022·上海黄浦·二模)设a ,b ∈R ，c ∈0,4π ．若对任意实数x 都有sin 2x -π3=a sin bx +c ，则满足条件的有序实数组a ,b ,c 的组数为．一、单选题1(2023·安徽·模拟预测)已知角α终边上有一点P sin 2π3,cos 2π3，则π-α为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2(2024·黑龙江·二模)已知角α的终边与单位圆的交点P 35,-45 ，则sin α-π2=()A.-45B.-35C.35D.453(2024·辽宁·三模)已知tan α=12，则sin α+π2 -cos 3π2-α cos -α -sin π-α=()A.-1 B.1 C.-3D.34(2023·海南·模拟预测)若α∈0,π ，且cos α-sin α=12，则tan α=()A.4+75B.4-75C.4+73D.4-735(2024·全国·模拟预测)石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图(1)是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD ，如图(2)，砖雕厚度为6cm ，AD =80cm ，CD=3AB，CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为(单位：cm 2)()A.3200πB.480π+960C.6880π+960D.3680π+9606(2023·贵州遵义·三模)已知a =sin0.1，b =10-1，c =tan0.1，则()A.c >b >aB.b >c >aC.b >a >cD.a >c >b7(2023·山西·模拟预测)已知α,β,γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θsin θ+cos θ =()A.3B.1513C.1D.5138(2024·浙江·二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ=1tan θ，正割函数sec θ=1cos θ，余割函数csc θ=1sin θ，正矢函数ver sin θ=1-cos θ，余矢函数ver cos θ=1-sin θ.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是()A.ver sinθ=AMB.cscθ=PSC.cotθ=BSD.secθ=NB二、多选题9(2023·贵州遵义·模拟预测)下列说法正确的是()A.若sinα=sinβ，则α与β是终边相同的角B.若角α的终边过点P3k,4kk≠0，则sinα=4 5C.若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D.若sinα⋅cosα>0，则角α的终边在第一象限或第三象限10(2023·辽宁·模拟预测)设α为第一象限角,cosα-π8=13,则()A.sin5π8-α=-13 B.cosα+7π8=-13C.sin13π8-α=-223 D.tanπ8-α=-2211(2024·全国·模拟预测)质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，A的起点在射线y=3x x≥0和圆O的交点处，A的角速度为2rad/s，B的起点为圆O与x轴正半轴的交点，B的角速度为3rad/s，则下列说法正确的是()A.在1s末时，点A的坐标为cos2,sin2B.在2s 末时，点B的坐标为cos6,-sin6C.在2s末时，劣弧AB的长为2-π3D.当A与B重合时，点A的坐标可以为-1,0三、填空题12(2023·江苏苏州·模拟预测)已知x∈(0,π)，若sin x1-cos x=3，则1+cos xsin x=.13(2023·四川成都·一模)函数f x =tanπ32x-1,x>012x,x≤0，则f f-3=.14(2023·江西景德镇·三模)已知直线x=a0<a<π2与函数f x =sin x和函数g x =cos x的图象分别交于P,Q两点，若PQ=14，则线段PQ中点的纵坐标为.。
高中三角函数考点总结考点一：利用任意角的三角函数定义求三角函数值1.已知角α的终边经过点p（-1，m）(m≠0)，并且sinα=35m，求cosα+tanα考点二：运用诱导公式化简求值2.（1）sin（−114π）（2）cos（-1830°）考点三：求函数的定义域3.（1）y=sinx+−tanx（2）y=lg（3-4si n2x）考点四：利用同角三角函数判断三角形形状4.若α是三角形内角，并且sinα+cosα=23，试判断三角形的形状考点五：同角三角函数的化简5.（1）1−2sin4cos4（2）1+sinα1−sinα−1−sinα1+sinα（α是第二象限角）考点六：关于1的代换6.已知f（x）=1−x1+x ，α∈（π2，π），求f（cosα）+f（-cosα）的结果考点七：利用诱导公式化简7.sin2π−αsin−2π−αcos(6π−α)cos2π−αcosα−πsin(5π−α)（2）sin kπ−αcos(kπ+α)sin k+1π+αcos[k+1π−α]考点八：诱导公式的应用8.已知∠A，∠B，∠C是∆ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A+B+C）=-cosA（2）tan A+B4=-tan3π+C4考点九：求三角函数定义域9.（1）y= sinx + 1−2sin 2x （2）y=lg （2sinx-1）+ 1−2cosx（3）y= 36−x 2+lgsinx （4）log 4−x 2 + 2sinx +12（5）y= cos （sinx ） （6）y= sin （cosx ）（7）y=lg （sinx −12）2sinx − 3（8）y=log（cosx +12sinx）考点十：求三角函数的最值和值域 10.（1）若ｙ＝３−sinx ２+sinx，求函数的值域（2）y=3-2sin2x （3）y= cos （sinx ）（4）y=cosx+ 3sinx ，x ∈[π6，23π]11.求出函数f （x ）=2sinx-cosx+3tanx 在[π6，π3]内的值域12.求值域（1）y=4sinx −2sinx +1+3 （2）y=log （3−cos 22x ）（3）y=2sinx −1sinx +2（4）y=2−sinx3+cosx13.求最值（1）y=sinxcosx+cosx+sinx （2）y=cos 2xcosx +sinx +sin2x14.求f（x）=1−4cos2x3+sin x的最值考点十一：求函数参变量的问题15.已知函数y=2acosθ+b+1的最大值是4，最小值是-1，求a、b的值考点十二：求函数周期16.（1）y=3sin（14x−π2）+2 （2）y=sin2x+cos2x（3）y=cos2x-23sinxcosx （4）y=-2si n2x+2sinxcosx+1考点十三：判断函数奇偶性17.（1）y=sin（34x+32π）（2）y=co s2x1−sinx（3）y=1−cosx+cosx−1（4）y=cos（π2+2x）cos（π+x）考点十四：求函数单调性18.已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）单调递减，则ω的取值范围是多少考点十五：解三角不等式19.16sin2x+sinx−14>4考点十六：对称问题20.已知函数f（x）=12sin2xsinφ+co s2xcosφ−12sinπ2+φ (0<φ<π)，其图像过（π6，12）（1）求φ的值（2）将函数y=f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求函数g（x）在[0，π4]上的最大值和最小值。
