华人教育数学模拟试卷(三)

华人教育数学模拟试卷（三）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数631)1(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ii的值是（）A．i B．－i C．1 D．－12．函数y＝f（x）有反函数y＝f－1（x），把y＝f（x）的图像在直角坐标平面内绕原点顺时针方向旋转90°后得到另一个函数的图像，则另一个函数是（）A．y＝f－1（－x）B．y＝f－1（x）C．y＝－f－1（－x）D．y＝－f－1（x）3．已知奇函数f（x）在[－1，0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）4．设a、b为不共线的非零向量，＝2a＋3b，＝－8a－2b，＝－6a－4b，那么（）A．与同向，且∣∣＞∣∣B．与同向，且∣∣＜∣∣C．与反向，且∣∣＞∣∣D．∥5．函数y＝－3－x与函数y＝－log3（－x）的图像（）A．关于x轴对称B．关于直线x＋y＝0对称C．关于y轴对称D．关于直线x－y＝0对称6．ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，EF是AB上的一动线段，∣EF∣＝b（b＜a，a，b为定值），若P是A1D1上的定点，（P不与D1重合）而Q在C1D1上滑动，则四面体PQEF的体积（）A．是变量且有最大奉B．是变量但无最大值C．是变量且有最小值D．是常量7．直线ax＋by－1＝0的倾斜角是直线3x－y－33＝0的倾斜角的2倍，且它在y轴上的截距为1，则（）A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝－1C．a＝1，b＝3D．a＝－1，b＝－38．{a n}的等差数列，S10＞0，S11＜0，则使a n＜0最小的n值为（）A ．5B ．6C ．7D ．89．“ab ＜0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件10．已知b an n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→22lim 2，则常数a ，b 的值分别为（ ） A ．a ＝2，b ＝－4B ．a ＝－2，b ＝4C ．a ＝21，b ＝－4D ．a ＝－21，b ＝4111．设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面距离都为2πR，B 与C 的球面距离为3πR，则球O 在二面角B －OA －C 内的部分球面的面积是（ ） A ．2π31R B ．2π91R C ．2π32RA ．2π92R 12．设函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝－943π9π2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，则使g （x ）≥f （x ）的x 的取值范围是（ ）A ．[0，π]B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3,2π C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π2,3π D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π5,6π 第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数是 ．14．已知随机变量ξ的概率分布为：则P{ξ＝3}＝．15．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有不同的参赛方案种(用数字作答)．16．斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 的面积为S ，AA 1到面BCC 1B 1的距离是a ，则该三棱柱的体积是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图4所示，在四面体P －ABC 中，面P AC ⊥底面ABC ，P A ＝BC ＝a ，PC ＝AB ＝2a ，∠APC ＝60°，D 为AC 的中点．图4（1）求证：P A ⊥AB ；（2）求二面角P －BD －A 的正切值；（3）求点A 到平面PBD 的距离．18．（本小题满分12分）已知动点P 与双曲线12322=-y x 的两个焦点所连线段的长度之和为定值．且这两条线段夹角余弦的最小值为91-． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴的正半轴上是否存在点Q ，使得Q 与P 点轨迹上的点的最近距离为1．19．（本小题满分12分） 设函数f (x )是定义在[]1,1-上的奇函数，且对任意a 、b ∈[]1,1-，当0≠+b x 时，都有0)()(>++ba b f a f（1）若a ＞b ，试比较f (a )与f (b )的大小；（2）解不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121x f x f ；（3）如果g (x )＝f (x －c )和h (x )＝f (x －c 2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c 的取值范围．20．（本小题满分12分）甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为31和41，求：（1）至多有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为10099，至少需要多少个乙这样的人．21．（本小题满分12分）已知f (x )是以3为周期的奇函数，f (1)＝1，向量m ＝(a －sin θ，－1)，n ＝)cos 2,1(θb ，且m ⊥n ．（1）若a ＝b ＝22，求⎪⎭⎫ ⎝⎛θθcos sin 1f 的值；（2）若b ＝a 22-，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈2π,2πθ，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分14分）若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项和，对任意正整数n 有a n ＝,232+-n 4B n －12A n ＝13n ． （1）求数列{b n }的通项公式；（2）设有抛物线列C 1，C 2，…，C n 抛物线C n （n ∈N *)的对称轴平行于y 轴，顶点为(a n ，b n )，且通过点D n(0，n 2＋1)，设过点D n 且与抛物线C n 相切的直线的斜率为k n ，求极限nn n n b a k k k k ++++∞→ 321lim；（3）设集合X ＝{x ∣x ＝2a n ，n ∈N *}，Y ＝{y ∣y ＝4b n ，n ∈N *}，若等差数列{c n }的任一项c n ∈X ∩Y ，c 1是X ∩Y 的最大数，且12526510-<<-c ，求{c n }的通项公式．答案解析：一、选择题1．B 原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=π36isin π36cos 2π46isin π46cos 266i 2πsin i 2πcos -=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2．D y ＝f()x 顺时针转90°后图像与y ＝f－1(x ）关于x 轴对称)(1x f y --=∴另一图像为3．D βαβα->∴>+2π,2π0cos sin >>∴βα上在]0,1[)(-x f上在]1,0[)(x f∴)(cos )(sin ,βαf f <∴4．A)28()32(b a b a BC AB AC --++=+=b a +-=6则 )28(23312b a b a --=--=+=又有.||||,23BC AD BC AD BC AD >∴=同向与即5．D 像关于而原函数与反函数的图的反函数为),(log 33x y yx --=-=-对称x y =对称的图像关于与函数x y x y y x =--=-=∴-)(log 33.6．D b EF P =||,是定点为定值EFP S ∆∴又Q 在C 1D 1上滑动且C 1D 1//面EFP ∴Q 到面EFP 的距离为定值∴V EFPQ 为定值.7．A 由题设可知01=-+by ax 的倾斜角为120°，在y 轴上的截距为111,3=-=-∴bb a.1,3==∴b a8．B02)(106510>+=a a S.0,0,02)(11566611><∴<+=a a a a S9．A 若方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线即,122表示双曲线=+bc y a c x0,02<<ab abc 得只要∴“ab ＜0”是必要条件若ab ＜0，c 可等于0∴“ab ＜0”不是充分条件.10．Ab n ann a n =+--∞→22)2(2lim⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==∴=-=-42,1202b a b a a 则 11．C 2π,RC A B A 的球面距离都为与与OC OA OB OA ⊥⊥∴,第11题图的平面角为二面角从而C OA B BOC --∠ 3πRC B 的球面距离为与又3π=∠∴BOC 这样球O 在二面角B —OA —C 内的部分球面的面积等于2232461R R ππ=⨯ 12．D 注意到f()x 图像经过⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6π5,21,6π两点，这两点也在g ()x 在图像上，而g ()x 的图像是顶点为⎪⎭⎫⎝⎛23,2π，开口向下的抛物线，作出草图，知)()(,6π5,6πx f x g x ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈时二、填空题 13．5提示：解法一：先变形，再部分展开，确定系数)331)(21()1()1()1()1(324232252x x x x x x x x x -+-+-=--=-+所以x 3的系数是第一个括号内的1与第二个括号内的－x 3的系数－1相乘和第一个括号内的－2 x 2的系数－2与第二个括号内的－3 x 的系数－3相乘后再相加而得到，即1×(－1)+(－2)×(－3)=5解法二：利用通项公式因2)1(x +的通项公式为r rr x C T ⋅=+215)1(x -的通项公式为k kk k x C T ⋅-=+51)1(其中{}{}5,4,3,2,1,0,2,1,0∈∈k r 令3=+r k则⎩⎨⎧==21r k 或⎩⎨⎧==12r k 或⎩⎨⎧==03r k 故x 3的系数为.5C C C C 35251215=-⋅+-14．0.21 提示：由离散型随机变量的分布列的性质)3(16543210=∴=++++++ξP P P P P P P P21.0)01.006.010.024.022.016.0(1=+++++-=15．252提示：分类：(1)选出4人没有甲乙共有2444=A (种)选法，(2)含甲、乙某一人共有144A C C 2331334=(种)选法，(3)甲、乙同时参赛共有84)A A 2A (C 22334424=+-(种)选法.综合(1)、(2)、(3)共252种不同的参赛方案. 16．a S2提示：将其分为三棱锥11ABC A - 四棱锥111B BCC A -且Sa V B BCC A 3111=-.23123a S Sa V =⨯=∴三、解答题17．(1)证明：在△P AC 中2222360cos 2a PC PA PC PA AC =︒⋅⋅-+= 222PC AC PA =+∴ AC PA ⊥∴又∵平面P AC ⊥平面ABC ∴P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB第17题图(2)解：在平面ABC 内，作AE ⊥直线BD ，垂足为E 则由三垂线定理得，PE ⊥BD∴∠PEA 是二面角A BD P --的平面角在△ABC 中，222AB BC AC=+ ∴∠ACB =90°∴a a a BD 7214322=+=∵BD BC AD AE ::=∴a a aBD BC AD AE 72127232==⋅=∴321tan ==∠AE PA PEA (3)解：由(2)可知，BD ⊥平面P AE ∴平面P AE ∠平面PBD ，交线为PE作AG ⊥PE 于G ，则AG ⊥平面PBD 在Rt △P AE 中a AE PA PE 77022=+= a PE AE PA AG 1030=⋅= 即点A 到平面PBD 的距离为.1030a 18．解：(1)c F F a PF PF 222121=>=+ (a ＞0,F 1、F 2为双曲线的焦点)∴P 点轨迹为椭圆()9144012201201202cos 222122212221222121221222121-=-=+-≥+-=+-+≥⋅-+=∠a PF PFPF PF PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF F2,3==∴b a ∴P 点轨迹方程为14922=+y x (2)假设点Q 存在，其坐标为(t ,0)(t ＞0)设)cos 2,cos 3(θθP则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=51453cos 5sin 4)cos 3(2222t t t PQ θθθ若,1530≤<t 即350≤<t 时 由,21512min =⇒=t PQ 矛盾若153>t ，即35>t 时 则当1cos =θ时，由1)3(22min =-=t PQ 解得t =2或t =4 故存在点Q (2，0)或(4，0)，使得4922y x +上的点到Q 点的距离最小值为1.19．解：(1)对于任意x 1、x 2[]1,1-∈当x 1＜x 2时，由奇函数的定义和题设不等式得：0)()()()()()()()(1212121212>-⋅-+-+=-+=-x x x x x f x f x f x f x f x f)(x f ∴在[]1,1-上是增函数 [])()(,1,1,,b f a f b a b a >∴-∈>(2))(x f 在[]1,1-上是增函数 ∴原不等式同解于,141211≤-<-≤-x x 而对于任意4121,R -<-∈x x x 恒成立 故由211-≤-x 和141≤-x 分别解得21-≥x 和45≤x∴不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,21 (3)记函数g (x )和h (x )的定义域分别为P 和Q 则{}11≤-≤-=c x x P{}112≤-≤-=c x x Q∴≠Q P的充要条件是22>-c c故c 的取值范围是{}2222-<->-c c cc c 或由,22>-cc 无解；由22-<-c c 解得1-<c 或2>c∴c 的取值范围是()().,21,+∞-∞-说明：已知不等式提供的信息是b a>时，).()(b f a f >从而判断出)(x f 的单调性，这样就可以解决(2)，但要注意41,21--x x 就在[]1,1-内.20．解：(1)至多1人破译出密码包括两种情况：两人都译不出密码或恰有1个人译出密码，即12113141141311311411)()()(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P(2)设有n 个像乙这样的人，则它们都译不出密码的概率为,411n⎪⎭⎫ ⎝⎛-由题意得：100994111=⎪⎭⎫ ⎝⎛--n 解得n =16 即至少需要16个像乙这样的人.21．解：n m b n a m ⊥=--=),cos 2,1(),1,sin (θθ0cos 2sin =--=⋅∴θθb a n m 即θθcos 2sin b a +=(1)当22==b a 时，θθcos sin 22+= ,21cos sin 21=+θθ即41cos sin -=θθ 又∵)(x f 是以3为周期的奇函数，1)1(=f1)1()13()4()4(cos sin 1-=-=+-=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴f f f f f θθ (2)当a b 22-=时，由已知条件可得θθθθsin )cos 1(cos sin =+-=a a a 即2tan cos 1sin θθθ=+=a 又因为2π2π<<-θ 故4π4π<<-θ ∴)1,1(2tan -∈=θa 说明：本题考查向量运算以及三角函数的运算和性质.22．解：(1)251-=a 123)1(22321-=+-++-=--n n a a n n ∴数列{}n a 是以25-为首项、－1为公差的等差数列2)4(223225+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∴n n n n A n 由n A B n n 13124=- 得4116412132n n A n B n n +-=+= ∴45124)1(11)1(64116221+-=-+-++-=-=-n n n n n B B b n n n (2)∵n n b a ,均小于零，且抛物线n C 过点(0，12+n )∴抛物线开口向上设n C 的方程)0)((2)(2>-=-p b y p a x n n即⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++45322322n y p n x ∵n C 过点)1,0(2+n D n ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4531223222n n p n ∴21=p ∴抛物线n C 的方程为4532322++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n y n x ① 设过n D 且与n C 相切的直线n l 的方程为12++=n x k y n ② 将②代入①得0)32(2=-++x k n x n又n l 与n C 只有一个公共点 则∆=0，故32+=n k n∴3145122322)325(lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+++∞→n n n n b a k k k n n n n (3)对任意∈n N * 322--=n n a3)16(25124-+-=--=n n b n 所以X Y ⊆，即Y Y X =∵c 1是Y X 中的最大数 ∴c 1=－17设等差数列{}n c 的公差为d 则d c 91710+-=125917265-<+-<-d 129527-<<-∴d 又{}n b 4 是一个以－12为公差的等差数列24),N (12*-=∴∈-=∴d m m d )N (247*∈-=∴n n c n说明：本题是数列、数列极限、集合，以及解析几何中的抛物线、直线的综合题型，且每问都自成体系，对思维能力要求较高，这正是高考热点题型之一.。

2024年最新仁爱版初三数学(上册)模拟考卷及答案(各版本)一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 仁爱版初三数学上册共有10个单元B. 仁爱版初三数学上册共有8个单元C. 仁爱版初三数学上册共有12个单元D. 仁爱版初三数学上册共有6个单元2. 仁爱版初三数学上册的教材主要特点是什么？A. 注重基础知识的掌握B. 注重培养学生的数学思维能力C. 注重提高学生的数学应用能力3. 仁爱版初三数学上册的教材内容包括哪些？A. 实数B. 代数式C. 函数4. 仁爱版初三数学上册的教材难度如何？A. 难度适中B. 难度较大C. 难度较小D. 难度因人而异5. 仁爱版初三数学上册的教材适合哪些学生使用？B. 数学基础一般的学生C. 数学基础较差的学生二、填空题（每题5分，共20分）1. 仁爱版初三数学上册的教材主编是谁？2. 仁爱版初三数学上册的教材出版社是哪家？3. 仁爱版初三数学上册的教材主要针对哪个年级的学生？4. 仁爱版初三数学上册的教材主要有哪些特点？三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述仁爱版初三数学上册教材的主要内容和特点。

2. 请简述仁爱版初三数学上册教材在提高学生数学能力方面的作用。

四、论述题（每题15分，共30分）1. 请结合仁爱版初三数学上册教材的特点，谈谈你对数学教材的理解和看法。

2. 请结合仁爱版初三数学上册教材的内容，谈谈你对数学教育的理解和看法。

五、综合题（每题10分，共20分）1. 请根据仁爱版初三数学上册教材的内容，设计一道综合性的数学题目。

2. 请根据仁爱版初三数学上册教材的特点，谈谈你对数学教材改革的看法和建议。

一、选择题答案1. B2. D3. D4. A5. D二、填空题答案1. 略2. 略3. 略4. 略三、简答题答案1. 略2. 略四、论述题答案1. 略2. 略五、综合题答案1. 略2. 略本试卷涵盖了仁爱版初三数学上册教材的主要内容和特点，涉及的知识点包括实数、代数式、函数等。

2022年初中学业水平考试数学模拟试卷（三）（考试时间：120分钟；满分：120分）注意事项：1．答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答第Ⅰ卷时，用．2．B．铅笔．．把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，用直径．．．0．.5．mm．．黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．，．在本试卷上作答无效．．．．．．．．．．．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)1.12 022的倒数是( C )A．－12 022 B．12 022 C．2 022 D．－2 0222．若∠A＝23°15′，则∠A余角的大小是( B )A．56°15′ B．66°45′ C．157°15′ D．156°45′3．据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球约320 000 000 km.其中320 000 000用科学记数法表示为(B)A．0.32×109 B．3.2×108C．3.2×109 D．32×1074．已知在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，则∠C的度数是(C)A．45° B．65° C．75° D．85°5．下列计算错误的是( D )A．(－3ab2)2＝9a2b4 B．－6a3b÷3ab＝－2a2C．(a2)3－(－a3)2＝0 D．36 ＝±66．下列立体图形中，其左视图与另外三个立体图形的左视图不可能相同的是(B)A B C D7．已知一组数据1，0，3，－1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的中位数是(B)A．－1 B．1C．3 D．－1或38．多项式2x3－4x2＋2x因式分解为(A)A．2x(x－1)2 B．2x(x＋1)2C ．x (2x －1)2D ．x (2x ＋1)29．将抛物线y ＝2x 2＋1向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为( A ) A ．y ＝2(x ＋1)2－2 B ．y ＝2(x ＋1)2＋4 C ．y ＝2(x －1)2－2 D ．y ＝2(x －1)2＋410．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是⌒ AC的中点，则∠D 的度数是( A ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°（第10题图）（第11题图）11．如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12 AB 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 边于点D ，连接AD ，若AD ＝5，CD ＝6，则AB 的长是( C )A ．5 3B ．8C ．4 5D ．1012．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果动点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿B →A →C 运动到点C ，同时动点Q 从点A 出发，以每秒53 个单位的速度沿A →C →D 运动到点D ，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t s ，则S 关于t 的函数图象大致为( B )ABCD第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13．—7的相反数是__7__． 14．在函数y ＝1－2x x 中，自变量x 的取值范围是x ≤12且x ≠0． 15．一个不透明的盒子中装有5个黑球，4个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到的不是黑球的概率为__12__．16．如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，已知参加STEAM 课程兴趣小组的人数为120人，则该校参加各兴趣小组的学生共有600人．（第16题图）（第17题图） （第18题图）17．如图，从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45°，看楼下荷塘D 处的俯角为60°，已知楼高AB 为30m ，则荷塘的宽CD 为m .(结果保留根号)18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，E 为CD 的中点，连接AE ，BD 交于点P ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，则PQ ＝_43_．三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(本题满分6分)计算：⎝⎛⎭⎫－12 －1＋38 ＋2co s 60°－(π－1)0. 解：原式＝－2＋2＋2×12－1……………………………………………………………4分＝0. ……………………………………………………………………………6分20．(本题满分6分)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>x －2，x －33≤7－53x ， 并把它的解集在数轴上表示出来．解：解3x ＋2>x －2，得x >－2. ………………………………………………………… 2分 解x －33 ≤7－53x ，得x ≤4. ………………………………………………………………4分 ∴这个不等式组的解集是－2<x ≤4. ……………………………………………………5分 把解集在数轴上表示如图． ………………………………………………………………6分21．(本题满分6分)如图，过直线y ＝kx ＋12 上一点P 作PD ⊥x 轴于点D ，线段PD 交函数y ＝mx (x ＞0)的图象于点C ，C 为线段PD 的中点，点C 关于直线y ＝x 的对称点C ′的坐标为(1，3).(1)求k ，m 的值；(2)直接写出不等式m x ＞kx ＋12(x ＞0)的解集．解：(1)∵点C 关于直线y ＝x 的对称点C ′的坐标为(1，3)，∴C (3，1).将C (3，1)代入y ＝mx (x ＞0)，得m ＝1×3＝3. …………………………………………2分∵C 为PD 的中点，∴P(3，2).将P (3，2)代入y ＝kx ＋12 ，得k ＝12 ；……………………………………………………4分(2)不等式m x ＞kx ＋12 (x ＞0)的解集为0＜x ＜2. ………………………………………6分22．(本题满分8分)如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝DE ，∠B ＝∠DCE ＝90°，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且AB ∥DE .(1)求证：△ABC ≌△DCE ；(2)连接AE ，当BC ＝5，AC ＝12时，求AE 的长．(1)证明：∵AB ∥DE ，∴∠BAC ＝∠D . 又∵AC ＝DE ，∠B ＝∠DCE ＝90°，∴△ABC ≌△DCE (AAS )；…………………………………………………………………4分 (2)解：∵△ABC ≌△DCE ， ∴CE ＝BC ＝5.∵∠ACE ＝∠DCE ＝90°，∴AE ＝AC 2＋CE 2 ＝122＋52 ＝13. …………………………………………………8分23．(本题满分8分)为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：(1)表中a ＝________；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是________；D 等级对应的扇形圆心角为________°；(2)若全校共有1 800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有多少人；(3)若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．解：(1)20；30%；42；……………………………………………………………………3分 (2)1 800×1560＝450(人).∴估计成绩为A 等级的学生共有450人； ……………………………………………4分 (3)列表如下：由表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种， ∴P (甲、乙两人至少有1人被选中)＝1012 ＝56 ……………………………………………8分24．(本题满分10分)某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1 500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1 400箱材料．(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？(2)经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1 245箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？解：(1)设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋50y ＝1 500，20x ＋60y ＝1 400. ………………………………………………………3分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝15. ……………………………………………………………………………4分答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料；……………5分 (2)设租用m 辆甲型货车，则租用(70－m )辆乙型货车．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋15（70－m ）≤1 245，70－m ≤3m.解得352 ≤m ≤392 . ………………………………………………………………………8分又∵m 为整数，∴m ＝18或19. ∴该公司共有2种租车方案，方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车．………………………………………10分25．(本题满分10分)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交AC 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E.(1)试证明DE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AC ＝610 ，求此时DE 的长．(1)证明：连接OD ，BD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.又∵AB ＝BC ，∴BD 是AC 边上的中线．……………………………………………… 2分 ∵OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD ∥BC . …………………………………………………3分 ∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD . ∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；………………………………………………………………………5分 (2)解：由(1)知，BD 是AC 边上的中线． ∵AC ＝610 ，∴AD ＝CD ＝310 . ∵⊙O 的半径为5，∴AB ＝10.在R t △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2 ＝102－（310）2 ＝10 . ∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠A ．∵∠CED ＝∠ADB ＝90°，∴△CDE ∽△ABD . ………………………………………8分 ∴CD AB ＝DE BD ，即31010 ＝DE 10. ∴DE ＝3. ………………………………………………………………………………10分26．(本题满分12分)如图，已知抛物线：y 1＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)将抛物线y 1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y 2与x 轴交于B ，B ′两点(点B ′在点B 的右侧)，顶点D 的对应点为点D ′，若∠BD ′B ′＝90°，求点B ′的坐标及抛物线y 2的表达式；(3)在(2)的条件下，若点Q 在x 轴上，则在抛物线y 1或y 2上是否存在点P ，使以B ′，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：(1)A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)；……………………………………………………3分 (2)设平移后的抛物线的表达式为y 2＝－(x －a )2＋b . 如图1，过点D ′作D ′H ⊥OB ′于点H.∵D ′是抛物线的顶点，∴D ′(a ，b )，D ′B ＝D ′B ′. ∵∠BD ′B ′＝90°，∴△BD ′B ′是等腰直角三角形． ∵D ′H ⊥BB ′，∴D ′H ＝BH ＝HB ′＝b . ∵B (1，0)，∴OH ＝1＋b .∴a ＝1＋b .①又∵y ＝－(x －a )2＋b 经过点B (1，0)，∴(1－a )2＝b .②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0 (舍去).∴OB ′＝O H ＋HB ′＝3，y 2＝－(x －2)2＋1＝－x 2＋4x －3.∴点B ′的坐标为(3，0)，抛物线y 2的表达式为y 2＝－x 2＋4x －3；……………………7分(3)如图2，观察图象可知，当点P 的纵坐标为3或－3时，存在符合条件的平行四边形． 对于y 1＝－x 2－2x ＋3，令y 1＝3，则－x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2.∴P 1(－2，3)；………………………………………………………………………………8分 令y 1＝－3，则－x 2－2x ＋3＝－3，解得x ＝－1＋7 或x ＝－1－7 .∴P 2(－1－7 ，－3)，P 3(－1＋7 ，－3)；……………………………………………9分 对于y 2＝－x 2＋4x －3，令y 2＝3，则－x 2＋4x －3＝3，此方程无解； 令y 2＝－3，则－x 2＋4x －3＝－3，解得x ＝0或x ＝4.∴P 4(0，－3)，P 5(4，－3). ………………………………………………………………11分综上所述，所有符合条件的点P 的坐标为(－2，3)或(－1－7 ，－3)或(－1＋7 ，－3)或(0，－3)或(4，－3). ………………………………………………………………………………………………12分。

2024年福建省初中学业水平考试・数学本试卷共6页，满分150分．注意事项：1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．的相反数是（）A．B．C．D．102．如图是由一个圆柱和正三棱柱组成的几何体，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（）A．B．0C．1D．24．下列运算正确的是A．B．C．D．5．近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（）A．B．C．D．6．每年4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．如图是某校七年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类人数统计图．若喜欢历史类书籍的有125人，则下列说法正确的是（）10-10-110-110A B A3-B1-3362a a a+=279a a a⋅=()325a a=22(2)24a a a-=-+x27612.3(1)7977.1x+=()7612.317977.1x+=27612.37977.1x=()27612.317977.1x+=A ．的值为25B ．此次统计的总人数为400人C ．喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多50人D ．该年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类是历史类7．如图，在中，，．阅读以下作图步骤：①以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点；②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点；③作射线交于点．则下列说法错误的是（）A ．是的高B ．是的中线C ．D ．8．如图，在等边中，于点，延长至点，使得，若，则的长为（）ABC ．D ．29．如图，是的直径，，是的弦，交于点，且，连接．若，则的度数为（ ）m ABC △90BAC ∠= 30C ∠= A AB BC D B D 12BD E AE BC F AF ABC △AD ABC △2BDA CAD∠=∠AF BC =ABC △BD AC ⊥D BC E CE CD =2AB =DE 32AB O AC CD O CD AB E OD DE =BC 15BAC ∠= ODC ∠A ．B ．C ．D ．10．已知点，为抛物线上的两点，且，则的值可能为（ ）A ．5B ．1C ．D ．第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上．2．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．如果收入80元，记作元，那么支出37元应记作________元．12．若从2名女生，3名男生中随机选择1位担任班级的“环保卫士”，则女生被选中的概率是________．13．如图，在中，对角线与交于点，若的面积为5，则四边形的面积为________．14．不等式组的解集是________．15．如图，在正五边形中以为边作等腰直角，，连接，则的度数为________．16．如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则________．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8．30 35 40 45(),M c m ()5,N n 243(0)y ax ax a =-->m n <c 1-5-80+ABCD AC BD O AOB △ABCD 63712x x x -+⎧⎨+>-⎩…ABCDE CD FCD △90DCF ∠= BF CBF ∠ABCD A B D ky x=AB O BC x E BE CE =A k =1122-⎛⎫+ ⎪⎝⎭18．（8分）如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：．19．（8分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）福建永安特产笋干是闽西八大干之一，因其具有肉厚节密、色泽金黄、口感脆嫩的特点，在海内外享有盛誉．某特产店销售，两种不同品牌的笋干，已知销售1千克种笋干和2千克种笋干的销售额为280元，销售2千克种笋干和3千克种笋干的销售额为460元．（1）求，两种笋干每千克的销售价格；（2）据了解，销售，两种笋干的利润分别是40元/千克和70元/千克，该店计划再次购进，两种笋干共150千克，预算不超过5500元，厂家规定购进种笋干不多于种笋干的2倍，求该店最多购买种笋干多少千克？21．（8分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线交延长线于点，且，连接．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．（10分）为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩（单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中组为，组为，组为，组为．63819972848867959277849897888996789385根据以上信息，回答下列问题：（1）统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________；（2）第二次测试中发现组的同学平均成绩提高13分，组的同学平均成绩提高7分，组的同学平均成绩提高3分，组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如取65）23．（10分）某景区因其特有的玻璃观光栈道吸引了众多游客前来打卡，景区内有两条可供游客观赏自然风光B EC F ACDE =BE FC =ACB DEF ∠=∠AB DF =2241224x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭2x =-A B A B A B A B A B A B B A A ABCD O AB O C O AD E AE CE ⊥AC BC CD =40CAB ∠= DCA ∠x A 90100x <…B 8090x <…C 7080x <…D 6070x <…aa D C B A 6070x <…的观光玻璃栈道，，由于景区客流量日益增多，现景区准备新建一条新的玻璃栈道．某数学研究小组的同学们把测量玻璃栈道，之间的距离作为一项课题活动，设计了如下表所示的测量方案：课题测量玻璃栈道，之间的距离成员组长：×××组员：×××，×××，×××测量工具测角仪、皮尺等测量方案…测量示意图测量数据…（1）景区修建玻璃栈道后从到观光所用的时间缩短了，其中蕴含的数学原理是________；A ．三角形具有稳定性B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短（2）请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出，之间的距离，并写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示）24．（12分）如图，在等腰中，，，于点，点在线段上，连接，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在的延长线上．（1）如图①，当时．①求证：；②求的值；（2）如图②，当时，求的长．25．（14分）已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．（1）若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；（2）已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值．①求该抛物线的解析式；②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值．AC BC AB A B A B AB A B A B ,,a b c ,,αβγ ABC △5AB AC ==8BC =AD BC ⊥D E AD BE CE CE E C F BA AD AF =ABE BCE ∠=∠sin F AE AF =AE 23y ax bx =+-x A B A B y C 12a =b ()1,8--2x =y ()0,6N 1l M ()2:330l y kx k k =--≠E F ME MF k MEF △2024年福建省初中学业水平考试·数学答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1~5 DACBA6~10 CDBCB二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．12．13．20 14． 15． 16．三、解答题请看“逐题详析”P2~P4一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1．D2．A3．C4．B 【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A×B √C×D ×5．A6．C 【解析】，的值为20，故A 选项错误；（人），此次统计的总人数为500人，故B 选项错误；（人），喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多50人，故C 选项正确；，文学类书籍的占比最大，该校七年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类是文学类，故D 选项错误．7．D 【解析】由作图步骤可得，，是的高，选项A 正确，不符合题意；，，，，为等边三角形，，在中，，，，是的中线，选项B 正确，不符合题意；为等边三角形，，，，选项C 正确，不符合题意；在中，，选项D 错误，符合题意．37-2532x -<…81 333622a a a a +=≠279a a a ⋅=()3265a a a =≠222(2)4424a a aa a -=-+≠-+125%25%30% 20%---=m ∴12525%500÷=∴500(30%20%)50⨯-=∴30%25%20%>> ∴∴AF BC ⊥AD AB =AF ∴ABC △AD AB = 90BAC ∠= 30C ∠= 60ABC ∴∠= ABD ∴△AB BD ∴=Rt ABC △30C ∠= 12AB BC ∴=12BD BC ∴=AD ∴ABC △∴ABD △60BDA ∴∠= 30CAD BDA C ∴∠=∠-∠= 2BDA CAD ∴∠=∠∴Rt ABF △1sin602AF AB AB BC BC =⋅=== ∴8．B 【解析】是等边三角形，，．，，，，在中，．，，，9．C 【解析】是的直径，．，．设，则，，，，，解得，，．10．B 【解析】由题可得，该抛物线的对称轴为直线，点在对称轴右侧，点的位置不确定，需分类讨论：①当点在对称轴右侧（或在顶点）时，，，且在对称轴右侧随的增大而增大，，；②当点在对称轴左侧时，，由对称性可知抛物线过点，，且在对称轴左侧随的增大而减小，，，综上可得，的取值范围为，的值可能为1．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11． 12．13．20 【解析】四边形是平行四边形，．由等底同高可得，．14． 【解析】令，解不等式①得，解不等式②得，不等式组的解集为．15．【解析】多边形为正五边形，其内角的度数为，，．，．16．【解析】如解图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设点坐标为，其中，由对称性得，，ABC △2AB AC BC ∴===60ACB ABC ∠=∠= BD AC⊥ 90ADB ∴∠= 30ABD CBD ∠=∠= 1AD CD ==∴Rt ABD △BD ==CE CD = 1302E CDE ACB ∴∠=∠=∠= E CBD ∴∠=∠DE DB ∴==AB O 90ACB ∴∠= 15BAC ∠= 9075ABC BAC ∴∠=-∠= BCE x ∠=2BOD x ∠=OD DE = 2DEO BOD x ∴∠=∠=2CEB DEO x ∴∠=∠=275180x x ∴++= 35x = 70DEO BOD ∴∠=∠= 18027040ODC ∴∠=-⨯= 422ax a-=-=∴()5,N n (,)M c m (),M c m 2c …m n < y x 5c ∴<25c ∴<…(),M c m 2c <()1,n -m n < y x 1c ∴>-12c ∴-<<c 15c -<<c ∴37-25ABCD 5AOB S =△10ABD S =△20ABCD S ∴=四边形32x -<…63712x x x -+⎧⎨+>-⎩①②...2x ...3x >-∴32x -< (81)ABCDE ∴()521801085-⨯= 90FCD ∠=1089018BCF ∴∠=-=BC CD FC == 18018812CBF CFB -∴∠=∠==B BM x ⊥MC CN x ⊥N A AF x ⊥F A ()1,a 0a ≠()1,B a --OB OA ∴==，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，都在反比例函数图象上，，解得，反比例函数的图象在第二、四象限，，．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：原式18．证明：，，．在和中，，．19．解：原式BM AF a ==1OM OF ==tan tan BOE AOF ∠=∠ BE AF OB OF ∴=1a =BE ∴2EM a ∴==BE CE = CEN BEM ∠=∠CNE BME ∠=∠CNE BME ∴≌△△CN BM a ∴==2NE EM a ==CE BE =221ON a ∴=+()221,C a a ∴--()1,A a ()1,B a --BC AD ∥AD BC =()212,3D a a ∴-A D ()23121a a a ∴-=⋅a = 1,A ⎛∴ ⎝1k ⎛∴=⨯= ⎝22=+=BE FC = BE CE FC CE ∴+=+BC FE ∴=ABC △DFE △AC DEACB DEFBC FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABC DFE ∴≌△△AB DF ∴=22242224x x x x x x --⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭，当时，原式．20．解：（1）设种笋干的销售价格为元/千克，种笋干的销售价格为元/千克，，解得，答：种笋干的销售价格为80元/千克，种笋干的销售价格为100元/千克．（2）设购进种笋干千克，则购进种笋干千克，共花费元，由题意得．预算不超过5500元，，解得，又由题可得，解得，，的最大值为100，答：最多可购买种笋干100千克．21．（1）证明：如解图，连接，是的切线，，，，，，，，，；()()()222222x x x x x -+=⋅-+-2222x x x +=⋅-+22x =-2x =-===A x B y 228023460x y x y +=⎧⎨+=⎩80100x y =⎧⎨=⎩A B A a B (150)a -w ()()()804010070150104500w a a a =-+--=+ 1045005500a ∴+…100a …1502a a -…50a …50100a ∴……a ∴A OC CE O OC CE ∴⊥AE CE ⊥ OC AE ∴∥EAC OCA ∴∠=∠OA OC = OAC OCA ∴∠=∠EAC OAC ∴∠=∠ DCBC∴=BC CD ∴=（2）解：是的直径，，，，四边形是的内接四边形，，，，，由（1）可得，，．22．解：（1）84，86.5；【解法提示】这20个数据中存在唯一的众数84，，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，第10和第11个数据分别是85和88，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是．（2）由表中数据可知，第一次测试的20名同学中，组的有7人，组的有8人，组的有3人，组的有2人．依题意得，，，，第二次测试中这些学生的平均成绩能达到优秀．23．解：（1）C ；（2）如解图①，测量过程：（i ）利用测角仪测得和；（ii ）用皮尺测得．计算过程：过点作于点，在中，，，在中，，AB O 90ACB ∴∠= 40CAB ∠= 9050ABC CAB ∴∠=-∠= ABCD O 50EDC ABC ∴∠=∠= AE CE ⊥ 90AEC ∴∠= 9040ECD EDC ∴∠=-∠= 40EAC CAB ∠=∠= 50ECA ∴∠= 10DCA ECA ECD ∴∠=∠-∠= 84a ∴=∴858886.52+=A B C D 1327338173.920⨯+⨯+⨯+⨯=6527538589578520⨯+⨯+⨯+⨯= 85 3.988.988∴+=>∴BAC α∠=ABC β∠=BC m =C CD AB ⊥D Rt BCD △cos cos BD BC ABC m β=⋅∠=sin sin CD BC ABC m β=⋅∠=Rt ACD △sin tan tan CD m AD BAC βα==∠．（答案不唯一）【一题多解】测量过程：（i ）如解图②，延长，至点，，用测角仪测得．（ii ）用皮尺测得，，．计算过程：，，，，即，解得．（答案不唯一）24．（1）①证明：在等腰中，，于点，，．，，．由旋转性质可得，又，，．易知，；②解：如解图，过点作于点，由①可得，．，sincos tan m AB AD BD m ββα∴=+=+AC BC E F CEF BAC α∠=∠=EF a =BC b =CF c =AEF BAE α∠=∠= AB EF ∴∥ACB ECF ∴∽△△AB BC EF FC ∴=AB b a c=ab AB c= ABC △AB AC =AD BC ⊥D 142BD CD BC ∴===3AD ∴===3AD AF ∴==8BF AB AF ∴=+=BF BC ∴=EC EF =BE BE = BEF BEC ∴≌△△FBE CBE ∴∠=∠EBC ECB ∠=∠ABE BCE ∴∠=∠E EM AB ⊥M FBE CBE ∠=∠F ECB ∠=∠AD BC ⊥．，，，．设，则．在中，，即，，，在中，，（2）解：由题可得．线段绕点逆时针旋转得到线段，，，．，，．，，，．，，设，则，，即，DE EM ∴=BE BE = Rt Rt ()BED BEM HL ∴≌△△4BD BM ∴==1AM ∴=DE EM x ==3AE x =-Rt AME △222AM EM AE +=2221(3)x x +=-43x ∴=43DE ∴=∴Rt DEC △CE ==sin sin DE F ECD CE ∴=∠==BE CE = CE E EF CE EF ∴=BE EF ∴=F ABE ∴∠=∠AE AF = F AEF ∠∠∴=AEF ABE ∴∠=∠F F ∠=∠ AEF EBF ∴∽△△EF AFBF EF ∴=2EF AF BF ∴=⋅222CE DE CD =+ 22AF BF DE CD ∴⋅=+AE AF m ==5BF m =+3DE m =-()225(3)4m m m +=-+解得，．25．解：（1）当时，抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）①当时，函数有最大值，抛物线的对称轴为直线，且．，即，该抛物线的解析式为，该抛物线过点，将点代入中，得，抛物线解析式为；②如解图，抛物线与轴交于，两点，且点在点左侧，令，解得，，，．设直线的解析式为，联立，得，直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，，解得（舍去），，，即，2511m =2511AE ∴=12a =222113()3222b y x bx x b =+-=+--∴2,32b b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 2x =y ∴2x =0a <22b a∴-=4b a =-∴243y ax ax =-- ()1,8--∴()1,8--243y ax ax =--1a =-44b a ∴=-=∴243y x x =-+- 243y x x =-+-x A B A B 2430x x -+-=11x =23x =()1,0A ∴()3,0B 1l 6y nx =+2436y x x y nx ⎧=-+-⎨=+⎩()2490x n x +-+= 1l 2(4)4190n ∴--⨯⨯=110n =22n =-2690x x ∴-+=2(3)0x -=点坐标为，与点重合．直线，直线恒过点，，联立，得，，，，，当时，有最小值，最小值为M ∴()3,0B ()2:3333l y kx k k x =--=--∴2l ()3,3J -3MJ ∴=()24333y x x y k x ⎧=-+-⎪⎨=--⎪⎩()2430x k x k +--=()22(4)413416k k k k ∴--⨯⨯-=++1x ∴=2x =21x x ∴-=2111322MEF MJE MJF S S S MJ x x ∴=+=⋅-=⨯△△△2k =-MEF S △32⨯=。