模拟退火算法的教程

解析模拟退火算法一.爬山算法(Hill Climbing)介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。

爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。

爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。

如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

二.模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。

模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。

模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。

以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。

也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

模拟退火算法描述：若J(Y(i+1))>=J(Y(i))(即移动后得到更优解)，则总是接受该移动若J(Y(i+1))<J(Y(i))(即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE)=exp(dE/(kT))其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。

这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。

又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

一、概论1.1 问题概述在自然科学以及大多数科学当中和社会生活里经常出现最大或最小的问题，我们从小学开始学习大小比较，一直到高中大学时的最优解问题，都是一种名为最优化问题.最优化问题在大多是领域中都有重要的地位，例如管理科学、计算机科学、图像处理等等需要大量数据的学科中都存在着需要解决的组合优化问题。

用我们比较容易理解的说法就是已知一组固定的函数，令这组函数所对应的函数到达最大或最小值.而我们所想到的最简单的方法便是穷举法，然而这种方式存在这大量的数据计算穷举的缺点。

优化组合问题中的NP问题是一个很麻烦的问题，它解得规模会随着问题的规模增大而增大，求解所需的时间也会随问题的规模增大而成指数级增长，而当规模过大时就会因为时间的限制而失去了可行性。

旅行商问题（TSP）是优化组合问题中最为著名的一个问题，它的特点是容易描述却难于求解.这是一个经典的图论问题，假设有n个城市，用表示.城市之间距离为，i，j=1，2，3，···，n，假设所有城市之间两两连通，要求从一个城市出发，把所有城市都走一遍，而TSP问题就是恰好所有城市都走一遍，而所走路径形成回路且路径最短.将这个问题对应在一个n个顶点的完全图上，假设图为对称图，则要从个可能的解当中找到最小的解，需要的对比则要进行次，当的数值增大时，那么需要的次数也会随之以几何数倍增长，例如每秒运算一亿次的计算机，当需要的时间也只是0.0018秒，当需要的时间却是17年，可当时所需的时间却猛增到年，这个结果是我们所不想看到的。

优化组合问题的目标函数是从组合优化问题的可行解集当中求出最优解。

组合优化问题有三个基本要素：变量，约束和目标函数，在求解过程中选定的基本参数成为标量，对于变量的取值的所有限制称之为约束，表示可行的方案的标准的函数称之为目标函数。

随着问题种类的不同以及问题规模的扩大，要找到一种能够已有限代价来求解最优化问题的通用方法一直都是一个难题，建立用最大的可能性求解全局解一直是一个重要问题。

【文章】matlab带约束模拟退火算法深入探讨和分析matlab带约束模拟退火算法在现代科学和工程领域，优化问题是十分常见的。

而其中，约束优化问题更是一种常见的形式。

为了解决这类问题，人们经过长时间的探索，提出了许多方法，其中模拟退火算法便是一种被广泛应用的优化算法之一。

而在matlab中，带约束的模拟退火算法更是得到了丰富的实现和应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地介绍matlab带约束模拟退火算法，以帮助读者更好地理解和掌握这一优化方法。

1. 什么是模拟退火算法？模拟退火算法是一种基于模拟退火过程的全局优化算法。

它模拟了金属在高温下退火时的物理过程，通过不断降低系统的温度来寻找全局最优解。

在matlab中，模拟退火算法通常通过设置初始温度、终止温度、温度下降率等参数来实现。

2. 为什么需要约束？在实际问题中，许多优化问题都存在着一定的约束条件。

比如工程设计中的材料强度、生产计划中的资源限制等。

如何在求解优化问题时满足这些约束条件便成为了一个重要的问题。

3. matlab带约束模拟退火算法是如何工作的？在matlab中，带约束的模拟退火算法通过引入罚函数、拉格朗日乘子等方法来处理约束条件。

它不仅要寻找全局最优解，还要确保解满足一定的约束条件。

这就需要在温度下降的过程中，不断调整解的位置，以在搜索最优解的同时满足约束条件。

4. 代码实现及应用在matlab中，带约束的模拟退火算法通常通过调用现成的优化工具箱来实现。

我们可以通过设置目标函数、约束条件等参数，来对不同的优化问题进行求解。

可以用该算法来求解工程设计中的优化问题、生产计划中的调度优化问题等。

总结回顾通过本文的介绍，我们对matlab带约束模拟退火算法有了一个较为全面的了解。

我们知道了模拟退火算法是如何工作的，以及在matlab中如何处理带约束的优化问题。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题，合理地设置参数和约束条件，来求解复杂的优化问题。

模拟退火算法是一种基于物理中退火过程的优化算法，适用于解决全局优化问题。

以下是一个基本的MATLAB模拟退火算法实现示例：
matlab
function SA()
% 参数设置
T = 1000; % 初始温度
alpha = 0.95; % 降温系数
x = rand(1,10); % 初始解
f = @(x) sum(x.^2 - 10*cos(2*pi*x) + 10); % 目标函数
while T > 1e-5
% 随机生成新解
x_new = x + randn(1,10);
% 计算新解的函数值
f_new = f(x_new);
% 计算接受概率
p = exp(-(f_new - f(x))/T);
% 以概率p接受新解，否则拒绝
if rand() < p
x = x_new;
f = f_new;
end
% 降温
T = T*alpha;
end
% 输出最优解和最优值
fprintf('最优解：%f\n', x);
fprintf('最优值：%f\n', f);
end
这个示例中，我们定义了一个目标函数f，它是一个简单的多峰函数。

我们使用一个随机生成的初始解作为初始解x，然后在一个循环中不断生成新的解，并计算其函数值。

我们根据接受概率决定是否接受新解，如果新解更好，则接受；否则，我们以一定的概率接受新解。

在每次迭代中，我们都会降低温度T，直到达到预设的终止条件。

最后，我们输出最优解和最优值。

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随机生成初始解 $x_0$。

模拟退火算法模拟退火是一种通用概率算法，目的是在固定时间内在一个大的搜寻空间内寻求给定函数的全局最优解。

它通常被用于离散的搜索空间中，例如，旅行商问题。

特别地，对于确定的问题，模拟退火算法一般是优于穷举法。

这是由于我们一般只需得到一个可接受的最优解，而不是精确的最优解。

退火一词来源于冶金学。

退火（见图1）是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。

材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。

退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。

因此，我们将热力学的理论应用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。

而模拟退火算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火原理最早是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所创造的。

而 V . Černý 在1985年也独立发明了此算法。

1. 问题描述数学上的最优化问题一般描述为如下形式：()()minimize()g 0,1,2,,subject to 0,1,2,,i i f x x i m h x i p≤=⎧⎪⎨==⎪⎩ 其中，():R n f x R →称作问题的目标函数，()g 0i x ≤称作问题的不等式约束条件，()0i h x =称作问题的等式约束条件。

寻求上述问题的最优解的过程就类似于从热动力系统的任意一个初始状态向内能最小的状态转移的过程，即退火过程。

2. 模拟退火算法基本思想模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有图1 物理退火原理图序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

模拟退火算法简介与实例2010-07-10 12:30:55| 分类：algorithms | 标签：|字号大中小订阅摘要模拟退火算法是S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和M. P. Vecchi 在1983年所发明。

是一种典型的概率模拟算法（Monte Carlo算法），其基本想想与冶金上的退火有相似之处，在一个相当大的空间内搜索最优解，而每次只搜索与自己临近的状态。

此算法被证明以接近概率1接近最优解。

其中有较好的物理思想，是模拟类算法中的典范。

模拟退火算法由于要计算相临状态，这与Ising模拟的计算模拟有相似之处，因此本文也将对Ising做一个介绍。

本文介绍算法的基本思想并做一个例子求解TSP问题（旅行商问题），重在介绍算法思想，具体算法的优化与改进不是本文涵盖范围。

1. Ising模型Ising模型描述的是物体的铁磁性质，在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。

温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产生净磁矩。

当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。

这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变。

伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。

它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。

这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。

1.1模型描述这个模型所研究的系统是由N个阵点排列成n维周期性点阵，这里n=2。

点阵的几何构形可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或-1的自旋变量i,如果i＝+1,即第N个阵点的自旋向上；如i＝-1，即第个N阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。

点阵的位形用一组自旋变量（这里i＝2）来确定，如下图所示图1，模型图示图2，最近临磁子1.2模型计算1)两个相临磁子趋向平行能量最低，即两个磁子的自旋方向非平行与平行。

模拟退火算法介绍模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种基于蒙特卡洛方法的优化算法，由Kirkpatrick等人于1983年提出。

它模拟了固体物体从高温到低温时退火的过程，通过模拟这一过程来寻找问题的最优解。

首先，模拟退火算法需要生成一个初始解。

初始解是随机生成的，它代表了问题的一个可能解。

初始解的生成可以采用随机数生成方法，或者使用其他启发式算法生成。

然后，算法需要定义一个邻域结构来解空间。

邻域结构定义了问题的解的相邻解之间的关系。

在退火算法中，邻域结构是动态变化的，随着算法的进行，邻域结构会不断调整以适应的需求。

在退火准则方面，模拟退火算法使用了一个“接受准则”来决定是否接受一个邻域解。

接受准则基于Metropolis准则，它比较了当前解和邻域解之间的差异以及温度参数。

如果邻域解的质量更好，那么就接受它；否则，以一定的概率接受较差的解。

这个概率与温度成正比，随着温度降低，接受较差解的概率逐渐减小。

在算法的每个迭代中，温度参数会随着迭代次数逐渐降低，这意味着算法逐渐从随机转变为局部。

温度参数的降低速率决定了算法的接受较差解的概率的减小速率。

温度参数的决定是关键，它通常是一个退火函数的参数，根据经验选择。

总的来说，模拟退火算法是一种随机化的优化算法，通过模拟物理退火过程，在解空间时能够克服局部最优解，从而寻找全局最优解。

它的应用范围广泛，涵盖了诸多领域，如组合优化、图像处理、网络设计等。

但是，模拟退火算法的收敛速度相对较慢，需要很多次迭代才能找到最优解，因此在实际应用中需要根据具体问题进行合适的调整和优化。

模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i 和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

模拟退火算法起源于物理退火。

理退火过程：（1）加温过程（2）等温过程（3）冷却过程1 . 模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

matlab 模拟退火法一、介绍1.1 什么是模拟退火算法？模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种全局优化算法，它是由Metropolis等人在50年代末提出的。

模拟退火算法最初的应用领域是固体物理学中的热力学问题，后来被推广到其他领域。

1.2 为什么要使用模拟退火算法？在实际问题中，很多情况下我们需要求解全局最优解，但很多优化算法只能找到局部最优解。

而模拟退火算法可以通过“接受劣解”的机制跳出局部最优解，从而找到全局最优解。

1.3 Matlab中如何实现模拟退火算法？Matlab中可以使用simulannealbnd函数来实现模拟退火算法。

该函数可以求解约束条件下的多元函数最小值问题。

二、基本原理2.1 模拟退火过程在模拟退火过程中，首先随机生成一个初始解x0，并设定初始温度T0和终止温度Tf。

然后，在每个温度下进行若干次迭代，在每次迭代中，按照一定的概率接受当前状态的新解或旧解，并逐渐降低温度，直到温度降至终止温度Tf。

2.2 接受劣解的概率在模拟退火过程中，接受劣解的概率是一个重要的参数。

接受劣解的概率可以根据Metropolis准则计算：P(x->y)=exp(-(f(y)-f(x))/T)其中，x表示当前状态，y表示新状态，f(x)和f(y)分别表示当前状态和新状态对应的目标函数值，T表示当前温度。

2.3 降温策略在模拟退火过程中，降温策略也是一个重要的参数。

常用的降温策略有线性降温、指数降温、对数降温等。

三、实例演示3.1 求解无约束条件下的函数最小值例如，我们要求解目标函数f(x)=x^2在[-10,10]范围内的最小值。

首先定义目标函数：function y = objfun(x)y = x^2;end然后使用simulannealbnd函数进行求解：options =optimoptions('simulannealbnd','InitialTemperature',100,'MaxIter ations',1000);[x,fval] = simulannealbnd(@objfun,[-10,10],[],options)其中，InitialTemperature为初始温度，MaxIterations为迭代次数。

模拟退⽕算法详解博客⾷⽤更佳模拟退⽕算法（Simulate Anneal ，SA ）是⼀种通⽤概率演算法，⽤来在⼀个⼤的搜寻空间内找寻命题的最优解。

模拟退⽕是由S .Kirkpatrick ,C .D .Gelatt 和M .P .Vecchi 在1983年所发明的。

V .Cern 和yacute 在1985年也独⽴发明此演算法。

模拟退⽕算法是解决TSP 问题的有效⽅法之⼀。

TSP 是啥我们等会再解释(就是⼀道例题,给个link:,有兴趣的童鞋可以先看着)模拟退⽕的出发点是基于物理中固体物质的退⽕过程与⼀般组合优化问题之间的相似性。

模拟退⽕算法是⼀种通⽤的优化算法，其物理退⽕过程由加温过程、等温过程、冷却过程这三部分组成。

---引⾃《百度百科》关于物理呢，本蒟蒻就不做过多的解释了.算法原理就是⼀个物体，在降温的过程中，根据热⼒学规律并结合计算机对离散数据的处理,在温度为T 时,出现能量差为ΔE 的降温的概率为P (ΔE )这个P 函数我们在下⼀个部分给⼤家解释.算法解析(现在我们要求这个函数图像的最⼩值)附图:要开始写这个算法,我们就要引⼊⼀个叫做Metropolis 接受准则的玩意⼉了.(英语⼤佬们不要把它当成那个⼤都会了...)P =1(ΔE >0)P =exp (−ΔEkT )(ΔE <0)显然如果 ΔE 为正的话转移是⼀定会成功的, 但是对于 ΔE <0 我们则以上式中计算得到的概率接受这个新解.然后我们维护温度 T 即可. 这⾥我们有三个参数: 初温 T b , 降温系数 D , 终温 T e⼀般 T b 是个⽐较⼤的数,取1000000, D 是个接近 1 但是⼩于 1 的值,⼀般取0.97, T e 是个接近 0 的正值, ⼀般取1−14即1e −14.⾸先让温度 T =T b , 然后进⾏⼀次转移尝试, 然后让 T ∗=D .当 T <T e 时模拟退⽕过程结束, 当前解作为最优解.转移转移是整个模拟退⽕算法的重头戏.它通过当前温度进⾏⼀定程度的扰动,产⽣新解.其实扰动也并不复杂,当时学习这种算法时就不懂扰动是什么.它其实就是当前温度T 0,乘以⼀个随机数R 加在原解上得到新解.很多同学可能看不懂.现在我们假设估价函数为f (x ),x 为原解,我们要让函数值最⼩.那么新解就是x 1=x +T 0∗R (R ∈[−1,0)∪(0,1])那么ΔE =f (x )−f (x 1)此处千万不要把x 和x 1记反了,要不然这样使⽤Metrospolis 准则就会出错.我们在⼀次模拟退⽕完成后,可以再多来⼏次怎么⽣成R 呢,有些同学可能会有问题,具体我们可以⽤记得要⽤初始化例题现在,你应该已经了解了模拟退⽕算法了这⾥有⼏道例题TSP 问题没错,就是⽂章开头提到的那个TSP 问题具体请百度平衡点具体⾃⼰可以在洛⾕上看附带代码(double)(rand()-rand())/RAND_MAXsrand(time(NULL))#include<bits/stdc++.h>#define LD long doubleusing namespace std;/***** 模拟退⽕控制 *****/const LD D=0.97,EPS=1e-14;int times=10;/***** ============ *****/int n;int w[1010],x[1010],y[1010];LD bx=0,by=0;LD cur_ans,new_ans,best;inline LD Rand(){ //产⽣-1到1闭区间(除去0)的随机数return (LD)(rand()-rand())/((LD)RAND_MAX);}LD calc(LD cx,LD cy){ //估价函数LD ret=0;for(int i=1;i<=n;i++){LD dx=cx-x[i],dy=cy-y[i];ret+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*w[i];}return ret;}int main(){srand(time(NULL)); cin>>n;Processing math: 100%cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x[i]>>y[i]>>w[i];bx+=x[i];by+=y[i];}bx/=n;by/=n; //初始解best=cur_ans=calc(bx,by);while(times--){ //控制多次退⽕cur_ans=best;LD cx=bx,cy=by;for(LD T=1000000;T>EPS;T*=D){ //模拟退⽕LD nx=cx+T*Rand(),ny=cy+T*Rand();new_ans=calc(nx,ny);if(best>new_ans){ //更新最优解best=new_ans;bx=nx,by=ny;}if(cur_ans>new_ans||exp((cur_ans-new_ans)/T)>(LD)rand()/RAND_MAX){ //更新当前解并转移 cur_ans=new_ans;nx=cx,ny=cy;}}}cout<<fixed<<setprecision(3)<<bx<<" "<<by<<endl;return 0;}。

退火参数计算公式模拟退火算法描述：若J(Y(i+1))>=J(Y(i))(即移动后得到更优解)，则总是接受该移动若J(Y(i+1))<J(Y(i))(即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE)=exp(dE/(kT))其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。

这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。

又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT<0，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1)。

随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。

它找到了不远处的最高山峰。

但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。

这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

模拟退火：兔子喝醉了。

它随机地跳了很长时间。

这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。

但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。

这就是模拟退火。

下面给出模拟退火的伪代码表示。

模拟退火算法伪代码四.使用模拟退火算法解决旅行商问题旅行商问题(TSP,TravelingSalesmanProblem)：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。

旅行商问题属于所谓的NP完全问题，精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是O(N!)。

使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。

（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决TSP的思路：1.产生一条新的遍历路径P(i+1)，计算路径P(i+1)的长度L(P(i+1))2.若L(P(i+1))<L(P(i))，则接受P(i+1)为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1)，然后降温3.重复步骤1，2直到满足退出条件产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中3种：1.随机选择2个节点，交换路径中的这2个节点的顺序。

模拟退火算法一、模拟退火算法概念模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。

用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

二、模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。

终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

模拟退火算法(Simulated Annealing)主要内容◆算法原理◆算法应用◆作业现代智能优化算法，主要用于求解较为复杂的优化问题。

与确定性算法相比，其特点如下：第一，目标函数与约束函数不需要连续、可微，只需提供计算点处的函数值即可；第二，约束变量可取离散值；第三，通常情况下，这些算法能求得全局最优解。

现代智能优化算法，包括禁忌搜索，模拟退火、遗传算法等，这些算法涉及生物进化、人工智能、数学和物理学、神经系统和统计力学等概念，都是以一定的直观基础构造的算法，统称为启发式算法。

启发式算法的兴起，与计算复杂性理论的形成有密切的联系，当人们不满足常规算法求解复杂问题时，现代智能优化算法开始起作用。

现代智能优化算法，自20世纪80年代初兴起，至今发展迅速，其与人工智能、计算机科学和运筹学融合，促进了复杂优化问题的分析和解决。

模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种通用的随机搜索算法，是局部搜索算法的扩展。

最早于1953年由Metropolis提出，K irkpatric等在1983年将其成功用于组合优化问题的求解。

算法的目的：解决NP复杂性问题；克服优化过程陷入局部极小；克服初值依赖性。

一、算法原理启发：物质总是趋于最低的能态。

如：水往低处流；电子向最低能级的轨道排布。

结论：最低能态是最稳定的状态。

物质会“自动”地趋于最低能态。

猜想：物质趋于最低能态与优化问题求最小值之间有相似性，能否设计一种用于求函数最小值的算法，就像物质“自动”地趋于最低能态？退火，俗称固体降温。

先把固体加热至足够高的温度，使固体中所有的粒子处于无序的状态（随机排列，此时具有最高的熵值）；然后将温度缓缓降低，固体冷却，粒子渐渐有序（熵值下降，以低能状态排列）。

原则上，只要温度上升得足够高，冷却过程足够慢，则所有粒子最终会处于最低能态（此时具有最低的熵值）。

模拟退火算法就是将退火过程中系统熵值类比为优化问题的目标函数值来达到优化问题寻优的一种算法。