【最新】2017-2018学年孝感市应城市九年级上期中数学试卷(有答案).doc

2017-2018学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=63．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣34．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值25．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=157．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y=x2+4x+3的图象能够与二次函数y=x2的图象重合，则平移方式为（）A．向左平移2个单位，向下平移1个单位B．向左平移2个单位，向上平移1个单位C．向右平移2个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位8．（3分）方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）A．3 B．2 C．1 D．29．（3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O 为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16米B．米C．16米D．米10．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则的值是．12．（3分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），则△ABC的面积为．13．（3分）已知两点P（1，1）、Q（1，﹣1），若点Q固定，点P绕点Q旋转使线段PQ∥x轴，则此时的点P的坐标是．14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为．15．（3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=．16．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）解下列方程：（1）（2x+3）2﹣25=0（2）2x2﹣2x+1=0．18．（8分）已知二次函数y=1+6x﹣x2，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．20．（8分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中0＜x≤1）．（1）今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．（用含x的代数式表示）；（2）求当x为何值时，今年的年销售利润为4.5万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．21．（9分）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）（1）求抛物线的解析式：（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：（1）∠OBO′的度数；（2）OA+OB+OC的长．23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．（1）当k取何值方程有两个实数根．（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为．24．（13分）已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）．（1）求m的取值范围；（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x 轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．2017-2018学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=6【解答】解：A、x2﹣y=1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3=0是一元二次方程，符合题意；C、x2+=3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y=6是二元一次方程，不合题意，故选：B．3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得a=4，b=﹣1，故选：C．4．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值2【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值﹣3．故选：B．5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，故选：C．6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，7．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y=x2+4x+3的图象能够与二次函数y=x2的图象重合，则平移方式为（）A．向左平移2个单位，向下平移1个单位B．向左平移2个单位，向上平移1个单位C．向右平移2个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【解答】解：二次函数y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，将其向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到二次函数y=x2．故选：D．8．（3分）方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）A．3 B．2 C．1 D．2【解答】解：方程x2﹣6x+5=0较小的根为p=1，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q=1，则p+q=2，故选：B．9．（3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O 为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16米B．米C．16米D．米【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，∴C（﹣10，﹣），∴桥面离水面的高度AC为m．故选：B．10．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则的值是．【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两根，∴a+b=6，ab=﹣5，+===﹣．故答案是：﹣．12．（3分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），则△ABC的面积为8．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），∴点B（4，3），∴，得，∴y=x2+bx+c=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴顶点到直线AB的距离为：3﹣（﹣1）=4，∴△ABC的面积为：=8，故答案为：8．13．（3分）已知两点P（1，1）、Q（1，﹣1），若点Q固定，点P绕点Q旋转使线段PQ∥x轴，则此时的点P的坐标是（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）．【解答】解：∵线段PQ∥x轴，点Q（1，﹣1），∴点P的纵坐标为﹣1，∵PQ=2，∴点Q在点P的左边时，点P的横坐标为1+2=3，此时点P的坐标为（3，﹣1），点Q在点P的右边时，点P的横坐标为1﹣2=﹣1，所以，点P的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）；14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为=15．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x﹣1=15，即=15，故答案为：=1515．（3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=．【解答】解：∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5，∴△BCC′是等边三角形，∴CC′=5，∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，∴DC′=BC=，故答案为：．16．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）解下列方程：（1）（2x+3）2﹣25=0（2）2x2﹣2x+1=0．【解答】解：（1）（2x+3）2=25，2x+3=±5，所以x 1=1，x 2=﹣4；（2）（x﹣1）2=0，x﹣1=0，所以x1=x2=．18．（8分）已知二次函数y=1+6x﹣x2，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．【解答】解：∵a=﹣1＜0，∴图象开口向下，∵y=1+6x﹣x2=﹣（x﹣3）2+10，∴对称轴是x=3，顶点坐标是（3，10）；∵对称轴x=3，图象开口向下，∴当x＞3时，y随x增大而减小．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1（1，﹣2）．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（3，4）．20．（8分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中0＜x≤1）．（1）今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．（用含x的代数式表示）；（2）求当x为何值时，今年的年销售利润为4.5万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．【解答】解：（1）依题意得：10+10•0.7x=10+7x；12+12•0.5x=12+6x．故答案是：10+7x；12+6x；（2）依题意得：2（1+x）（2﹣x）=4.5解得x=0.5．答：当x为0.5时，今年的年销售利润为4.5万元．21．（9分）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）（1）求抛物线的解析式：（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y=3x﹣3中，令y=0求得x=1，令x=0可得y=﹣3，∴A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得，∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3；（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为x=﹣1，∵A、C关于对称轴对称，且A（1，0），∴MA=MC，C（﹣3，0），∴MB+MA=MB+MC，∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，设直线BC的解析式为y=kx+m，∵直线BC过点B（0，﹣3），C（﹣3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式y=﹣x﹣3，当x=﹣1时，y=﹣2，∴M（﹣1，﹣2），∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2）．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：（1）∠OBO′的度数；（2）OA+OB+OC的长．【解答】解：（1）∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到O 的对应点为点O′），∴∠OBO′=60°；（2）∵∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，∴BA=4，∴BC==2，∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=4，∠OBO′=∠ABA′=60°，∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°∴△BOO′为等边三角形，∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，而∠BOC=120°，∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，∴点O′在直线CO上，同理可得点O、O′、A′共线，∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，∵∠CBA′=90°，∴A′C==2，即OA+OB+OC=2．23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．（1）当k取何值方程有两个实数根．（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为．【解答】解：（1）∵△=[﹣（k+1）]2﹣4×（k2+1）=2k﹣3≥0，∴k≥，（2）设方程的两根为x1、x2∴x12+x22=5，∵x1+x2=k+1，x1x2=k2+1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k+1）2﹣2×（k2+1）=5，解得k1=﹣6，k2=2，∵x1+x2=k+1＞0，∴k＞﹣1，∴k=2．24．（13分）已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）．（1）求m的取值范围；（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x 轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴4m＜0，∴m＜0；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=4m，∵x1＜0，x2＞0，而|x1|+|x2|=3，∴﹣x1+x2=3，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=9，即4（m+1）2﹣16m=9，解得m1=（舍去），m2=﹣，∴m=﹣，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2；（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣，过P点作PH⊥x轴于H，如图，设P（x，x2+x﹣2）（x≥﹣），∵△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，∴PH=AH，∴|x2+x﹣2|=x+2，当x2+x﹣2=x+2，解得x1=﹣2（舍去），x2=2，此时P点坐标为（2，4）；当x2+x﹣2=﹣x﹣2，解得x1=﹣2，x2=0（舍去），此时P点坐标为（0，﹣2），即满足条件的P点坐标为（2，4）或（0，﹣2）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2017-2018学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入题后括号内1．（3分）抛物线y=22﹣1的顶点坐标是（ ）A ．（0，﹣1）B ．（0，1）C ．（1，0）D ．（﹣1，0）2．（3分）如果=﹣1是方程2﹣+=0的解，那么常数的值为（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣23．（3分）已知⊙O 是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P 的坐标为（3，﹣4），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定4．（3分）小明在解方程2﹣4﹣15=0时，他是这样求解的：移项得2﹣4=15，两边同时加4得2﹣4+4=19，∴（﹣2）2=19，∴﹣2=±，∴﹣2=±，∴1=2+，2=2﹣，这种解方程的方法称为（ ）A ．待定系数法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 5．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（3分）已知抛物线y=﹣22+经过A （﹣1，y 1）和B （3，y 2）两点，那么下列关系式一定正确的是（ ）A ．0＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＜y 1＜0D ．y 2＜0＜y 17．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，若∠DCB=110°，则∠AED 的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．（3分）若关于的方程42﹣12﹣9=0有实数根，则实数的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）已知二次函数y=a2+b+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c10．（3分）如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD=5cm，=，则PQ的长为（）A．2cm B．cm C．3cm D．cm二、填空题（本大题共个5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（0，1）关于原点对称的点是．12．（3分）方程（+1）=0的解是．13．（3分）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠A=67.5°，弦AB=4cm，则CD= cm．14．（3分）二次函数y=a2+b+c（a≠0）中的部分对应值如下表：的值为 ．15．（3分）如图，射线OC 与轴正半轴的夹角为30°，点A 是OC 上一点，AH ⊥轴于H ，将△AOH 绕着点O 逆时针旋转90°后，到达△DOB 的位置，再将△DOB 沿着y 轴翻折到达△GOB 的位置，若点G恰好在抛物线y=2（＞0）上，则点A 的坐标为 ．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应下厨文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）解方程：（+5）=5+25（2）已知点（5，0）在抛物线y=﹣2+（+1）﹣上，求此抛物线的对称轴．17．（6分）如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC ，已知△A 1AC 1是由△ABC 绕某点顺时针旋转90°得到的．（1）请你写出旋转中心的坐标是 ．（2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A 1AC 1顺时针旋转90°，180°后的三角形．19．（7分）已知一元二次方程2+﹣2=0有两个不相等的实数根，即1=1，2=﹣2．（1）求二次函数y=2+﹣2与轴的交点坐标；（2）若二次函数y=﹣2++a 与轴有一个交点，求a 的值．20．（12分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元（＞0）时，平均每天可盈利y 元．（1）写出y 与的函数关系式；（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．21．（7分）如图，在△ABC 中，BC=AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ，连接OD ．（1）求证：OD 为△ABC 的中位线；（2）若AC=6cm ，求点O 到DE 的距离．22．（12分）综合与探究问题情境：（1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是，位置关系是．合作探究：（2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．23．（14分）综合与实践：如图，二次函数y=﹣2++4的图象与轴交于点B，点C（点B在点C的左边），与y轴交于点A，连接AC，AB．（1）求证：AO2=BO•CO；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，求当△AMN的面积取得最大值时，直线AN的表达式．（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．2017-2018学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入题后括号内1．（3分）抛物线y=22﹣1的顶点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，1） C．（1，0） D．（﹣1，0）【解答】解：∵y=22﹣1，∴顶点坐标为（0，﹣1），故选：A．2．（3分）如果=﹣1是方程2﹣+=0的解，那么常数的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：把=﹣1代入方程2﹣+=0，得1+1+=0，解得=﹣2．故选：D．3．（3分）已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，﹣4），则点P 与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：OM==5，OM=r=5，点P在⊙O上，故选：B．4．（3分）小明在解方程2﹣4﹣15=0时，他是这样求解的：移项得2﹣4=15，两边同时加4得2﹣4+4=19，∴（﹣2）2=19，∴﹣2=±，∴﹣2=±，∴1=2+，2=2﹣，这种解方程的方法称为（ ）A ．待定系数法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 【解答】解：根据题意知这种解方程的方法称为配方法，故选：B ．5．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B ．6．（3分）已知抛物线y=﹣22+经过A （﹣1，y 1）和B （3，y 2）两点，那么下列关系式一定正确的是（ ）A ．0＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＜y 1＜0D ．y 2＜0＜y 1【解答】解：=﹣1时，y 1=﹣2﹣1=﹣3，=3时，y 2=﹣15，∴y 2＜y 1＜0，故选：C ．7．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，若∠DCB=110°，则∠AED 的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：连接AC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB﹣∠ACB=110°﹣90°=20°，∴∠AED=∠ACD=20°．故选：B．8．（3分）若关于的方程42﹣12﹣9=0有实数根，则实数的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：当=0时，方程为﹣12﹣9=0，解得=﹣，有实数根；当≠0时，△=（﹣12）2﹣4×4×（﹣9）=144+144≥0，解得≥﹣1，∴实数的取值范围为≥﹣1，在数轴上可表示为：故选：A．9．（3分）已知二次函数y=a2+b+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：由函数图象已知a＞0，c＜0，∵﹣=﹣1，∴b=2a，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选：D．10．（3分）如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD=5cm，=，则PQ的长为（）A．2cm B．cm C．3cm D．cm【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°，∴AB=AD=5，∵，∴PB=2，∵AB=BD ，○BAP=○BDQ ，○ABP=○DBQ=60°，∴△ABP ≌△DBQ ，∴PB=QB ，∴△PQB 是等边三角形，∴PQ=PB=2cm ，故选：A ．二、填空题（本大题共个5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点A （0，1）关于原点对称的点是 （0，﹣1） ．【解答】解：点（0，1）关于原点O 对称的点是 （0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．12．（3分）方程（+1）=0的解是 0或﹣1 ．【解答】解：（+1）=0=0或+1=01=0，2=﹣1故本题的答案是1=0，2=﹣113．（3分）如图，已知⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠A=67.5°，弦AB=4cm ，则CD= 4cm ．【解答】解：连接OA ，如图，∵CD ⊥AB ，∴∠CEA=90°，AE=BE=AB=2，∵∠A=67.5°，∴∠C=22.5°，∴∠AOE=2∠C=45°，∴△AOE 为等腰直角三角形，∴OA=AE=2，∴CD=2OA=4（cm ）． 故答案为4．14．（3分）二次函数y=a 2+b+c （a ≠0）中的部分对应值如下表： 的值为 11 ．【解答】解：由表可知，该抛物线的顶点坐标为（1，2），设函数解析式为y=a （﹣1）2+2，将（0，3）代入得，a （0﹣1）2+2=3，解得a=1，所以，抛物线解析式为y=（﹣1）2+2，当=﹣2时，y=（﹣2﹣1）2+2=9+2=11．故答案为：11．15．（3分）如图，射线OC 与轴正半轴的夹角为30°，点A 是OC 上一点，AH ⊥轴于H ，将△AOH 绕着点O 逆时针旋转90°后，到达△DOB 的位置，再将△DOB 沿着y 轴翻折到达△GOB 的位置，若点G 恰好在抛物线y=2（＞0）上，则点A 的坐标为 （3，） ．【解答】解：点G的坐标为（a，a2），则点D的坐标为（﹣a，a2），∴点A的坐标为（a2，a），∵射线OC与轴正半轴的夹角为30°，∴tan30°=，即，解得，a=，∴点A的坐标为（3，）．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应下厨文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）解方程：（+5）=5+25（2）已知点（5，0）在抛物线y=﹣2+（+1）﹣上，求此抛物线的对称轴．【解答】解：（1）∵（+5）=5+25，∴（+5）﹣5（+5）=0，∴（+5）（﹣5）=0，则+5=0或﹣5=0，解得：=﹣5或=5；（2）将点（5，0）代入，得：﹣25+5（+1）﹣=0，解得：=5，∴抛物线解析式为y=﹣2+6﹣5，则抛物线的对称轴为=﹣=3．17．（6分）如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a 2，把点B （10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a ×102，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣2．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC ，已知△A 1AC 1是由△ABC 绕某点顺时针旋转90°得到的．（1）请你写出旋转中心的坐标是 （0，0） ．（2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A 1AC 1顺时针旋转90°，180°后的三角形．【解答】解：（1）旋转中心的坐标是（0，0）；故答案为（0，0）；（2）如图，△A 1A 2C 2和△A 2BC 3为所作；19．（7分）已知一元二次方程2+﹣2=0有两个不相等的实数根，即1=1，2=﹣2．（1）求二次函数y=2+﹣2与轴的交点坐标；（2）若二次函数y=﹣2++a 与轴有一个交点，求a 的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2+﹣2=0有两个不相等的实数根，即1=1，2=﹣2， ∴二次函数y=2+﹣2与轴的交点坐标为（1，0），（﹣2，0）；（2）∵二次函数y=﹣2++a 与轴有一个交点，令y=0，﹣2++a=0，有两个相等的实数根，∴△=1+4a=0，∴a=﹣．20．（12分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价元（＞0）时，平均每天可盈利y 元．（1）写出y 与的函数关系式；（2）根（1）中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得，y 与的函数关系式为y=（20+2）（60﹣40﹣）=﹣22+20+400；（2）①当=5时，y=﹣2×52+20×5+400=450．故平均每天盈利450元；②当y=400时，400=﹣22+20+400，解得1=10，2=0（不合题意舍去）．故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；③该专卖店不可能平均每天盈利600元．当y=400时，600=﹣22+20+400，整理得2﹣10+100=0，∵△=（﹣10）2﹣4×1×100=﹣300＜0，∴方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元．21．（7分）如图，在△ABC 中，BC=AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ，连接OD ．（1）求证：OD 为△ABC 的中位线；（2）若AC=6cm ，求点O 到DE 的距离．【解答】解：（1）连接CD ，∵BC 是圆的直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，又∵AC=BC，∴AD=BD，又∵OC=OB，∴OD为△ABC的中位线．（2）连接OD，∵AD=BD，OB=OC，∴DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，OD=AC=×6=3，又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∴点O到直线DE的距离为3．22．（12分）综合与探究问题情境：（1）如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是FH=FG ，位置关系是FG⊥FG ．合作探究：（2）如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【解答】（1）解：如图1中，∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为：FG=FH，FG⊥FH．（2）（1）中结论成立，证明：如图2，∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，由（1）知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴（1）中的结论成立．（3）（1）中的结论成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．理由：如图3，连接AD，BE，两线交于，AD交BC于，同（1）可证FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∵△ECD、△ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CA=90°，∠CA=∠DB，∴∠DB+∠EBC=90°，∴∠EA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，∴FH=FG，FH⊥FG，即：（1）中结论成立．23．（14分）综合与实践：如图，二次函数y=﹣2++4的图象与轴交于点B ，点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点A ，连接AC ，AB ．（1）求证：AO 2=BO •CO ；（2）若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作MN ∥AC ，交AB 于点M ，求当△AMN 的面积取得最大值时，直线AN 的表达式．（3）连接OM ，在（2）的结论下，试判断OM 与AN 的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）当y=0时，0=﹣2++4，整理得：2﹣6﹣16=0，解得：1=﹣2，2=8．∴B （﹣2，0），C （8，0）．令=0得：y=4，∴A （0，4）．∴OA=4，OB=2，OC=8，∴OA 2=OB •CO ． （2）设点N （n ，0）（﹣2＜n ＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n ．∵MN ∥AC ，∴==．∵OA=4，BC=10，∴S △ABC =BC •OA=×4×10=20，S △BNM =BN •OA=×（n+2）×4=2n+4．∵===，∴S △AMN =S △BMN =×（2n+4）=（8﹣n ）（n+2）=﹣（n ﹣3）2+5． ∴当n=3时，即N （3，0），△AMN 的面积最大． 设直线AN 的表达式为y=+b ．将点A 和N 的坐标代入得：，解得．∴直线AN 的表达式为y=﹣+4．（3）∵N （3，0），∴ON=3．∴CN=8﹣3=5．∵BC=10，∴N 为线段BC 的中点．∵MN ∥AC ，∴M 为AB 的中点，∴AB===2．∵∠AOB=90°，∴OM=AM=．∵AN===5．∴OM 2=AN ．即OM 与AN 的数量关系是OM 2=AN ．。

湖北省孝感市文昌中学2018届九年级数学上学期期中试题（无答案）新人教版一、精心选一选，相信自己的判断!（本题12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求 ，不选、选错或选的代号超过一个的，一律得0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A.034=-xB.012=-xC.04324=--x xD.223250x xy y --=2. 如图，是由四个全等的大等腰直角三角形和四个全等的小等腰直角三角形拼成，图形旋转α角度后能与自身重合，则α可能是（ ）A ．030 B. 060 C. 090 D.01203．下列根式，是最简二次根式的是（ ） A.21B.8xC.y x 3D.xy 210 4.下面图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.下列运算正确的是（ ）． 235=632=⋅623=332=-6.脸面图案按一定的规律依次旋转形成下面排列，则第2018个图案是（ ）.A. B. C. D.7. 公式 a a =2成立的条件是（ ）A ．a >0B ．a ≥ 0C ．a ≤0D ．a ﹤08．在△ABC 所在平面内,与直线AB 、直线BC 、直线AC 都相切的圆有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．19. 某城市居民最低生活保障在2018年是300元，经过连续两年的增加，到2018年提高到432元，设该城市最低生活保障的平均年增长率是x , 则下面所列方程中正确的是（ ）A.432)1(3002=-xB.432)1(3002=+xC.432)21(300=-xD.432)21(300=+x10. 下列命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②经过半径的端点与这条半径垂直的直线是圆的切线；②经过直径的端点与这条直径垂直的直线是圆的切线； ④圆内接平行四边形是矩形.其中正确命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 11.若02=++c bx x 的两根中较小的一个根是)0(≠m m ，则c b b 42-+=（ ）.…… 第2题图A. mB. m -C. 2mD. m 2-12. 如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AON =60°，B 为劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ． 1D ． 2二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 将一元二次方程 25412++=+x x x ,化为一般形式为 ，14. 若a 是方程142=+x x 的一个根，则代数式201142++a a 的值等于 .15. 若代数式nm 1+-有意义，则点P （n m --,1）在第 象限． 16.如图， AB 为 ⊙O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为________.17. 对实数a 、b ,定义“★”运算规则如下：a ★⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)(.)(；22b a b a b a b b , 则7★(2★3)= ____________.18.如图, 点O 是等边ABC ∆内一点, ,,110α=∠︒=∠BOC AOB 将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60°得ADC ∆, 若AO =AD , 则α的值为___________.三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共7小题，满分66分，）19.计算或化简（每小题4分，共8分）(1)、x x x 20215545+- (2)、 +-0)3()32)(32(+-20.解一元二次方程：（每小题4分，共8分）(1)、100812=x(2)、x x -=-3)3(221. （本题8分）小琦把菱形每次旋转120°后得到如图甲所示的图案. 将此图案放在直角第16题图 第18题图 A DC O B 第12题图N坐标系中（如图乙所示），若菱形ＡＢＣＤ的∠ＡＯＣ＝060，Ａ（２，０）.（１）填空：点1A 与点Ｃ关于______对称，点1A 与点1C 关于___________对称；（２）请你补充完成乙图；（３）请你写出第二次旋转后点Ａ，Ｂ，Ｃ对应点2A ，2B ，2C 的坐标．____________________________________22．（本题10分）关于x 的一元二次方程0132=-++m x x 的两个实数根分别为21,x x ．（1）求m 的取值范围；（5分）（2）若010)(2222121=-++x x x x ，求m 的值. （5分）23.（本题10分）如图，AD 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点E 作直线L ，交AD 的延长线于点B ，L AC ⊥于点Ｃ，AC 交⊙O 于点G ，E 为劣弧GD 的中点．（１）求证：BC 是⊙O 的切线；（5分）（２）若4,6==CE AG ，求⊙O 的半径．（5分）24．（本题10分）某专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，同时又要让利于顾客，赢得市场，每千克核桃应降价多少元？25.（本题12分）如图，已知矩形ABCD,AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B移动, 同时,点Q从点C出发，以相同的速度沿CD向点D移动(点P到达点B停止时,点Q也随之停止运动),以PQ为直径作⊙O交AB于E, 连接EQ, 设点P运动时间为t秒,⊙O的面积为s．(1)、求证：EQ⊥AB ；（3分）(2)、试求s关于t的函数关系式,并求出当t=2时s的值；（4分）(3)、探究：是否存在一个时刻t,使⊙O与边AD相切？若存在,请求出此时s及t的值, 若不存在,请说明理由．（5分）。

九年级上数学期中模拟试卷（120分钟120分）一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分）1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）A． B．C．D．3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关第1题图第2题图第3题图第4题图4．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D． 4cm 5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C． 2﹣D．6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44° B．54° C．72° D．53°第5题图第6题图第7题图第8题图7．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C． 60°D．75°第9题图第10题图第11题图第12题图9．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C． 60°或120°D．30°或150°10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（）A．B．3C． 5D．711．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A．4B．8C． 2D．412．如图，在⊙O上有顶点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q，已知⊙O的直径为10，tan∠ABC=43，则CQ最大值为（）A．5 B．152C．254D．203二．填空题（共6小题，每小题3分，共16分）13．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=．14．如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．第14题图第16题图第17题图15．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D 处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是m．第15题图第18题图16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为．17．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．三．解答题（共6小题）19．（本题满分10分）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．20．（本题满分12分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）21．（本题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．22．（本题满分11分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．23．（本题满分12分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．24．（本题满分12分）今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A 点海拔121米．C点海拔721米．（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A． 2 B．C．D．解析：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（）A． B．C．D．解析：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB===3．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴sin∠ACD=sin∠B==，故选A．3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越大，梯子越陡B． cosA的值越大，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关解析：根据锐角三角函数的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选：A．4．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm解析：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．故选A．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．﹣1 C．2﹣D．解析：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=DC=AC．∴tan∠DBC===．故选A．6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是（）A．44° B．54° C．72° D．53°解析：∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠E=36°，∴∠BEA=∠DAE=36°，∴∠BAD=126°，∴∠ADC=54°，故选B．7．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°解析：B到AO的距离是指BO的长，∵AB∥OC，∴∠BAO=∠AOC=36°，∵在Rt△BOA 中，∠BOA=90°，AB=1，∴sin36°=，∴BO=ABsin36°=sin36°，故A、B选项错误；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，∴∠ABO=54°，∵sin36°=，∴AD=AO•sin36°，∵sin54°=，∴AO=AB•sin54°，∵AB=1，∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°，故C选项正确，D选项错误；故选C．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45° B．50° C．60°D．75°解析：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形OADC是平行四边形，∴∠ADC=∠AOC；∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故选C．9．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60° B．120°C．60°或120° D．30°或150°解析：作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O的直径等于（）A．B．3C．5D． 7解析：作直径AE，连接BE，∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，由勾股定理得AD==4．∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等）∠ABE=90°，（半圆上的圆周角是直角）∴△ADC∽△ABE，AE：AC=AB：AD，∴AE==5，则直径AE=5．故选C．11．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（）A．4B．8C．2D． 4解析：∵⊙O的直径AB=12，∴OB=AB=6，∵BP：AP=1：5，∴BP=AB=×12=2，∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4，∵CD⊥AB，∴CD=2PC．如图，连接OC，在Rt△OPC中，∵OC=6，OP=4，∴PC===2，∴CD=2PC=2×2=4．故选D．12．12．如图，在⊙O上有顶点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q，已知⊙O的直径为10，tan∠ABC=43，则CQ最大值为（）A．5 B．152C．254D．203答案：B二．填空题（共6小题）13．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β=75°．解析：∵|sinα﹣|+=0，∴sinα=，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．14．如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D．则CD的最大值为．解析：连结OD，作OH⊥AB，如图，∴AH=BH=AB=，∵CD⊥OC，∴CD=，∵OD为圆的半径，∴当OC最小时，CD最大，∴C点运动到H点时，OC最小，此时CD=HB=，即CD的最大值为．故答案为．15．观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是 m ．解析：在Rt △ABD 中，∠BDA =30°，故tan 30°=33=AD AB ，AB =45，故AD =345； 在Rt △ABD 中，∠CAD =60°，故tan 60°=3=ADCD ，故CD =1353345=⋅.故答案为135 . 16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则的度数为 50° ．解析：连接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度数为50°．故答案为：50°．17．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为（2，1）．解析：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，∵点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），∴O1的坐标是（2，1）．故答案为：（2，1）．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．解析：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB===4，∴在Rt△ABC 中，AC=AB•cos60°=4×=2．故答案为：2．三．解答题（共8小题）19．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．20．为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A 射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．（1）求BT的长（不考虑其他因素）．（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°∵AT⊥MN∴∠A TC=90°在Rt△ACT中，∠ACT=31°∴tan31°=可设AT=3x，则CT=5x在Rt△ABT中，∠ABT=22°∴tan22°=即：解得：∴，∴；（2），，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．22．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12﹣3﹣1=8（m），∴GM=MH=4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN=2m，∴OM=（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2=OM2+42，∴r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．23．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵=，∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=BC=×12=6，在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，∴AE==8，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AE•BC=BD•AC，∴BD==，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，∴AD==，∴sin∠ABD===．24．今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C 点海拔721米．（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度．解：如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．在C点测得B点的俯角为30°，∴∠CBD=30°，又BC=400米，∴CD=400×sin30°=400×=200（米）．∴B点的海拔为721﹣200=521（米）．（2）∵BE=DF=521﹣121=400米，又∵AB=1040米，AE===960米，∴AB的坡度i AB===．故斜坡AB的坡度为1：2.4．。