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2018年高考数学(理)二轮复习 ：规范答题示例5 数列的通项与求和问题

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规范答题示例5 数列的通项与求和问题

典例5 (12分)下表是一个由n2个正数组成的数表，用aij表示第i行第j个数(i，j∈N*)．已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．且a11＝1，a31＋a61＝9，a35＝48.

a11 a12 a13 … a1n

a21 a22 a23 … a2n

a31 a32 a33 … a3n

… … … … …

an1 an2 an3 … ann

(1)求an1和a4n；

(2)设bn＝a4na4n－2a4n－1＋(－1)n·an1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.

审题路线图 数表中项的规律―→确定an1和a4n――→化简bn分析bn的特征――→选定求和方法分组法及裂项法、公式法求和

规范解答·分步得分 构建答题模板

解 (1)设第1列依次组成的等差数列的公差为d，设每一行依次组成的等比数列的公比为q.依题意a31＋a61＝(1＋2d)＋(1＋5d)＝9，∴d＝1，

∴an1＝a11＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，3分

∵a31＝a11＋2d＝3，∴a35＝a31·q4＝3q4＝48，

∵q>0，∴q＝2，又∵a41＝4，

∴a4n＝a41qn－1＝4×2n－1＝2n＋1.6分

(2)∵bn＝a4na4n－2a4n－1＋(－1)nan1

＝2n＋12n＋1－22n＋1－1＋(－1)n·n7分

＝2n2n－12n＋1－1＋(－1)n·n＝12n－1－12n＋1－1＋(－1)n·n，

∴Sn＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n－1－12n＋1－1＋[－1＋2－3＋4－5＋…＋(－1)nn]，10分 第一步

找关系：根据已知条件确定数列的项之间的关系．

第二步

求通项：根据等差或等比数列的通项公式或利用累加、累乘法求数列的通项公式．

第三步

定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(常用的有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)．

第四步

写步骤．

当n为偶数时，Sn＝1－12n＋1－1＋n2，11分

当n为奇数时，Sn＝1－12n＋1－1＋n－12－n

＝1－12n＋1－1－n＋12＝1－n2－12n＋1－1.12分 第五步

再反思：检查求和过程中各项的符号有无错误，用特殊项估算结果.

评分细则 (1)求出d给1分，求an1时写出公式结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；

(2)bn写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；

(3)缺少对bn的变形直接计算Sn，只要结论正确不扣分；

(4)当n为奇数时，求Sn中间过程缺一步不扣分．

跟踪演练5 (2017·山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bnan的前n项和Tn.

解 (1)设{an}的公比为q，

由题意知a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2，

又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，

所以an＝2n.

(2)由题意知S2n＋1＝2n＋1b1＋b2n＋12＝(2n＋1)bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn＝2n＋1.

令cn＝bnan，则cn＝2n＋12n，

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋522＋723＋…＋2n－12n－1＋2n＋12n，

又12Tn＝322＋523＋724＋…＋2n－12n＋2n＋12n＋1，

两式相减得

12Tn＝32＋12＋122＋…＋12n－1－2n＋12n＋1＝32＋121－12n－11－12－2n＋12n＋1＝52－2n＋52n＋1，

所以Tn＝5－2n＋52n.

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高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)含答案解析

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)含答案解析

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）

1．已知数列{}na的前n项和21nnS，则数列2{}na的前10项和为（ ）

A．1041 B．102(21) C．101(41)3 D．101(21)3

2．已知数列{}na的前n项和为nS，满足21nnSa，则{}na的通项公式为na（ ）

A．21n B．12n C．21n D．21n

3．数列{}na满足1(1)nnnaan，则数列{}na的前20项和为（ ）

A．100 B．100 C．110 D．110

4．已知数列{}na的通项公式为100nann，则122399100||||||aaaaaaL（ ）

A．150 B．162 C．180 D．210

5．数列{}na中，10a，111nnaann，若9na，则n（ ）

A．97 B．98 C．99 D．100

6．在数列{}na中，12a，111nnaa，则2019a的值为（ ）

A．2 B．13 C．12 D．32

7．已知nS是数列{}na的前n项和，且13nnnSSa，4523aa，则8S（ ）

A．72 B．88 C．92 D．98

8．在数列{}na中，12a，已知112(2)2nnnaana，则na等于（ ）

A．21n B．2n C．31n D．3n

9．已知数列21()nann*N，nT为数列11{}nnaa的前n项和，求使不等式20194039nT成立的最小

正整数（ ） 一、选择题

A．2017 B．2018 C．2019 D．2020

10．已知直线250xy与直线1150xdy互相平行且距离为m，等差数列{}na的公差为d，7835aa，4100aa，令123||||||||nnSaaaaL，则mS的值为（ ）

高考数学解答题(新高考)数列求和(裂项相消法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

高考数学解答题(新高考)数列求和(裂项相消法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

常见的裂项技巧

类型一：等差型

①)11(1)(1knnkknn

特别注意nnnnknnnnk111)1(1,1;111)1(1,1

②1111()(1)(1)211knknknkn

如：)121121(211412nnn（尤其要注意不能丢前边的21）

类型二：无理型

①)(11nknknkn

如：111nnnn

类型三：指数型

①11(1)11()()nnnnnaaakakakak

如：11211(2)(2)22nnnnnkkkk

类型四：通项裂项为“”型

如：①21111111nnnnnnn

②131222(1)(11)1nnnnnnnnnn

本类模型典型标志在通项中含有(1)n乘以一个分式.

二、典型例题

类型一：等差型

例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知nS是等差数列na的前n项和，0na，315S，公差1d，且___________.从①21a为11a与31a等比中项，②等比数列nb的公比为3q，1124,baba这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列na存在并作答.

(1)求数列na的通项公式；

(2)设数列11nnaa的前n项和为nT，求证：16nT.

【答案】(1)选择条件见解析，21nan(2)证明见解析

(1)若选①，21a为11a与31a的等比中项，

则2132111aaa，由na为等差数列，315S，得2315a，∴25a，

把25a代入上式，可得4616dd，解得2d或4d（舍）

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法

考纲要求：

1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;

2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；

3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；

4. 掌握nnsa求的一般方法和步骤.

考点回忆：

回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的.

根底知识过关：

数列的概念

1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n项……，数列的一般形式可以写成12,naaa…………，其中是数列的第n项，我们把上面数列简记为.

数列的分类：

1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.

2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、

数列.

数列的通项公式： 1.假设数列na的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数.

递推公式;

1.假设数列na的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1nnaa与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法.

数列与函数的关系：

1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()nafn，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)……

答案：

数列的概念

1.顺序项序号首项nana

数列的分类

1.有限无限

2.递增递减常摆动

数列的通项公式

1.第n项与它的序号n之间的关系na=f(n)解析式

高考数学 数列 专题复习100题(含答案详解)

高考数学 数列 专题复习100题(含答案详解)

【高考专题】2018年高考数学 数列 专题复习100题

1.已知等差数列{an}与等比数列{bn}满足，，，且{an}的公差比{bn}的公比小1.

（1）求{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}满足，求数列{cn}的前项和.

2.已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.

3.已知公差不为0的等差数列{an}的首项为，且成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对，试比较与的大小．

4.已知数列{an}的前n项和为，且.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）定义，其中为实数的整数部分，为的小数部分，且，记，求数列{cn}的前n项和.

5.已知数列{an}是递增的等比数列，且

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设为数列{an}的前n项和，，求数列的前n项和。

6.知数列{an}的前n项和为，且满足，数列{bn}为等差数列，且满足．

(I)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(II)令，关于k的不等式的解集为M，求所有的和S．

7.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn- Sn+1,n∈N*.

（Ⅰ）证明：an+2=3an

（Ⅱ）求Sn

8.等差数列{}中，

（I）求{}的通项公式；

(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2

9.已知数列{an}满足:.(1)设,

(1)证明是等比数列;

(2)求数列的通项公式;

(3)记,问是否存在正整数,使得?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.

10.已知数列{an}的前项和为，且，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

11.等差数列{an}中，a2=4，a4＋a7=15.