2007年高考数学试题(福建.理)含答案

数学（理）（福建卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数21(1i)等于（ ）

A．12 B．12 C．1i2 D．1i2

2．数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于（ ）

A．1 B．56 C．16 D．130

3．已知集合{}{12}AxxaBxx，，且()ABRRð，则实数a的取值范围是（ ）

A．1a≤ B．1a C．2a≥ D．2a

4．对于向量，，abc和实数，下列命题中真命题是（ ）

A．若0ab，则0a=或0b= B．若0a=，则0或0a

C．若22ab，则ab或a=b D．若ab=ac，则b=c

5．已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象（ ）

A．关于点0，对称 B．关于直线x对称

C．关于点0，对称 D．关于直线x对称

6．以双曲线221916xy的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）

A．221090xyx B．2210160xyx

C．2210160xyx D．221090xyx

7．已知()fx为R上的减函数，则满足1(1)ffx的实数x的取值范围是（ ）

A．(11)， B．(01)， C．(10)(01)，， D．(1)(1)，，

8．已知mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．mnmn，，∥，∥∥

B．mnmn∥，，∥

C．mmnn⊥，⊥∥

D．nmnm∥，⊥⊥

9．把21(1)(1)(1)nxxx展开成关于x的多项式，其各项系数和为na，则21lim1nnnaa→等于（ ）

A．14 B．12 C．1 D．2

10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDABCD中，12ABAA，，则AC，两点间的球面距离为（ ）

A． B． C．24 D．22

11．已知对任意实数x，有()()()(fxfxgxgx，，且0x时，()0()fxgx，，则0x时（ ）

A．()0()0fxgx， B．()0()0fxgx，

C．()0()0fxgx， D．()0()0fxgx，

12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ijaij，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）

A．37 B．47

C．114 D．1314

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知实数xy，满足2203xyxyy≥，≤，≤≤，则2zxy的取值范围是________．

14．已知正方形ABCD，则以AB，为焦点，且过CD，两点的椭圆的离心率为______．

15．两封信随机投入ABC，，三个空邮箱，则A邮箱的信件数的数学期望111213212223313233aaaaaaaaa

E ．

16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意aA，都有aa；

（2）对称性：对于abA，，若ab，则有ba；

（3）传递性：对于abcA，，，若ab，bc，则有ac．

则称“”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在ABC△中，1tan4A，3tan5B．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若ABC△最大边的边长为17，求最小边的边长．

18．（本小题满分12分）

如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为

2，D为1CC中点．

（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；

（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；

（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．

19．（本小题满分12分）

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（35a≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911x≤≤）时，一年的销售量为2(12)x万件．

（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值()Qa．

20．（本小题满分12分）如图，已知点(10)F，，

直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线

l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ．

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； A

B C

D 1A

1C

1B

O y

x 1 1 l

F （Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M，已知1MAAF，2MBBF，求12的值；

21．（本小题满分12分）

等差数列{}na的前n项和为1312932nSaS，，．

（Ⅰ）求数列{}na的通项na与前n项和nS；

（Ⅱ）设()nnSbnnN，求证：数列{}nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

22．（本小题满分14分）

已知函数()exfxkxxR，

（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；

（Ⅲ）设函数()()()Fxfxfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnnN．

福建数学试题

（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．

1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B

11．B 12．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

13．[57]， 14．21 15．23

16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．

解：（Ⅰ）π()CAB，

1345tantan()113145CAB．

又0πC，3π4C．

（Ⅱ）34C，

AB边最大，即17AB．

又tantan0ABAB，，，，

角A最小，BC边为最小边．

由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，

得17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABC．

所以，最小边2BC．

18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分．

解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

ABC△为正三角形，AOBC⊥．

正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，

AO⊥平面11BCCB．

连结1BO，在正方形11BBCC中，OD，分别为

1BCCC，的中点， A

B C

D 1A

1C

1B O F 1BOBD⊥，

1ABBD⊥．

在正方形11ABBA中，11ABAB⊥，

1AB⊥平面1ABD．

（Ⅱ）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD⊥于F，连结AF，由（Ⅰ）得1AB⊥平面1ABD．

1AFAD⊥，

AFG∠为二面角1AADB的平面角．

在1AAD△中，由等面积法可求得455AF，

又1122AGAB，

210sin4455AGAFGAF∠．

所以二面角1AADB的大小为10arcsin4．

（Ⅲ）1ABD△中，1115226ABDBDADABS△，，，1BCDS△．

在正三棱柱中，1A到平面11BCCB的距离为3．

设点C到平面1ABD的距离为d．

由11ABCDCABDVV得111333BCDABDSSd△△，

1322BCDABDSdS△△．

点C到平面1ABD的距离为22．

解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

ABC△为正三角形，AOBC⊥． 在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC⊥平面11BCCB，

AD⊥平面11BCCB．

取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B，，，(110)D，，，1(023)A，，，(003)A，，，1(120)B，，，

1(123)AB，，，(210)BD，，，1(123)BA，，．

12200ABBD，111430ABBA，

1ABBD⊥，11ABBA⊥．

1AB⊥平面1ABD．

（Ⅱ）设平面1AAD的法向量为()xyz，，n．

(113)AD，，，1(020)AA，，．

AD⊥n，1AA⊥n，

100ADAA，，nn3020xyzy，，03yxz，．

令1z得(301)，，n为平面1AAD的一个法向量．

由（Ⅰ）知1AB⊥平面1ABD，

1AB为平面1ABD的法向量．

cosn，1113364222ABABABnn．

二面角1AADB的大小为6arccos4．

（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1ABD法向量，

1(200)(123)BCAB，，，，，．

点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB． x z

A

B C

D 1A

1C

1B O F

y