2019级厦门海沧实验中学高一正余弦定理练习附有答案详解- (1)
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试卷第7页，总7页 2019级厦门海沧实验中学高一正余弦定理练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－14，则bc=
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得2224abc，由余弦定理推论可得
22222141313cos,,,464224242bcacccbAbcbcbc，故选A．
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
2．已知△ABC中，sinsinsincbAcaCB，则B=( )
A．6 B．4 C．3 D．34
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知条件利用正弦定理角化边,变形后再利用余弦定理可解得.
【详解】
因为sinsinsincbAcaCB,利用正弦定理角化边得cbacacb,
所以()()()cbcbaca,
所以222cbaca,
所以222acbac,
试卷第2页，总7页 所以222122acbac,
根据余弦定理可得2221cos22acbBac,
因为0B,所以3B.
故选C.
【点睛】
本题考查了正弦定理角化边和余弦定理,属于中档题.
3．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若::1:1:4ABC，则::abc（ ）
A．1:1:2 B．1:1:2 C．1:1:5 D．1:1:3
【答案】D
【解析】
【分析】
由角度比例关系，可以算出每个角度，再根据正弦定理的推论，即可求得边长之比.
【详解】
因为::1:1:4ABC，故可得2,63ABC，
故可得113113222sinAsinBsinC：：：：：：
由正弦定理可得113abcsinAsinBsinC：：：：：：.
故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理的推论，属基本知识点的考查.
4．在ABC中，角,,ABC的对边分别为a，b，c．若ABC为锐角三角形，且满足sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是（ ）
A．2ab B．2ba C．2AB D．2BA
【答案】A
【解析】
sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC
所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选A.
试卷第7页，总7页 【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
5．设在ABC中,角,ABC，所对的边分别为,abc，, 若coscossinbCcBaA,
则ABC的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得2sinsinBCA，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin1,2AA，从而可得结果.
【详解】
因为coscossinbCcBaA，
所以由正弦定理可得2sincossincossinBCCBA，
22sinsinsinsinBCAAA，
所以sin1,2AA，所以是直角三角形.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6．在锐角三角形ABC中, ,,abc分别是角,,ABC的对边,
23abcacbac,则cossinAC的取值范围为( )
A．3,32 B．33,22 C．3,32 D．3,32
【答案】B
【解析】
分析：由已知求出B，然后可把cossinAC化为一个角的一个三角函数，再由正弦函
试卷第2页，总7页 数的性质得取值范围.
详解：由()()(23)abcacbac得22()(23)acbac，
即2223acbbc，∴2223cos22acbBac，∴6B，从而56CA，
∴5cossincossin()6ACAA55cossincoscossin66AAA
33cossin3sin()223AAA，
又50,0262AA，∴32A，
∴25336A，13sin()262A，∴333sin()232A.
故选B.
点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题，一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即()sin()fxAx的形式，其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等，掌握这些公式是解题的基础.
7．在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边,若sin3cos0bAaB,且2bac，则acb的值为( )
A．2 B．2 C．22 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理，化简求得sin3cos0BB，解得3B，再由余弦定理，求得224bac，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC中，因为sin3cos0bAaB,且2bac，
由正弦定理得sinsin3sincos0BAAB，
因为(0,)A，则sin0A，
所以sin3cos0BB，即tan3B，解得3B，
试卷第7页，总7页 由余弦定理得222222222cos()3()3bacacBacacacacacb，
即224bac，解得2acb，故选A．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
8．ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sincsin()sinaACabB，4c，则ABC面积的最大值为（ ）
A．23 B．4 C．43 D．83
【答案】C
【解析】
【分析】
通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小，进而利用余弦定理可求ab≤9，利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
∵sinsinsinaAcCabB，
由正弦定理abcsinAsinBsinC，得a2＝（a﹣b）b+c2，
即a2+b2﹣c2＝ab．①
由余弦定理得cosC222122abcab，
结合0＜C＜π，得C3．
∵c＝4，
∴由余弦定理可得：16＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b等号成立，
∴S△ABC1131643222absinC，即△ABC面积的最大值为43．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理与余弦定理的应用，考查了重要不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
试卷第2页，总7页
二、解答题
9．已知,,abc分别是ABC内角,,ABC的对边， 2sin2sinsinBAC．
（1）若ab，求cos;B
（2）若90B，且2,a求ABC的面积．
【答案】（1）14；（2）1
【解析】
试题分析：（1）由2sin2sinsinBAC，结合正弦定理可得：22bac，再利用余弦定理即可得出cos;B
（2）利用（1）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22bac
又ab，可得2,2bcac
由余弦定理可得2221cos24acbBac
（2）由（1）知22bac
因为90B，由勾股定理得222acb
故222acac，得2ca
所以的面积为1
考点：正弦定理，余弦定理解三角形
10．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,abc已知sin3cos0,27,2AAab.
（1）求角A和边长c；
试卷第7页，总7页 （2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积.
【答案】（1）23，4；（2）3.
【解析】
试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan3A 从而可得A的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC，求出CD的长，可得12CDBC，从而得到12ABDABCSS，进而可得结果.
试题解析：（1）sin3cos0,tan3AAA，20,3AA，由余弦定理可得2222cosabcbcA，即21284222cc，即22240cc，解得6c（舍去）或4c，故4c.
(2)2222coscbaabC，162842272cosC，22cos,72cos77ACCCDC，12CDBC，1134223222ABCSABACsinBAC，132ABDABCSS.
