2013届第二次模拟考试(数一)
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∑ 则当 n
→ ∞ 时， Yn
=
1 n
n i =1
X
2 i
依概率收敛于
.
三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.)
数学（一）试题 第2 2 页 （共 4 页）
(15) (本题满分 10 分)
设 z = z(x, y) 是由 x2 − 6xy + 10 y 2 − 2 yz − z 2 + 18 = 0 确定的函数，求 z = z(x, y) 的
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
−12 ⎞
−24
⎟ ⎟
.
−12 ⎟⎠
(I) 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得标准形； (II) 求出该二次型.
(22) (本题满分 11 分)
汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A, B, C 同时进入该加油站.假设第一、二辆
车 A, B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C 加油.假设各辆车加油
极值点和极值.
(16) (本题满分 10 分)
设 y = y(x) 是区间 (−π ,π ) 内过点 (− π , π ) 的光滑曲线，当 −π < x < 0 时，曲线上 22
任一点处的法线都过原点；当 0 ≤ x < π 时，函数 y(x) 满足 y′′ + y + x = 0 .求函数 y(x) 的
姓 名（ ）
联 系 方 式 （ ） 本科院校专业（ ） 目标院校专业 （ ）
(13) 四元非齐次线性方程组 Ax = b 的三个解是α1,α2 ,α3 ，其中α1 = (1,1,1,1)T ,
α2 + α3 = (2, 3, 4, 5)T ，如 r( A) = 3 ，则方程组 Ax = b 的通解为
.
(14) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， X1, X 2 ,L, X n 为来自总体 X 的简单随机样本，
(B) α1,α2 ,α3 线性无关.
(C) α1,α2 ,α3 线性相关，α1,α2 线性无关. (D) r(α1,α2 ,α3 ) = r(α1,α2 ) .
(7) 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ，其概率密度为 f ( x) .若 X 与 −2X 有相同的
分布函数，则
(A) F ( x) = F (−2x) .
X 与 S 2 .若 E ( X ) = μ, D ( X ) = σ 2 ，记 Yi = Xi − X .求
(I) Yi 与 Yj (i ≠ j) 的相关系数；
(II) 若 c (Y1 + Yn )2 是σ 2 的无偏估计量，求常数 c .
数学（一）试题 第4 4 页 （共 4 页）
表达式.
(17) (本题满分 10 分)
证明：(I)设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域U ( x0 ) 内有定义，并且在 x0 处可导，如果对任
意的 x ∈U ( x0 ) ，有 f ( x) ≤ f ( x0 ) ，那么 f ′( x0 ) = 0 ；
(II)设函数
f
(x)
在[a,b]
可导，
(C) ln(1+ x3) − ln(1− x3) .
(2) 下列命题中正确的是
∫ (D) 1−cos x sin t 2 dt . 0
(A) 若函数 f (x) 在[a,b] 上可积，则 f (x) 必有原函数.
()
b
∫ (B) 若函数 f (x) 在 (a,b) 上连续，则 f (x)dx 必存在. a
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)
(1) 当 x → 0 时，下面 4 个无穷小量中阶数最高的是
()
(A) 1+ x2 − 1− x2 .
(B) 4x2 + 5x3 + x5 .
绝密★启用前
2 0 1 3 海文全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）
(科目代码：301)
考生注意事项
1. 答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。 2. 答案必须写在答题纸指定位置上，写在其他地方无效。 3. 填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。 4. 考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。
()
(B) E( X 2 ) − [E( X )]2 = E(Y 2 ) − [E(Y )]2 .
(C) E( X 2 ) = E(Y 2 ).
(D) E( X 2 ) + [E( X )]2 = E(Y 2 ) + [E(Y )]2 .
二、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上.)
b1
y
+
c1
= 0, a2 x + b2 y + c2
=0，
⎜⎝ a3 ⎟⎠
⎜⎝ b3 ⎟⎠
⎜⎝ c3 ⎟⎠
a3x + b3 y + c3 = 0 (其中 ai2 + bi2 ≠ 0, i = 1, 2, 3 )交于一点的充要条件是
()
数学（一）试题 第1 1 页 （共 4 页）
(A) α1,α2 ,α3 线性相关.
数学（一）试题 第3 3 页 （共 4 页）
(21) (本题满分 11 分)
( ) 已知实二次型 f (x1, x2 , x3 ) = xT Ax 的矩阵 A = aij 满足 a11 + a22 + a33 = −6, AB = C ，
⎛1
其中
B
=
⎜ ⎜
0
⎜⎝ −1
1⎞ ⎛0
2 1
⎟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⎟⎟⎠
,
C
所需时间是相互独立且都服从参数为 λ (λ > 0) 的指数分布.求
(I) 第三辆车 C 在加油站等待加油时间T 的概率密度 fT (t ) ； (II) 第三辆车 C 在加油站度过时间 S 的概率密度 fS ( s) .
(23) (本题满分 11 分)
已知 X1, X 2 ,L, X n 是容量为 n 的来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为
f
′
+
(
a
)
>
0,
f
′
−
(
b
)
<
0
，则
f
′( x) 在 (a,b) 内有零点.
(18) (本题满分 10 分)
∑∞
求级数
1 的和.
n=2 (n2 −1)2n
(19) (本题满分 10 分) 利用高斯公式计算曲面积分
∫∫ (x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ )dS
Σ
其中 Σ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于平面 z = 0 及 z = h(h > 0) 之间的部分的下侧，cosα , cos β ,
b
a f (x)dx ，S2 = f (b)(b − a) ，
S3
=
1[ 2
f
(a) +
f
(b)](b − a) ，则
()
(A) S1 < S2 < S3 .
(B) S2 < S1 < S3 .
(C) S3 < S1 < S2 .
(D) S2 < S3 < S1 .
{ } (4) 设区域 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 ， f (x) 为 D 上的正值连续函数，a,b 为常
cosγ 是 Σ 在点 (x, y, z) 处的法向量的方向余弦.
(20) (本题满分 11 分)
设 A, B 为 n 阶矩阵， r( A) + r(B) < n .证明：
(I) λ = 0 为 A, B 相同的特征值； (II) Ax = 0 与 Bx = 0 的基础解系组成的向量组线性相关； (III) Ax = 0 与 Bx = 0 有非零的公共解.
(B)
F
(
x
)
=
F
⎛ ⎜⎝
−
x 2
⎞ ⎟⎠
.
()
(C) f ( x) = f (−2x) .
(D)
f
(x)
=
1 2
f
⎛ ⎜⎝
−
x 2
⎞ ⎟⎠
.
(8) 设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从二维正态分布，则随机变量ξ = X + Y 与η = X − Y 独立
的充分必要条件为
(A) E( X ) = E(Y ).
数，则 I = ∫∫ a D
f (x) + b f ( y) dσ ＝ f (x) + f (y)
()
(A) abπ .
(B) ab π . 2
(C) (a + b)π .
(D) a + b π . 2
⎛ 1 0 2 0⎞
(5)
设矩阵
A
=
⎜ ⎜ ⎜
0 −1
−2 0
0 1
0 0
⎟ ⎟ ⎟
，矩阵
B
满足
B
∫ ( ) (9) 极限 lim 1 x 1+ t2 et2 −x2 dt = x x→∞ 0
.
∫ (10) 设 L 为正向圆周 x2 + y 2 = 2 在第一象限中的部分，则曲线积分 xdy − 2 ydx 的值 L
