电磁场30分钟计算题练习

计算题练习1

1. 如图所示,质量为M的导体棒ab,垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上,导轨平面与水平面的夹角为θ,并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,左侧是水平放置、间距为d的平行金属板.R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值,不计其他电阻.

(1)调节Rx=R,释放导体棒,当棒沿导轨匀速下滑时,求通过棒的电流I及棒的速率v.

(2)改变Rx,待棒沿导轨再次匀速下滑后,将质量为m、带电量为+q的微粒水平射入金属板间,若它能

匀速通过,求此时的Rx.

（1）当Rx=R时，棒沿导轨匀速下滑时，由平衡条件sinMgF

安培力FBIl 解得sinMgIBl

ab切割产生的感应电动势EBlv 由闭合欧姆定律得回路中电流2EIR 解得 222sinMgRvBl

（2）微粒水平射入金属板间，能匀速通过，由平衡条件Umgqd棒沿导轨匀速，由平衡条件1sinMgBIl

金属板间电压1xUIR 解得sinxmldBRMq

2.如图所示，质量m1=0.1kg，电阻R1=0.3Ω，长度l=0.4m的导体棒ab横放在U型金属框架上。框架质量m2=0.2kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，相距0.4m的MM’、NN’相互平行，电阻不计且足够长。电阻R2=0.1Ω的MN垂直于MM’。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。垂直于ab施加F=2N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM’、NN’保持良好接触，当ab运动到某处时，框架开始运动。设框架与水平面

间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2.

(1)求框架开始运动时ab速度v的大小；

(2)从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生的热量Q=0.1J，求该过程ab位移x的大小。

（1）ab对框架的压力11Fmg ① 框架受水平面的支持力21NFmgF ②

依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力2NFF ③

ab中的感应电动势EBlv ④ MN中电流12EIRR ⑤ MN受到的安培力FIlB安 ⑥

框架开始运动时2FF安 ⑦ 由上述各式代入数据解得6/vms ⑧

（2）闭合回路中产生的总热量122RRQQR总 ⑨ 由能量守恒定律，得2112FxmvQ总 ⑩

代入数据解得1.1xm 3.在如图所示的竖直平面内,水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r=449m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点,GH与水平面的夹角θ=37°。过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度B=1.25T;过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场,电场方向水平向右,电场强度E=1×104N/C。小物体P1质量m=2×10-3kg、电荷量q=+8×10-6C,受到水平向右的推力F=9.98×10-3N的作用,沿CD向右做匀速直线运动,到达D点后撤去推力。当P1到达倾斜轨道底端G点时,不带电的小物体P2在GH顶端静止释放,经过时间t=0.1s与P1相遇。P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ=0.5,取g=10m/s2,物体电荷量保持不变,不计空气阻力。求:

(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小;

(2)倾斜轨道GH的长度s。

【解析】(1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v,受到向上的洛伦兹力为F1,受到的摩擦力为f,则 F1=qvB ① f=μ(mg-F1) ②

由题意知,水平方向的合力为零F-f=0 ③ 联立①②③式,代入数据解得v=4m/s。

(2)设P1在G点的速度大小为vG,由于洛伦兹力不做功,根据动能定理知

222121)cos1(sinmvmvmgrqErG④

P1在GH上运动,受到重力、电场力和摩擦力的作用,设加速度为a1,根据牛顿第二定律

qEcosθ-mgsinθ-μ(mgcosθ+qEsinθ)=ma1 ⑤

P1与P2在GH上相遇时,设P1在GH上的运动距离为s1,则 21121tatvsG⑥

设P2质量为m2,在GH上运动的加速度为a2,则 m2gsinθ-μm2gcosθ=m2a2 ⑦

P1与P2在GH上相遇时,设P2在GH上运动的距离为s2,则 22221tas⑧

联立④～⑧式,代入数据解得s=s1+s2=0.56m。

4.如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻。导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触。斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场。现对a棒施以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止。当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨。当a棒再次滑回到磁场边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动。已知a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，b棒的质量为m，重力加速度为g，导轨电阻不计。求

（1） a棒在磁场中沿导轨向上运动的过程中，a棒中的电流强度I，

与定值电阻R中的电流强度IR之比；

（2）a棒质量ma;

（3）a棒在磁场中沿导轨向上运动时所受的拉力F。

（1）由于a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，由等效电路可得RbIII ① 且Ib=IR ②

因此有12RII

③ （2）由于a棒继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动过程中机械能守恒，a棒离开磁场的速度与下滑时匀速速度大小相等， 有E=BLV ④ a棒上滑时

REIb232 ⑤

由受力分析得sinmgLBIb ⑥ a棒下滑时REIa2 ⑦singmLBIaa ⑧

联立④⑤⑥⑦⑧解得23mma

(3)由受力分析，并代入数据联立求解 可得a棒上滑时sin27sinmggmBILFa

4.如图,水平面内有一光滑金属导轨,其MN、PQ边的电阻不计,MP边的电阻阻值R=1.5Ω,MN与MP的夹角为135°,PQ与MP垂直,MP边长度小于1m。将质量m=2kg,电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上,并与MP平行。棒与MN、PQ交点G、H间的距离L=4m。空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度B=0.5T。在外力作用下,棒由GH处以一定的初速度向左做直线运动,运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等。

(1)若初速度v1=3m/s,求棒在GH处所受的安培力大小FA。

(2)若初速度v2=1.5m/s,求棒向左移动距离2m到达EF所需时间Δt。

(3)在棒由GH处向左移动2m到达EF处的过程中,外力做功W=7J,

求初速度v3。

【解析】(1)棒在GH处速度为v1=3m/s,则E=BLv1,

而REI、FA=BIL,解得NRvLBFA8122。

(2)设棒移动距离为a(a=2m),由几何关系知EF间距也为a,磁通量变化ΔΦ=12a(a+L)B。

题设运动时回路中电流保持不变,即感应电动势不变,有E=BLv2, 因此1a(aL)B2Ett,

解得sLvLaat12)(2。

(3)设克服安培力做功为WA,导体棒在EF处的速度为v′3。[来源:学|科|网Z|X|X|K]

由动能定理W-WA=ΔEk 得23232121mvvmWWA。 克服安培力做功tRIWA23,

式中RBLvI33, t32)(LvLaa, 代入tRIWA23得RLvBLaaWA2)(32。

由于电流始终不变,有Bav′3=BLv3, 因此232232)1(212)(vaLmRLvBLaaW。

代入数值得2333v4v70, 解得v3=1m/s或v3=-73m/s(舍去)。

(选作).导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识。如图所示,固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中,金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下,在导线框上以速度v做匀速运动,速度v与恒力F方向相同,导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知导线MN电阻为R,其长度L恰好等于平行轨道间距,磁场的磁感应强度为B。忽略摩擦阻力和导线框的电阻。

(1)通过公式推导验证:在Δt时间内,F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W电,也等于导线MN中产生的焦耳热Q;

(2)若导线MN的质量m=8.0g,长度L=0.10m,感应电流I=1.0A,假设一个原子贡献1个自由电子,计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率ve(下表中列出一些你可能会用到的数据);

(3)经典物理学认为,金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子(即金属原子失去电子后的剩余部分)的碰撞。展开你想象的翅膀,给出一个合理的自由电子的运动模型;在此基础上,求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力 的表达式。

【解析】(1)E=BLv I= RE 可得F=ILB=RvLB22 力F做功W=FΔx=FvΔt 将F代入得到W=RvLB222Δt

电能为W电=EIΔt=RvLB222Δt 产生的焦耳热为Q=I2RΔt=RvLB222Δt[来源:Z 由此可见W=W电=Q

(2)总电子数N=NAm 单位体积内电子数为n,所以N=nSL,故有I=enSve 所以有ve=AemNIL =7.8×10-6m/s

(3)从微观层面看,导线中的自由电子与金属离子发生的碰撞可以看作非完全弹性碰撞,碰撞后自由电子损失动能,损失的动能转化为焦耳热。从整体上来看,可以视为金属离子对自由电子整体运动的平均阻力导致自由电子动能的损失,即W损=LfN

从宏观方面看,力F对导线MN做功,而导线的速度不变,即导线的动能不变,所以力F做功完全转化为焦耳热。 阿伏加德罗常数NA 6.0×1023mol-1

元电荷e 1.6×10-19C

导线MN的摩尔质量μ 6.0×10-2kg/mol Δt时间内,力F做功ΔW=FvΔt 又ΔW=W损 即FvΔt=LfN FvΔt=nSveΔtfL fe1

代入I=enSve,得Fv=Lfe1 代入F=RvLB22,I=RBLv,得f=eBv

计算题练习2

1.如图所示,两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ=30°的斜面上,导轨电阻不计,间距L=0.4m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ,两区域的边界与斜面的交线为MN,Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下,Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上,两磁场的磁感应强度大小均为B=0.5T。在区域Ⅰ中,将质量m1=0.1kg,电阻R1=0.1Ω的金属条ab放在导轨上,ab刚好不下滑。然后,在区域Ⅱ中将质量m2=0.4kg,电阻R2=0.1Ω的光滑导体棒cd置于导轨上,由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中,ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触,取g=10m/s2。问