平方根 教学设计(一)
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平方根 教学设计（一）
教学设计思想：
平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，这是两节课的主要教学目标.在教学设计中，力求在以下两方面突出特点：
1．引导学生建立清晰的概念系统，首先在第1课进要求学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示法；其次在第2课时专门讨论算术平方根的概念及其表示.对于a表示a的算术平方根的条件是，被开方数a表示非负数，而a本身也表示非负数，因此在教学中不能要求学生死记硬背，要向学生说明规定的合理性.为此，提出算术平方根的一种几何解释，即面积为a的正方形(a为正数)，它的边长为a(a也是正数)，从而直观、形象地说明了算术平方根约定的合理性.
2．编选了有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中.
教学目标：
知识与技能：
1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。
2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。
3．知道a表示的是非负数a的平方根。
过程与方法：
1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；
2．在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系．
情感态度价值观：
进一步感受到所学数学知识之间的内在联系．
教学重难点：
重点：平方根和算术平方根的概念和求法.
难点：弄清平方根与算术平方根的意义 教学方法：
探究学习
课时安排
2课时
教学用具
多媒体
教学过程：
第一课时
一、引入
我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如个面积为 50 平方米的正方形展厅，它的边长应是多少?解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方.这节课我们就要学习开方运算和平方根.
二、大家谈谈
（1）计算:42，(－4)2； 23()5，23()5；(10)2，(-10)2 02
（2）如果x2=16，则x等于多少？
因为42=16所以x=4；又因为(－4)2=16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2=16.
因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根.
一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根).就是说，如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.
比如100的平方根是10与－10.因为(±10)2=100,所以10与－10是100的平方根.
你能说出49，144的平方根吗？
三、一起探究
1．当一个正数和一个负数互为相反数时，它们的平方有什么关系？
2．正数有平方根吗？如果有，有几个？它们的有什么关系？
3．0有平方根吗？如果有，它是什么数？
4．负数有平方根吗？
学生独自思考，通过具体实例弄懂上述问题，然后总结出：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根。
一个正数 a 的正的平方根， 用符号“a” 表示，a 叫做被开方数，2 叫做根指数。正数a 的负的平方根，用符号“－ a”表示。这两个平方根合起来可以记作“±a”。这里，符号“a”读作“二次根式”，±a读作“二次根号 a”。根指数是 2 时，通常将这个 2 省略不写，如，2a记作a，读作“根号 a”；±2a记作±a，读作“正、负根号 a ”。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
例１．求下列各数的平方根：
（１）8； （２）36121；（３）0.64； （４）2)6.2(
解：（１）因为 2(9)81，
所以 144的平方根是±19．
即 819．
（２）因为 2636()11121，
所以 36121的平方根是±611．
即 36612111．
（３）因为 64.0)8.0(2，
所以 0.64的平方根是±0.8．
即 8.064.0．
（4）6.276.6)6.2(2．
四、巩固练习
1．下列各式中哪些有意义哪些？哪些无意义？
(1)5；(2)－2；(3)4；(4)2)3(；(5)310.
2．判断下列各题正确与错误，并将错误改正.
(1)231=31； (2)|－9|没有平方根；
(3)16=4； (4)2)2(=－2；
(5) 2)3(=－3； (6)232=32；
(7)2101的平方根是101； (8)－52是254的算术平方根； (9)－(－32)是94的算术平方根； (10)－43是169的一个平方根.
3．还应下列各数的平方根及算术平方根；
(1)10,000; (2)7.29; (3)289121; (4)12511.
4．求下列各式的值：
(1)1; (2)－94; (3)21.1; (4)－232.
五、小结
这一节课的主要内容是：开方与平方逆运算；平方根的定义；平方根的性质；平方根的符号表示与读法；开平方运算。
六、板书设计
平方根
一、平方根 表示方法 二、开平方
引例
定义 例题
性质
第二课时
一、复习引入：
问：1．625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？
2．－7和7是哪个数的平方根？
3．正数m的平方根怎样表示？
4．下列各数的平方根各是什么？
(1)64；(2)0； (3)(－0.4)2； (4)2321；(5)－16；(6)(－4)3.
答：
1．625的平方根是25和－25，这两个平方根的和是0.
2．－7和7是49的平方根.
3．正数m的平方根表示为m.
4．(1)64的平方根是64=8.
(2)0的平方根是0. (3)因为(－0.4)2=0.16，所以它的平方根是16.0=0.4.
(4)因为2321=235=925，所以2321的平方根是925=35.
(5)因为－16<0,所以－16没有平方根.
(6)因为(－4)3=－16<0,所以(－4)3没有平方根.
问：已知正方形的面积等于a,那么它的一条边长等于多少？
答：设正方形的一条边长为x，则x2=a,根据平方根的定义，x=a.因为正方形的边长是正数，所以正方形边长为a.
二、讲解新课
正数a有两个平方根(表示为a)，我们把其中正的平方根，叫做a的算术平方根，表示为a.
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即0=0.
用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义，如图所示，面积为a(a应是非负数)、边长为a的正方形，边长a就表示a的算术平方根.
“”是算术平方根的符号，a就表示a的算术平方根. a的意义有两点：
(1) 被开方数a表示非负数，即a≥0;
(2) a也表示非负数，即a≥0.也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根，即a<0时，a无意义.
如9=3，8是64的算术平方根，6无意义.
这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根. a a 例如9既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根.
三、例题精选
例1 求下列各数的算术平方根：
(1)36； (2)0.01； (3) 449；（4）（-16）2；.
解：(1)因为 62=36，
所以 36的算术平方根是6，
即366.
(2) 因为 (0.1)2=0.01,，
所以 0.01的算术平方根是0.1，
即0.010.1.
(3) 因为 224749
所以 449的算术平方根是27，
即42497.
(4) 因为 (-16)2=162,
所以 (-16)2的算术平方根是16，
即2(-16)16.
注意：100的平方根是10和－10，而其算术平方根是10.
例2 求下列各式的值：
(1)1.69； (2)625；
(3)25121； (4)2(17)；
分析：只要求的一个正数的算术平方根，那么这个数的负的平方根就是它的算术平方根的相反数。
解：(1) 因为1.32=1.69，
所以 1.69=1.3.
(2) 因为252=625， 所以 625=－25.
(3) 因为12125)115(2，
所以 11512125.
(4) 因为(-17)2=172，
所以 2(17)=－17.
注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，a≥0(当a<0时，a无意义).
四、随堂练习:
1．课后练习1，2
2．求下列各式的值：
(1)1; (2)－94; (3)21.1; (4)－232.
五、小结
平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念，全面掌握它，就必须分清它们的区别，认清它们之间的联系.
1．平方根和算术平方根的区别.
（1）定义不同.如果x2 =a,那么x叫做a的平方根.
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.
如果x2 =a,并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根.
一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数.
（2）表示方法不同.正数a的平方根，表示为a.正数a的算术平方根为a.
（3）平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1.
2．平方根和算术平方根的联系.
(1)二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个.
(2)存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根.
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零.
