函数的连续性及极限的
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第四节函数的连续性及极限的应用 1•函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=Xo处有定义，lim f(x) X Xo
存在，且Xini f(x)=f(xo)，那么函数f(x)在点x=xo处连续.
2.•函数f(x)在点x=xo处连续必须满足下面三个条件. (1) 函数f(x)在点x=xo处有定义； (2) linx f(x)存在； X xo
(3) lim f(x)=f(xo),即函数f(x)在点xo处的极限值等于这一点的函 x xo
数值.
如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数f(x)在点xo处 不连续•那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算：
① 若 f(x) , g(x)都在点 Xo 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点xo处连续。 g(x)
② 若u(x)都在点Xo处连续，且f(u)在uo=u(xo)处连续，则复合函数
f[u(x)]在点Xo处连续。
4•函数f(x)在(a, b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a, b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a, b)内连续，或f(x)是开区间(a, b)内的连续函数. f(x)在开区间(a, b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函 数f(x)的定义域是]a, b],若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在 并且等于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于 f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点 处左极限存在等于f(b). 5•函数f(x)在［a, b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)， x a
在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连
x b
续，或f(x)是闭区间］a, b］ 上的连续函数.
6. 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］ 上有最大值和最小值• 7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的 联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、问题讨论 •点击双基 1. _________________________________________________ f (x)在x=xo处连续是f (x)在x=Xo处有定义的 ____________________ 条 件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又 不必要 解析：f (x)在x=xo处有定义不一定连续. 答案：A n cos— 2. f (x) =―x的不连续点为
n cos— x
A.x=0 B. x= — (k=0,士 1,士 2,…) 2k 1
C. x=0 和 x=2kn( k=0, 士 1, 士 2,…)
D. x=0 和 x=—(k=0, 士 1, 士 2,…) 2k 1
解析：由 cosn =0,得上二k n + 上(k € Z)，二 x=^^(k Z). x x 2 2k 1
又x=0也不是连续点，故选D
答案：D 3•下列图象表示的函数在x=xo处连续的是
D.③④ 答案：A 4.四个函数：①f (x)=-;②g (x)二sinx;③f x
=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是 ______ 正确的代号都填上)
A.① O x> ② y
O xo x O x0 ③B.②③ ④ C.①④
(x) =|x|;④f (x) .(把你认为 答案：②③④ 例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性 1 ex 1
(1)f(x) — (x °)，点 x=0;
ex 1 1 (x 0) f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。
(2) V lim f (x) lim (x2 2) 3, lim f (x) lim (x 4) 3, f ( 1) 3, x 1 x 1 x 1 x 1 「•lim f(x) 3 f( 1)，因此函数f(x)在x= — 1处连续。 x 1
【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续(闭区 间的端
点例外)。 例2.(优化P208例1) 1 (x>0) (1讨论函数f(x)= 0 (x=0),在点x 0处的连续性
-1 (x<0)
(2)讨论函数f(x)= △在区问0,3上的连续性
x-3
剖析：(1)需判断 lim f (x) = lim f (x) =f (0). x 0 x 0
(2)需判断f(乂)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续，在
x=3处左连续.
(2)f(x) x2 2 x 4 :：11)，点 x=-1
解：(1)当XT °-时，丄 x
1 丄 J 1
,lim ex °
，因此 lim = — 1,
x 0 x 0 - ex 1
而lim
x 0 -1 ---------
= lim (1
x 0 ex 1
— )=1, lim f (x) lim f (x),
ex 1 解:(1)^ lim f (x) = — 1, lim f (x) =1, x 0 x 0
lim f (X)M lim f (x), x 0 x 0 二lim f ( X)不存在.「• f (X)在x=0处不连续. x 0
(2)v f (x)在x=3处无定义，
••• f (x)在x=3处不连续. ••• f (x)在区间［0,3］上不连续.
2 彳 练习：讨论函数f(x) - 4的连续性；适当定义某点的函数值，使f(x)
x 2
在区间(一3,3)内连续。 解：显然函数的定义域为(，2) (2,)，当x 2时，f(x) x 2 , 二f(x)在(,2)上连续，在(2,)上连续。而f(x)在x 2处不连续。 x2 4 又 T lim lim (x 2) 4，不妨设 f (2) 4 , x 2 x 2 x 2
于是f(x)
x2 4
x 2 (x 2)此时，f(x)在区间(一3,3)内连续。 4 (x 2) 例3.(优化P208例2) 当a为何值时,函数f（x）
解:lim f（ x） = lim （ a+X）=a, lim f（ X）= lim b=1,而 f（ 0） =a, x 0 x 0 x 0 x 0 故当a=1时,
即说明函数f (x)在x=0处连续，而在XM 0时,f (x)显然连续, 于是我们可判断当a=1时,
f (X)在(一x ,+x)内是连续的. 评述：分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右 极限，进而断定连续性.
例4•如图，在大沙漠上进行勘测工作时，先选定一点作为坐标原点，然后采用如
下方法:从原点出发，在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位 后,向左转900,前进ar
(0
进ar2个单位,…….,如此连续下去 (1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系 且可以断定此小分队的行动与原定方案相同，则大本营在何处寻找 小分队? (2)若其中的r为变量，且0
设函数f（x）= e （x 0）
ax （x 0）
是连续的
lim f（x）=f（0）, x 0 线上？ 备用： 例题： 利用连续函数的图象特征，判断方程： 2x3 5x 1 0
是否存在 实数
根。
解：设 f(x) 2x3 5x 1，则 f(x)在 R上连续，又 f(0) 1,f( 3) 38 0
,
因此在 [ －3， 0] 内必存在点 x0 使得 f (x0) 0 ，所以 x0 是方程 2x3 5x 1 0
的一
个实数根，因此方程 2x3 5x 1 0
有实根。
【思维点拨】要判断方程是否有实根， 即判断对应的连续函数 y f(x) 的图象是否与 x 轴有交点。
五、小结 1.函数f(x)在x=Xo处连续必须具备三个条件：I)函数f(x)在x=Xo
处及其附近有定义；H)函数f(x)在x=xo处有极限；皿)函数f(x) 在x=Xo处的极限值等于这一点处的函数值 f(Xo)。 2．如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上是连续函数，那么函数 f(x) 在闭 区间 [a,b] 上有最大值和最小值。
六、课后作业：
