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高等数学试题讲解与分析

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专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 1 第一讲：函数与数列的极限的

强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与yx为同一函数的是（ ）

2.Ayx 2.Byx

ln.xCye .lnxDye

解：lnlnxyexex，且定义域,， ∴选D

2．已知是f的反函数，则2fx的反函数是（ ） 1.2Ayx .2Byx 1.22Cyx .22Dyx 解:令2,yfx反解出x：1,2xy互换x，y位置得反函数12yx，选A 3．设fx在,有定义，则下列函数为奇函数的是（ ） .Ayfxfx.Byxfxfx 32.Cyxfx .Dyfxfx 解：32yxfx的定义域,且3232yxxfxxfxyx∴选C 4．下列函数在,内无界的是（ ） 21.1Ayx .arctanByx .sincosCyxx .sinDyxx 解: 排除法：A 21122xxxx有界，Barctan2x有界，C sincos2xx 故选D 5．数列nx有界是limnnx存在的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：nx收敛时，数列nx有界（即

nxM

），反之不成立，（如11n有界，

但不收敛， 选A

6．当n时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （ ） A 12 B 1 C 2 D -2

解：2211sinlimlim111nnkknnnn，2k 选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设11fxx，则ffx的定义域为

解： ∵ffx111111fxx 专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 2 112xxx

∴ffx定义域为 (,2)(2,1)(1,) 8．设2(2)1,fxx 则(1)fx 解：（1）令22,45xtfttt 245fxxx

（2）221(1)4(1)5610fxxxxx 9．函数44loglog2yx的反函数是 解：（1）4log(2)yx，反解出x：214yx （2）互换,xy位置，得反函数214xy 10．lim12nnnn

解：原式33lim212nnnn有理化 11．若105lim1,knnen 则k 解：左式=5lim()510nknkneee 故2k

12．2352limsin53nnnn= 解：当n时，2sinn～2n ∴原式=2532lim53nnnn= 65 三、计算题（每小题8分，共64分） 13．求函数21arcsin71xyx的定义域 解：21113471110xxxxx或 ∴函数的定义域为3,1)1,4 14．设sin1cos2xfx 求fx 解：22sin2cos21sin222xxxf 221f 故221fxx 15．设fxlnx，gx的反函数1211xgxx，求fgx 专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 3 解: （1） 求22():1xgxyx ∴反

解出x：22xyyx22xyy 互换,xy位置得()22gxxx (2)lnln22fgxgxxx 16．判别fx2ln1xx的奇偶性。 解法（1）：fx的定义域,，关于原点对称 2ln1xxxf

2ln11xx

122ln1ln()1xxxx

fx

2ln(1)fxxx为奇函数

解法（2）：fxfx 22ln(1)ln1xxxx

22ln(1)1ln10xxxx



fxfx 故fx为奇函数

17．已知fx为偶函数，gx为奇函数，且11fxgxx，求fx及gx 解： 已知()()fxgx11x 1()()1fxgxx

即有

1()()1fxgxx

2

2得11211fxxx

故 21()1fxx 2得11211gxxx

故2()1xgxx

18．设32lim8nnnana，求a的值。 解： 3323limlim1nn

nnnaanana





lim,nnaanaee8ae

故ln83ln2a

19．求111lim12231nnnn

解：（1）拆项，11(1)(1)kkkkkk 111,2,,1knkk

11112231nn

1111112231nn



111n

（2）原式=lim11111limnnnnneen 专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 4 20．设0,1,xfxaaa 求21limln12nfffnn 解： 原式=122ln1limnnaaan 2ln2lnln1limnaanan 2ln12limnann 2(1)ln2limnnnan ln0,112aaa 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设fx=21xx，求3fx= fffx并讨论3fx的奇偶性与有界性。 解：（1）求3fx 22221112fxxxfxfxxfxx 232222113fxxfxffxfxx （2）讨论3fx的奇偶性 33213xfxfxx 3fx为奇函数 （3）讨论3fx的有界性

32

1

3313xxfxxx

3fx有界

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。 解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底

半径为r，依题意：漏斗容积V=213rh

22,2hRrrR

22222244RRrhR



故2224324RVR 323424R



（2）函数的定义域 222240,2

0

故3224024RV 五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设fx为定义在,的任意函数，

证明fx可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。 专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 5 证：(1) 2fxfxfx2fxfx

(2)令2fxfxgxx 2

fxfxgxgx



gx为偶函数

(3)令2fxfxxx 2

fxfxxx



x为奇函数

（4）综上所述：fxgx偶函数+x

奇函数

24 设fx满足函数方程2fx+1fx

=1x，证明fx为奇函数。 证：（1）1121fxfxx



令11,2tffttxt 函数与自变量的记号无关 122ffxxx



（2）消去1fx，求出fx

2221:4fxfxxx

22223,3xxfxfxxx



（3）fx的定义域,00, 又223xfxfxx





fx为奇函数

＊选做题 1已知222(1)(21)126nnnn，

求22233312lim12nnnnnn

解: 222312nnn



2222233311211nnnnnn





且222312limnnnn 3

1(21)1lim36nnnnnn

222312lim1nnn

3(1)(21)1lim6(1)3nnnnn

∴由夹逼定理知，原式13 2 若对于任意的,xy，函数满足：

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高等数学试题解析指南找准解题思路

高等数学试题解析指南找准解题思路

高等数学试题解析指南找准解题思路高等数学这门课啊，对于很多同学来说，就像是一座难以翻越的大山。

那些密密麻麻的公式和复杂的试题，常常让人感到头晕眼花。

不过别担心，今天咱们就一起来瞅瞅高等数学试题的解析指南，找准解题的思路，把这座大山给征服咯！我记得之前有个学生叫小李，他可是被高等数学折磨得够呛。

每次看到试题，就像看到了外星文字一样，一脸懵。

有一次考试，有一道题是求一个函数的导数。

小李拿着笔，对着题目发呆了好久，脑袋里一片混乱，完全不知道从哪儿下手。

咱先来说说高等数学试题里常见的求极限问题。

这就好比是在走一条弯弯曲曲的小路，你得看准方向，一步一步稳稳地走。

比如说，碰到那种 0/0 型或者∞／∞型的极限，咱们就得用上洛必达法则。

这法则就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解题的大门。

可别小看这法则，用的时候得小心，要先确定满足条件，不然可就走错路啦！再来说说求导数的题目。

这就像是在寻找一个隐藏的宝藏，你得有敏锐的洞察力。

比如说复合函数求导，就像是一层又一层的包装纸，得一层一层剥开。

举个例子，像 sin(2x ＋ 1) 这种函数，先把 2x ＋ 1 看成一个整体求 sin 的导数，再乘以 2x ＋ 1 的导数。

这一步一步的，可不能乱了套。

还有积分的问题，这就像是在堆积木，一块一块地拼起来。

定积分、不定积分，各种换元法、分部积分法，都得熟练掌握。

记得有一次，小李碰到一个积分题，用常规方法怎么都做不出来。

后来我提醒他试试换元法，他一下子就恍然大悟，成功解出了题目。

在做高等数学试题的时候，一定要认真审题，把题目里的关键信息都找出来。

就像侦探破案一样，不放过任何一个蛛丝马迹。

有时候一个小小的条件，就能成为解题的关键。

而且，做完题目一定要检查，看看有没有遗漏的步骤或者计算错误。

总之，高等数学试题并不可怕，只要咱们找准解题思路，多做练习，就一定能攻克这座大山。

就像小李后来通过不断努力，终于不再害怕高等数学试题，成绩也有了很大的提高。

高等数学题目讲解

高等数学题目讲解

高等数学题目讲解引言高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于培养学生的分析问题和解决问题的能力具有重要意义。

在学习高等数学过程中，掌握题目的解题方法和技巧是学生取得好成绩的关键。

本文将从高等数学中常见的题目类型出发，详细讲解解题思路和方法。

一、极限题1. 求极限 $\\lim\\limits_{x\\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$当求解此类极限题时，可以分别计算f(x)和g(x)当x趋近于a时的极限。

如果f(x)和g(x)的极限都存在且g(x)的极限不为0，则$\\lim\\limits_{x\\to a}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{\\lim\\limits_{x\\to a} f(x)}{\\lim\\limits_{x\\to a}g(x)}$。

例如，求解极限$\\lim\\limits_{x\\to 2} \\frac{x^2-4}{x-2}$，首先计算f(x)= x2−4和g(x)=x−2分别当x趋近于2时的极限：$\\lim\\limits_{x\\to 2} f(x)=\\lim\\limits_{x\\to 2} (x^2-4)=0$$\\lim\\limits_{x\\to 2} g(x)=\\lim\\limits_{x\\to 2} (x-2)=0$由于f(x)和g(x)的极限都存在，且g(x)的极限不为0，因此根据公式$\\lim\\limits_{x\\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}=\\frac{\\lim\\limits_{x\\to a}f(x)}{\\lim\\limits_{x\\to a} g(x)}$可得：$\\lim\\limits_{x\\to 2} \\frac{x^2-4}{x-2}=\\frac{\\lim\\limits_{x\\to 2} (x^2-4)}{\\lim\\limits_{x\\to 2} (x-2)}=\\frac{0}{0}$继续化简：$\\lim\\limits_{x\\to 2} \\frac{x^2-4}{x-2}=\\lim\\limits_{x\\to 2} \\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\\lim\\limits_{x\\to 2} (x+2)=4$所以，$\\lim\\limits_{x\\to 2} \\frac{x^2-4}{x-2}=4$。

大一高等数学练习题及答案解析

大一高等数学练习题及答案解析

大一高等数学练习题及答案解析 11．2．limx?0xx?.1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y2.3．设函数y?y由方程?1xe?tdt?xdy确定，则dxx?0tfdt?ff?1fx14. 设可导，且，，则f?x??5．微分方程y4y??4y?0的通解为 .二．选择题1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为.y?Acos2x; y?Axcos2x;f?lnx?x?ke在内零点的个数为.y?Axcos2x?Bxsin2x;y?Asin2x.．下列结论不一定成立的是.*f?x?dx??f?x?dxc,d?a,bca若,则必有;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有 xba?Taf?x?dx??f?x?dxT;tf?t?dtfx0若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??4. 设1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题 1 ．计算定积分x3e?xdx2.2．计算不定积分xsinxcos5x.xxa,t2处的切线的方程. ．求摆线?y?a,在4. 设F??cosdt，求F?.5．设四．应用题 1．求由曲线y?xn?nlimxnn，求n??.x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?旋转一周所生成的旋转体的体积.ta?1,f?a?at在内的驻点为 t. 问a为何值时t最小?并求3. 设最小值.五．证明题设函数f在[0,1]上连续，在内可导且1ff=?1试证明至少存在一点??, 使得f?=1. 一．填空题： 11．．limx?x?0e.4e.dy确定，则dxx?0121?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y3．设函数y?y由方程?1e?tdt?x?e?1.12x24. 设f?x?可导，且x1tfdt?f，f?1，则f?x??e2x.5．微分方程y4y??4y?0的通解为y?e二．选择题： .1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为y?Acos2xy； ?Axcos2x； ?y?Axcos2x?Bxsin2x； y?Asin2x．下列结论不一定成立的是f?lnx?x?k内零点的个数为. e 在若?c,da,b?,则必有dcf?x?dx??f?x?dxabb;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有a?Taf?x?dx??f?x?dxT;xtf?t?dtfx0 若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.. 设连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题： 1．计算定积分?0 解：2x3e?xdx202.2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedttde?t0220-------221??t22?t?te??edt?002?? -------22131e?2?e?te?2022--------22．计算不定积分解：xsinx5cosx.xsinx111?xdx?dx?xd??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx?--------3 x1dtanx44cosx4x113tanx?tanx?C4cos4x1-----------?xa,t2处的切线的方程.．求摆线?y?a,在,a)2解：切点为 -------2k?dyasint?s)t??dxt??a即y?x?a.-------24. 设．设F??cosdt22F2xcosxcos. ，则xn?nn?1)?limxnn，求n??.1nilnxn??ln1ni?1n ---------解：n1i1limlnxn?lim?ln??lndx0n??n??nni?1--------------12ln2101?x =------------22ln2?1e?limxne 故 n??=xln10??x1四．应用题 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：大一高等数学期末考试试卷一、选择题2ex,x0,1. 若f??为连续函数,则a的值为.ax,x01 3-12. 已知f??2,则limh?0f?f的值为.h13-113. 定积分?2?的值为. ?20-2124. 若f在x?x0处不连续,则f在该点处.必不可导一定可导可能可导必无极限二、填空题1．平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. ?dx? . ?113. limx2sinx?01= . x4. y?2x3?3x2的极大值为三、计算题1. 求limx?0xln. sin3x22. 设y?求y?.. 求不定积分?xlndx.4. 求?30?x,x?1,? fdx,其中f??1?cosx?ex?1,x?1.?5. 设函数y?f由方程?edt??costdt?0所确定,求dy. 00ytx6. 设?fdx?sinx2?C,求?fdx.3??7. 求极限lim?1??. n2n?四、解答题1. 设f??1?x,且f?1,求f. n2. 求由曲线y?cosxx??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2??2所得旋转体的体积.3. 求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程.4. 求函数y?x[?5,1]上的最小值和最大值.五、证明题设f??在区间[a,b]上连续,证明bafdx?b?a1b[f?f]??f??dx.2a标准答案一、 1 B; C; D; A.二、 1 y?x?1;2; 0;0.三、 1 解原式?limx?5x5分 x?03x21分2分 x??lxn2d分 ?212x?[lndx2分21?x1?[ln?x2]?C1分解令x?1?t,则分03fdx1fdt 1分122t1??1dt 1分 1?cost1分 ?0?[et?t]1e2e1 1分两边求导得ey?y??cosx?0,分ycosx 1分 ye?cosx 1分 sinx?1cosx?dy?dx分 sinx?1解 ?fdx?12?fd2?C4分3??lim1?解原式=??n2n?322n3?32分 =e2分四、1 解令lnx?t,则x?et,f??1?et, 分 f??dt=t?et?C.2分 ?f?1,?C?0, 分fxex. 1分解 Vx2??2??cosxdx分 ?2202cos2xdx2分 ?解 ?22. 分 6x?1分 y??3x2?6x?24,y令y0,得x?1. 1分当x?1时,y0; 当1?x时,y0,分 ?为拐点, 1分该点处的切线为y?3?21. 分解y??1??2分令y??0,得x3?. 1分435y52.55,y,y1,分 ?4?435y5y最大值为. 分 ?最小值为?4?4五、证明bafdf?分 ab[f]aaf[2xdx分a[2x?df分 bbb[2x?]f?a?2?afdx分[f?f]?2?afdx,分移项即得所证分 bbb大一高数试题及答案一、填空题________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ＋────── 的定义域为_________ √１－ｘ2_______________。

高等数学教材习题答案详解

高等数学教材习题答案详解

高等数学教材习题答案详解1. 一元函数与极限题目：计算极限 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

解析：首先将分式分离为两个部分，得到：$\lim \limits_{x \to 0} \left( \frac{e^x - 1}{x} \cdot \frac{1}{x} -\frac{1}{x} \right)$。

根据极限的性质，我们将分别计算两个部分的极限。

先计算 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。

将分子展开为泰勒级数：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \dots$。

代入式中，得到：$\lim \limits_{x \to 0} \left( \frac{1 + x + \frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} + \dots - 1}{x} \right)$。

简化后得到：$\lim \limits_{x \to 0} \left( 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \dots \right) = 1$。

再计算 $\lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x}$。

由于分子为常数1，不随x变化，分母趋于0时，极限不存在。

将两个计算结果代入原式中，得到最终结果：$\lim \limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = 1 - \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = 1 - \infty = -\infty$。

2. 一元函数的导数与微分题目：求函数 $y = \sqrt{1 + x^2}$ 的导数。

解析：对于 $y = \sqrt{1 + x^2}$，可以通过链式法则求导。

令 $u = 1 + x^2$，则 $y = \sqrt{u}$。