江西临川一中,南昌二中,新余一中等九校重点中学协作体2019高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设{|{|ln(1)}A x y B y y x ====+，则AB =（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．∅ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，可知(,1]A =-∞，B R =，所以A B ={|1}x x ≤，故选B.考点：集合的运算.2.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域（ ） A ．[]-37，B ．[]-14，C ．[]-55，D ． []052， 【答案】D 【解析】试题分析：由[2,3]x ∈-得1[1,4]x +∈-，由21[1,4]x -∈-，解得5[0,]2x ∈，故选D. 考点：函数的定义域.3.命题“存有04,2<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意为240x ax a +-≥恒成立，即2160a a +≤，解得016≤≤-a ，所以为充要条件，故选A. 考点：充要条件的判断.4.若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)21,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y xD ．0144=++y x 【答案】C 【解析】试题分析：根据函数a mx x f =)(为幂函数，所以1m =，根据图像经过点)21,41(A ，则有12α=，所以12()f x x =，'()f x =，1'()14f =，根据直线方程的点斜式，求得切线方程是0144=+-y x ，故选C.考点：幂函数解析式的求解，导数的几何意义，函数图像的切线方程. 5.将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A 12x π=B. 6x π=C 3x π=D12x π=-【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，变换以后的函数解析式为sin(2)3y x π=+，根据函数的性质，可知函数图象的一条对称轴的方程是12x π=，故选A.考点：函数图像的变换. 6.函数xxy 24cos =的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据函数解析式可知函数是非奇非偶函数，所以图像不关于y 轴对称，所以C,D 不准确，当x 趋向于正无穷时，2x 趋向于正无穷，而余弦函数是有界的，所以y 趋向于0，故B 不对，只能选A. 考点：函数图像的选择.7.已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x ≥时，()ln(1)xf x e x =++，若()()1f a f a <-，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,1)2D ．()1,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上是增函数，根据偶函数图像的对称性，可知函数在(,0]-∞上是减函数，所以()()1f a f a <-等价于1a a <-，解得12a <，故选B. 考点：偶函数的性质. 8.下列四个命题： ○1∃x ∈(0, ＋∞), (12)x ＜(13)x ； ○2∃x ∈(0, 1), log 12x ＞log 13x ； ○3∀x ∈(0, ＋∞), (12)x＞log 12x ； ○4∀x ∈(0, 13), (12)x ＜log 13x. 其中真命题是（ ） A ．○1○3 B ．○2○3C ．○2○4D ．○3○4【答案】C考点：指对函数的图像和性质.9.已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,1,0,0,0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，能够求得函数的零点为,1e ，所以函数的零点的个数为2个，故选B. 考点：函数的零点.10.设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数，且()11-=-f ，当[]1,1-∈a 时， ()122+-≤at t x f 对所有的[]1,1-∈x 恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．2t ≥或2t ≤-C ．2t >或2t <-或0t =D ． 2t ≥或2t ≤-或0t =【答案】D 【解析】试题分析：根据题意有2max ()21f x t at ≤-+，根据奇函数的性质，可知函数的最大值为(1)1f =，所以有220t at -≥对于[]1,1-∈a 恒成立，所以有2()20g a ta t =-+≥在[]1,1-∈a 恒成立，即22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-+≥⎩，解得2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：构造函数，恒成立问题.11.已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(B ．]21,1(-C ．),21[+∞D ．]21,(-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在(1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，相当于函数()f x 的图像与直线(1)y m x =+有两个交点，而图像过点(1,1)，此时12m =，结合函数的图像，可知m 的取值范围是]21,0(，故选A.考点：函数的零点，数形结合思想.12.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存有两条距离为d 的直线1m kx y +=和2m kx y +=，使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d的通道.定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存有一个实数0x ，使得函数)(x f 在),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x=，③()f x =，④()x f x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ） A. 1 B.2 C. 3 D.4 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都能够，所以选C. 考点：新定义.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()xxk k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ．【答案】1± 【解析】试题分析：根据奇函数的条件，当函数在0点有定义时，可知1(0)01k f k-==+，解得1k =，当函数在0点没有定义时，求得10k +=，解得1k =-，经验证函数是奇函数，故=k 1±. 考点：奇函数的定义.14.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ． 【答案】2-考点：利用函数的周期性及奇偶性求函数值.15.已知命题p ：关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解；命题221:()log (2)2q f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增；若“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3(1,)4- 【解析】试题分析：根据题意，关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解，可得120m --≥，从而求得1m ≤-；221()log (2)2f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增，可得111202m m ≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩，解得34m <，根据“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为3(1,)4-.考点：命题的真假判断，参数的取值范围.16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上的最大值和最小值分别是1和1-，所以①对，()2(2)k f x f x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立，故②错，根据图像可知函()ln(1)y f x x =--有3个零点，故③对，根据图像，能够判断④准确，故答案为①③④.考点：函数的性质，数形结合思想.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合}2733|{≤≤=xx A ，}1log |{B 2>=x x ． （1）分别求B A ，()R C B A ；（2）已知集合{}a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值集合． 【答案】（1）{}|23A B x x ⋂=<≤，{|3}R C B A x x ⋃=≤；（2）3a ≤. 【解析】试题分析：第一问结合指数函数和对数函数的单调性求解集合,A B ，再根据集合的交并补集中元素的特点，求得结果，第二问注意对集合C 是否为空集实行讨论，在非空的条件下，结合数轴来解决即可. 试题解析：（1）3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2B x x =>，{}|23A B x x ∴⋂=<≤；{}2R C B x x =≤，{|3}R C B A x x ∴⋃=≤（2）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当A C ⊆当C 为空集时，1a ≤当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3a ≤考点：集合的运算，参数的取值范围，交并补集，子集.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．（1）若11cos()313πα+=-，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．【答案】（1）1126x =；（2）max ()3f παα==时， 【解析】试题分析：第一问根据题意可知1cos x α=，利用题中所给的条件，利用差角公式求得cos α的值，第二问利用三角函数的定义式，结合图形将三角形的面积用三角函数来表示，即将函数解析式转化为关于α的函数关系式，利用和差角公式，辅助角公式化简，结合自变量的取值范围，求得函数的最大值.试题解析：（1）由三角函数的定义有1cos x α=， ∵11cos()()31362πππαα+=-∈，，，∴sin()3πα+=， ∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦cos()cossin()sin 3333ππππαα=+++ 111113226=-⋅+=． （2）由1sin y α=，得111111cos sin sin 2224S x y ααα===．由定义得2cos()3x πα=+，2sin()3y πα=+，又5()()62326πππππαα∈+∈由，，得，，于是，22211cos()sin()2233S x y ππαα=-=-++12sin(2)43πα=-+∴ 12112()sin 2sin(2)443f S S πααα=+=-+=1122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433ππααα-+=3sin 228αα-12cos 2)2αα-)6πα-，5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，262ππα-=于是当，即max ()3f παα==时， 考点：三角函数和差角公式，三角函数的定义式，辅助角公式，三角函数的最值问题.19.（本小题满分12分）已知函数()x af x x b+=+（a 、b 为常数）． （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）1a <时，解集为：(0,1)a -， 1a =时，解集为：∅， 1>a 时，解集为：(1,0)a -，（2）1b >-. 【解析】试题分析：第一问不等式为10x ax-+<，将其转化为正式不等式(1)0x x a -+<，需要对1a -和0比较大小，从而求得结果，第二问式子为211()x x b x b +->++，等价于()(1)1x b x ++>-，能够发现x b ≠-，易知当1x =-时，不等式显然成立，所以式子转化为111(1)11b x x x x >--=-++++恒成立，转化为最值来处理，结合自变量的取值范围，利用基本不等式求得最值，从而求得结果. 试题解析：（1）∵()x a f x x b +=+，1=b ，∴()1x af x x +=+，∴()()11(1)11x a x a f x x x -+-+-==-+，∵(1)0f x -<，∴10x ax-+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a -， ②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：∅，③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a -，（2）∵1a =，21()()f x x b ->+， ∴211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※）显然x b ≠-，易知当1x =-时，不等式（※）显然成立； 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立，当12x -<≤时，111(1)11b x x x x >--=-++++，∵10x +>，∴()1121x x ++≥=+， 故1b >-． 综上所述，1b >-．考点：解不等式，恒成立问题，基本不等式.20.（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）60. 【解析】试题分析：第一问连结相对应的线段，利用平行四边形的判定定理和性质定理，证得TH//DB ，利用线面平行的判定定理证得线面平行，第二问建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ．在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2,AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点，又在BDC ∆,H 是BC 的中点，则TH//DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ；（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,45,AB BC BAC ⊥∠=则GB AC ⊥,于是,,GB GA GD 两两垂直，以点G 为坐标原点，,,GA GB GD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,则1,DE CF AC AG ====((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuu r ,即222200x y z -=⎪+=⎩， 取21x =，则221,y z ==2n =u u r ，121cos ,2n n <>==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60． 考点：线面平行的判定，二面角的余弦值.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q ．（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线C 1的方程；（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求21S S 的最小值．【答案】（Ⅰ）y x 242=； （Ⅱ）223+.【解析】试题分析：第一问要求抛物线的方程，任务就是求p 的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得10=px ，再根据切点在切线上，得022200=--p x x ，从而求得22=p ，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于p 和切点横坐标的关系式，从而有424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-2220002200(2)4432(4)24x x x x x --==++--，利用基本不等式求得最值.试题解析：（Ⅰ）设点)2,(200px x P ，由)0(22>=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='， ……2分 因为直线PQ 的斜率为1，所以10=px 且022200=--p x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=．（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(20020x x px p x y -=-，即022200=--x py x x ，根据切线又与圆相切，得r d =，即14422020=+-p x x ，化简得2204044p x x +=，由04420402>-=x x p ，得20>x ，由方程组200222201x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得)24,2(200p x x Q -，202)x --， 点)2,0(p F 到切线PQ的距离是204x d =， 所以32010||1(2)216x S PQ d x p=⋅=-， 02221x p x OF S Q ==， 所以424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-32234424)4(2)2(2020202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当44242020-=-x x 时取“＝”号，即22420+=x ，此时，222+=p ， 所以21S S 的最小值为223+． 考点：导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式.22.（本小题满分12分）已知函数()()3221ln 2f x a x x a a x =+-+（R a ∈）， ()223ln 2g x x x x x =--．（Ⅰ）求证：()g x 在区间[]2,4上单调递增；（Ⅱ）若2a ≥，函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ，求()G a 的解析式，并判断()G a 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69ln 20.7<<）【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩，()G a 有最小值，没有最大值．试题解析：（Ⅰ）证明：∵22()3ln 2g x x x x x =--，∴()6ln 1g x x x x '=--， 设()6ln 1h x x x x =--，则()6ln 5h x x '=+，∴当24x <<时，()0h x '>，∴()h x 在区间(2,4)上单调递增．∵(2)3(4ln 21)0h =->，∴当24x <<时，()(2)0h x h >>．∴()g x 在区间[2,4]上单调递增． （Ⅱ）∵3221()ln ()2f x a x x a a x =+-+(a ∈R )， ∴()f x 的定义域是(0,)+∞，且32()()a f x x a a x '=+-+，即2()()()x a x a f x x--'=． ∵a ≥2，∴2a a <，当x 变化时，()f x 、()f x '变化情况如下表：∴当24a ≤≤时，24a ≥，()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2f a a a a a =--． 当4a >时，()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+． 即 332321ln (24),()22ln 2448(4).a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩ （1）当24a <<时，22()3ln 2G a a a a a '=--．由（Ⅰ）知，()G a '在(2,4)上单调递增．又(2)2(6ln 25)0G '=-<，(4)12(8ln 23)0G '=->，∴存有唯一0(2,4)a ∈，使得0()0G a '=，且当02a a <<时，()0G a '<，()G a 单调递减，当04a a <<时()0G a '>，()G a 单调递增．∴当24a ≤≤时，()G a 有最小值0()G a ．（2）当4a >时，2228()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a '=--=---， ∴()G a '在(4,)+∞单调递增．又(4)12(8ln 23)0G '=->，∴当4a >时，()0G a '>．∴()G a 在(4,)+∞上单调递增．综合（1）（2）及()G a 解析式可知，()G a 有最小值，没有最大值．考点：导数的应用.。

江西省重点中学协作体2019届高三第二次联考数学试卷（理） 2019.5考试用时：120分钟 全卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合12{|2}log 3A x x B x x ，⎧⎫⎪⎪=≤=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ） A. {|2}x x ≤B. {|02}x x <≤C. 128xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D. 108x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】求解出集合B ，根据交集定义求得结果.【详解】121log 38B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ 128A B x x ⎧⎫∴⋂=<≤⎨⎬⎩⎭本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数2212iz i-+=++，则z 的共轭复数z =（ ） A. 2i -+ B. 2i --C. 2i +D. 2i -【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求解出z ，由共轭复数定义得到结果. 【详解】()()()()2122522221212125i i ii z i i i i -+--+=+=+=+=+++- 2z i ⇒=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是通过复数的除法运算法则求得复数，属于基础题.3.若向区域{(,)|0101}D x y x y =，≤≤≤≤内投点，则该点落在由2y x =与y x =围成区域的概率为（ ） A.18B.16C.13D.12【答案】B 【解析】 【分析】求得交点坐标后，利用定积分的知识可求得两函数围成区域的面积，根据几何概型概率公式可求得结果.【详解】由2y x y x⎧=⎨=⎩解得交点坐标为：()1,1∴由2y x =与y x =围成区域的面积为：()12230111111023236x x dx x x ⎛⎫-=-=-=⎪⎝⎭⎰又区域D 的面积为：111⨯=∴所求概率：16p =本题正确选项：B【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率问题的求解，涉及到利用定积分求解曲边图形的面积.4.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）A. 16B. 18C. 30D. 31【答案】D 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到16s >时输出结果即可. 【详解】按照程序框图执行程序，输入：1s =，1n = 则：()221113s =+-+=，不满足16s >，循环；2n =，()323126s =+-+=，不满足16s >，循环； 3n =，()4261316s =+-+=，不满足16s >，循环；4n =，()52161431s =+-+=，满足16s >，输出结果：31s =本题正确选项：D【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果问题，属于基础题.5.已知函数()()xxf x x e e-=-，若()()12f x f x >，则（ ）A. 12x x >B. 12x x <C. 12x x <D. 12x x >【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义可判断出()f x 为偶函数，利用导数可求得()f x 在()0,∞+上单调递增，由此可得()f x 在(),0-∞上单调递减，根据单调性和函数值的大小关系可得到结果. 【详解】()()()()xx x x f x x ee x e ef x ---=--=-= ()f x ⇒为偶函数()()x x x x f x e e x e e --'=-++当0x >时，0x x e e -->，()0x xx e e-+> ()0f x '⇒>()f x ∴在()0,∞+上单调递增又()f x 为偶函数 ()f x ⇒在(),0-∞上单调递减()()12f x f x > 12x x ⇒>本题正确选项：D【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，涉及到利用导数判断函数的单调性，关键是将函数值的比较通过单调性进行转化，变为自变量的关系.6.83)x 展开式中所有无理项的系数和为（ ）A. 255B. 227C. 226D. 200【答案】B【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，可知当46r-不是整数时得无理项，则利用组合数的运算可求得结果. 【详解】83x x展开式的通项公式为：(843688r rrr r C x x C x--⋅=当46r-不是整数，即1,2,3,4,5,7,8r =时，得到无理项 ∴无理项系数和为：12345788068888888882227C C C C C C C C C ++++++=--=本题正确选项：B【点睛】本题考查二项式定理的知识，涉及到无理项系数的求解问题，关键是明确取得无理项时通项公式中r 的取值.7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 83B.163C.323D.643【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥，根据三棱锥体积公式求得结果. 【详解】由三视图可得几何体为三棱锥P ABC -，如下图所示：∴几何体体积：1113244443323ABC V S ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=本题正确选项：C【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键是通过三视图能够准确还原几何体，易错点是忽略投影线的情况，造成误认为几何体为四棱锥.8.已知焦点在x 轴上的椭圆方程为222142x ya a +=-，随着a 的增大该椭圆的形状（ ）A. 越接近于圆B. 越扁C. 先接近于圆后越扁D. 先越扁后接近于圆【答案】A 【解析】椭圆方程222141x ya a +=-为焦点在x 轴上的椭圆方程，22401041a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪>-⎩，解得125a <<a 在不断的增大，所以对函数(21125y a a =-<<+为单调递增函数，即短轴中的2b 在不断增大，即离心率2114a e a-=- A.9.阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.10.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的周期和最小值点可求得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而得到n a ，根据三角函数周期可知{}n a 是以6为最小正周期的周期数列，求得60S =后，可将2019S 化为6123336S a a a +++，代入求得结果.【详解】由函数图象可知：741234T πππ=-=，即：2T ππω== 2ω⇒= 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得：7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭73262k ππϕπ⇒+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又2πϕ<3πϕ∴=()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫∴==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭263ππ= {}n a ∴是以6为最小正周期的周期数列则：123sin32a π==，2sin 0a π==，343sin 32a π==-，453sin 32a π==-，5sin 20a π==，673sin 3a π==60S ∴= 201961233360S S a a a ∴=+++=本题正确选项：B【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式、周期数列前n 项和的求解问题，关键是能够通过三角函数的周期确定数列的周期，从而将所求和转化为一个周期内的几项和的求解问题.11.已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>，的左，右焦点分别为12F F O ，，为坐标原点，P 为双曲线在第一象限内的点，直线2PO PF ，分别交双曲线C 的左，右两支于M N ，，若112PF MF =，且23MF N π∠=，则双曲线的离心率为（ ）52C. 23【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性可证得四边形12PF MF 为平行四边形，从而得到21MF PF =，结合双曲线的定义和112PF MF =可得24MFa =；根据角度关系在12F MF ∆中利用余弦定理构造关于,a c 的齐次方程，从而得到离心率.【详解】由双曲线的对称性可知：OP OM =，又12OF OF =∴四边形12PF MF 为平行四边形 112222PF MF M P F F ∴===，由双曲线定义可知：1222PF PF a PF -== 124M P a F F ∴== 由23MF N π∠=可知：123F MF π∠=12F MF ∆中，由余弦定理得：222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠即：222224416812c a a a a =+-= 223c e a∴==本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到双曲线的定义、对称性、解三角形中的余弦定理等知识，关键是能够根据双曲线定义和对称性，将三角形三边利用,a c 表示出来，利用余弦定理构造出关于,a c 的齐次方程.12.设函数()2ln 2f x x x x =--，若存在[]12a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，，，使得()f x 在[]a b ，上的值域为[(2)(2)]k b k a ++，，则实数k 的取值范围为 （ ）A. 92ln 2110+⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， B. 92ln 214+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C. 92ln 2110+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， D. 92ln 214+⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可求得函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，可得()()()()22f a k a f b k b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，从而将问题转变为()y f x =与()2y k x =+的图象在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个交点，由函数图象可知，临界状态为直线与曲线相切和过11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，利用过某点的切线方程的求解方法可求得1k ，代入点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得2k ，根据图象得到所求范围. 【详解】()ln 12f x x x '=+-；()1122x f x x x-''=-= 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ''≤ ()f x '∴在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减()111ln 11ln 0222f x f ⎛⎫''∴≤=+-=< ⎪⎝⎭ ()f x ∴在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减又()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k b k a ++⎡⎤⎣⎦()()()()22ln 22ln 2f a a a a k a f b b b b k b ⎧=--=+⎪∴⎨=-=+⎪⎩ ()y f x ∴=与()2y k x =+的图象在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个交点作出函数图象如下图所示：()2y k x =+恒过点()2,0-设()2y k x =+与()y f x =相切时，1k k =；过11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，2k k = 则当[)21,k k k ∈时，满足题意当()2y k x =+与()y f x =相切时，设切点坐标为()20000,ln 2x x x x --则()200010000ln 2ln 122x x x k f x x x x --'==+-=+，解得：01x =，11k =-又111192ln 292ln 2ln 22224444f +⎛⎫=--=--=-⎪⎝⎭292ln 292ln 2411022k +-+∴==-+则：92ln 2,110k +⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查根据函数的值域求解参数范围的问题，涉及到利用导数求解函数的单调性、导数几何意义的应用等知识，解题关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式确定临界状态，从而确定参数的取值范围.二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.13.已知向量()1,1a =-，()2,b λ=，(),2c λ=-.若()a b c +⊥，则λ=__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用坐标运算求得a b +，由垂直关系可知()0a b c +⋅=，构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()3,1a b λ+=-()a b c +⊥ ()()3210a b c λλ⇒+⋅=--=，解得：2λ=-本题正确结果；2-【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.若x y ，满足约束条件0210x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-的最小值为__________.【答案】23- 【解析】 【分析】由约束条件得到可行域，可知当3z x y =-取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大，由直线平移可知过A 点时z 最小，求出A 点坐标，代入求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当3z x y =-取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大 平移直线13y x =可知，当133z y x =-过A 时，在y 轴截距最大由210x y x y +=⎧⎨-=⎩得：11,33A ⎛⎫⎪⎝⎭ min 1123333z ∴=-⨯=-本题正确结果：23-【点睛】本题考查线性规划中的最值类问题的求解，关键是将问题转化为在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.15.设ABC △的内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，已知其周长为105323C π=，则c 的值为___.【答案】72【解析】 【分析】由三角形面积公式可求得10ab =，由余弦定理和周长构造关于c 的方程，解方程求得结果. 【详解】由三角形面积公式得：1153sin sin 2232S ab C ab π===10ab ∴= 由余弦定理得：()()222222cos 22cos 303c a b ab C a b ab ab a b π=+-=+--=+-又10a b c ++=，即10a b c +=-，可得：()221030c c =-- 解得：72c =本题正确结果：72【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式的应用，关键是能够通过余弦定理构造出关于所求边的方程，属于常考题型.16.两个半径都是2的球1O 和球2O 相切，且它们与直二面角l αβ--的两个半平面都相切，另有一个半径为r 的小球O 与这个二面角的两个半平面均相切，同时与球1O 和球2O 都相切，则r 的值为__.【答案】627-【解析】 【分析】由已知中的位置关系可构造两个棱长为2的正方体，将球心位置确定为正方体的两个顶点，从而得到球心O 的位置，建立空间直角坐标系，利用坐标计算出22OO ，再利用两球相切的关系求出2OO ，从而构造出关于球O 半径r 的方程，解方程求得结果.【详解】两个棱长为2的正方体构成如下图形，图中的左侧面和底面构成直二面角l αβ--1O ，2O 为半径为2的球1O 和球2O 的球心小球O 与二面角两个半平面相切，且与两个球相切∴球心O 在MN 上以M 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：作OH z ⊥轴，垂足为H ，则OH r =则(),0,O r r ，()22,2,2O ()()22222222OO r r ∴=-++-由球O 与球2O 相切可知：22OO r =+()()()22222222r r r ∴+=-++-，解得：67r =±当67r =+1O 和球2O 在球O 内部，不符合题意67r ∴=-本题正确结果：627-【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到两球外切、球与平面相切等知识，关键是能够通过已知中的相切关系确定所求的球的球心的位置，从而可根据两点间距离和球心距离构造出关于半径的方程，从而求得结果，属于难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答. （一）必考题:共60分17.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且251565a S ==，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且10n n T S =-，求数列{}n b 的前n 项和n R .【答案】（Ⅰ）219n a n =-+；（Ⅱ）221810,1918152,10n n n n R n n n ⎧-+-≤≤=⎨-+≥⎩【解析】 【分析】（Ⅰ）将2a 和5S 利用1a 和d 来表示，构造方程组解得1a 和d ，根据等差数列通项公式求得结果；（Ⅱ）由等差数列前n 项和公式求得n S ，可得到n T ，根据11b T =和1n n n b T T -=-可得n b ；根据通项公式可知当19n ≤≤时，0n b >；当10n ≥时，0n b <，从而可得：19n ≤≤时n n R T =；10n ≥时92n n R T T =-+，从而求得结果.【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则：215115545652a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得：1172a d =⎧⎨=-⎩ ()()111721219n a a n d n n ∴=+-=--=-+（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()12182n n n a a S n n +==-+ 21810n T n n ∴=-+-当1n =时，117b T ==当2n ≥且*n N ∈时，1219n n n b T T n -=-=-+经验证117b ≠ 7,1219,2n n b n n =⎧∴=⎨-+≥⎩当19n ≤≤时，0n b >；当10n ≥时，0n b <∴当19n ≤≤时，212121810n n n R b b b b b b n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-+-当10n ≥时，()121291011n n n R b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()2129129101192181522n n b b b b b b b b b T T n n ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-++ 综上所述：221810,1918152,10n n n n R n n n ⎧-+-≤≤=⎨-+≥⎩【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、含绝对值的数列的前n 项和的求解.求解含绝对值的数列的前n 项和的关键是判断出数列中各项的符号，从而可去掉绝对值符号，将问题转变为普通数列前n 项和的求解.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒ ，Q 是AD 的中点.（Ⅰ）若PA PD =，求证:平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为边长等于2的等边三角形，M 在侧棱PC 上且2PM MC =，求二面角M BQ C --的大小.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）60 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据三线合一可证得PQ AD ⊥，AD BQ ⊥，根据线面垂直的判定可证得AD ⊥平面PQB ，利用面面垂直的判定定理可证得结论；（Ⅱ）通过面面垂直的性质可证得PQ ⊥平面ABCD ，从而可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法来求得结果. 【详解】（Ⅰ）PA PD =且Q 为AD 中点 PQ AD ∴⊥底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠= ABD ∴∆为正三角形 又Q 为AD 中点 AD BQ ∴⊥,PQ BQ ⊂平面PQB ，PQ BQ Q = AD ∴⊥平面PQB又AD ⊂平面PAD ∴平面PQB ⊥平面PAD （Ⅱ）PAD ∆为等边三角形且Q 为AD 中点 PQ AD ∴⊥又平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD底面ABCD AD =，PQ ⊂平面PADPQ ∴⊥平面ABCD则以Q 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0Q ，(3P ，()3,0B ，()3,0C -设(),,M x y z则2PM MC =，即：(()2,,323,x y z x y z -=---2223223x xy y z z =--⎧⎪∴=-⎨⎪-=-⎩，解得：2323,333M ⎛- ⎝⎭则223233MB ⎛= ⎝⎭，2323,3MQ ⎛= ⎝⎭设平面MBQ 的法向量为()1,,n x y z =，则有1122323033323230333MB n x y z MQ n x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=---=⎪⎩，令3z =3x =，0y =(13,0,3n ∴=又平面CBQ 的一个法向量为()20,0,1n =12121231cos ,223n n n n n n ⋅∴<>===⋅ 12,60n n ∴<>=二面角M BQ C --为锐二面角 ∴二面角M BQ C --的大小为：60【点睛】本题考查平面与平面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到面面垂直的判定与性质、线面垂直的判定等定理的应用，属于常考题型.19.随着科学技术的飞速发展，网络也已逐渐融入了人们的日常生活。

江西省临川市第一中学等九校2019届高三数学3月联考试题（含解析） 注意事项： 1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟. 2 本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效. 3 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解分式不等式求得集合A，求对数函数定义域求得集合B，由此求得两个集合的交集 【详解】由解得，由解得，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查对数函数定义域，考查集合的交集，属于基础题 2.已知复数，则复数的虚部为 A. 1 B. C. i D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简复数，求出其共轭复数，由此得到的虚部. 【详解】依题意，故，其虚部为，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的虚部，属于基础题. 3.抛物线的焦点是直线与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得的值，并求得准线方程. 【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在轴上，直线与轴交点为，故，即抛物线的方程为，故准线方程为，故选D. 【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴的交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题. 4.下列命题中正确的是（ ） A. 若为真命题，则为真命题 B. “”是“”的充要条件 C. 命题“，则或”的逆否命题为“若或，则” D. 命题：，使得，则：，使得 【答案】B 【解析】 【分析】 根据且、或命题真假性判断A选项真假，根据充要条件知识判断B选项真假，根据逆否命题的概念判断C选项真假，根据特称命题的否定是全称命题判断D选项真假. 【详解】对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查还有简单逻辑连接词真假性，考查充要条件，考查逆否命题，考查特称命题的否定是全称命题等知识，属于基础题. 5.等差数列前项和为，，则（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质求得，利用前项和公式求得. 【详解】由于数列为等差数列，故，所以，故选A. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 这个等差数列的性质是：若，则，若，则.如果数列是等比数列，则数列的性质为：若，则，若，则.所以解有关等差或者等比数列的题目时，先观察一下题目所给条件中的下标是否有关系. 6.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( )

高三数学模拟试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{}2|48B y y x x ==++，则()U A B =ð（ ）A. []1,2B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,2【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A 、B 的等价条件，结合集合交集、补集的定义进行计算即可． 【详解】解：(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{}(){}2248242B y y x x y y x ==++==++≥，则{}2U B x x =<ð，则(){}12U A B x x ⋂=<<ð， 故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）B. 13C. 1010【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可。

【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-,复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即222,|3|313a ai a =--=+本题选择A 选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 45B. 54C. 57D. 63【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体得到的组合体.【详解】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的 表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为26354S =⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查了正方体的三视图，结构特征与表面积的计算问题，属于基础题．4.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据对比图，对①②③分析计算即可. 【详解】根据对比图得：2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误； 2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，1380.9290%150=>，③正确 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对比图的性质等基础知识，考查识图能力，属于基础题．5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 1或123 D. 3±【答案】C 【解析】 【分析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值.【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以3q = C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .6.已知()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C 【解析】 【分析】()f x 可化为()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用复合函数的讨论方法可求该函数的周期、对称中心、单调区间等，利用图像变换可考虑它与函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像变换关系. 【详解】()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22cos 322cos 213x x x π⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==，故A 正确； 当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因23t x π=+在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，2cos 1y t =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故B 正确； 函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 令2,32x k k Z πππ+=+∈，当1k =时，712x π=，故7,112π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C.【点睛】形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．7.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为（ ）A. 0B. 0或8C. 8D. 1【答案】C 【解析】 【分析】求出曲线在点()1,1处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去y ，利用判别式为零可求a 的值. 【详解】11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++=故280a a a ≠⎧⎨-=⎩ ，解得8a =，故选C. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线():C y f x =在()()00,P x f x 处的切线方程为()()()000y f x x x f x '=-+.8.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内 B. 必在圆222x y +=上 C. 必在圆222x y +=外 D. 以上三种情形都有可能【答案】A 【解析】考点：椭圆的简单性质；点与圆的位置关系． 专题：计算题． 分析：由题意可求得c=12a ，b=32a ，从而可求得x 1和x 2，利用韦达定理可求得x 12+x 22的值，从而可判断点P 与圆x 2+y 2=2的关系．解答：解：∵椭圆的离心率e=c a =12， ∴c=12a ，22a c -32a ， ∴ax 2+bx-c=ax 23ax-12a=0，∵a≠0， ∴x 2x-12=0，又该方程两个实根分别为x 1和x 2， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-12，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=34+1＜2． ∴点P 在圆x 2+y 2=2的内部． 故选A ．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c ，b 与a 的关系是关键，属于中档题．9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】 【分析】按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论.【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数， 如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B.【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误.10.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】把b 化成()5log 2f ，利用对数函数的性质可得351log 2log 20>>>，再利用指数函数的性质得到0.221>，最后根据()f x 的单调性可得,,a b c 的大小关系. 【详解】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D.【点睛】本题考查对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.11.如图，1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）55D. 13+【答案】D 【解析】 解：，设F 1F 2=2c ， ∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 23，÷2，e=2c ÷33， 故选D12.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A. 3 B. 231110【答案】C 【解析】 【分析】把四面体补成如图所示的三棱锥，其中3AD =，可以证明CB ⊥平面PBD 且PDC ∆、PBD ∆均为直角三角形，通过计算C PBD V -三棱锥可得P ABC V -三棱锥.【详解】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥，因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥，因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以362511PD ==-又33DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形， 所以14112112PBD S ∆=⨯=11P ABC V -=三棱锥 C.【点睛】不规则三棱锥的体积的计算，应尽量找寻其高，如果高难以确定，则可以把给定的几何体补成容易计算体积的几何体，注意补体时利用已有的垂直关系.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =，()1,r b k =-，且a b ⊥，则4r r a b +与a 的夹角为________．【答案】4π【解析】 【分析】先计算出k ，再求出4rra b +，a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.【详解】因为a b ⊥，故0a b ⋅=，所以340k -+=，故34k =，故()41,7r r a b +=-，设4r r a b +与a 的夹角为θ，则cos2θ===，因[]0,θπ∈，故4πθ=，填4π.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用r r rga a a=；（2）计算角，cos,rrrrrra ba ba b⋅=.特别地，两个非零向量,a b垂直的等价条件是0a b⋅=14.已知实数x，y满足不等式组yy xx y m≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数32z x y=-的最大值为180，则实数m的值为________．【答案】60【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线320x y z--=可得何时z有最大值，从而求出m的值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示，因为不等式组有解，所以0m≥，当动直线320x y z--=平移到(),0A m时，z有最大值，故320180m⨯-⨯=，所以60m=，填60.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考虑二元函数的几何意义，比如34x y+表示动直线340x y z+-=的横截距的三倍，而21yx+-则表示动点(),P x y与()1,2-的连线的斜率．15.如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，cos24ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】1655【解析】 【分析】先计算出c o s ABC ∠的值，利用3uu u r uu u rCD DA=可得3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后整理可得22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,u u r u u u r c B A aB C ==，则2233292c a ac =++，利用基本不等式可求3c a +的最大值. 【详解】因为10cos24ABC ∠=， 所以22101cos 2cos 121244ABC ABC ⎛⎫∠∠=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u r BD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u rBA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =c =【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】512⎫⎪⎪⎭，【解析】 【分析】根据120i i PA PA ⋅=，1,2i =可得以12A A 为直径的圆与线段BF 有两个交点（不含端点），从而得到,,a b c 满足的不等式组，从这个不等式组可求离心率的取值范围. 【详解】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bx cy bc +-=， 以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=，1,2i =， 所以O 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩，51e +<<故填51+⎭，. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； 【答案】（1）12n n a +=；（2）229. 【解析】 【分析】（1）利用1n n n S S a --=可得关于{}n a 的递推关系，整理得到112n n a a --=，从而{}n a 为等差数列，利用公式可求其通项.（2）利用等差数列的前n 项和的公式得到()34n n n S +=，故141133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和后可求其该和的范围为221,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭，从而可求M 的最小值.【详解】（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =，当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭． 所以229M ≥，故M 的最小值为229．【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18.如图所示，在棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，90ABC BCD ︒∠=∠=（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角11C A D D --的大小 【答案】（1）见解析；（2）120 【解析】 【分析】（1）可证四边形11ABC D 为平行四边形，再利用平面几何知识可得11A D AD ⊥，从而得到11A D BC ⊥. （2）建立空间直角坐标系，算出平面1AA D 的法向量和平面1CA D 的法向量后可得二面角的平面角的余弦值的绝对值，结合平面角为钝角可得其大小.【详解】（1）连结1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ， 又因11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，在直角梯形11ADD A中，11tan 2A AD ∠=，1tan DA A ∠=， 因此11190A AD AA D ︒∠+∠=，所以11A D AD ⊥，因此11A D BC ⊥（2）因为1AA ⊥平面ABCD ，所以建立如图空间直角坐标系，设111=A B ，则()0,0A ，()10,0,2A ，()2,2,0D -，()2,2,0C ，()10,0,2AA =，()2,2,0AD =-，()0,4,0DC =，()12,2,2AC =-， 设向量()111,,x y z =m 为平面1AA D的法向量，则有100m AA m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11120,220,z x y =⎧⎨-=⎩，令11x =，取平面1AA D 的一个法向量()1,1,0m =.设向量()222x y z =,,n 为平面1CA D 的法向量，则有100n AC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222220,40,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 令21x =，取平面1CA D 的一个法向量()1,0,1n =，1cos ,2m n m n m n⋅==⋅, 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则1cos 2θ= 因此二面角11C A D D --的大小为120︒.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有90％的把握；（3）0.0684. 【解析】 【分析】（1）由茎叶图的中位数计算即可；（2）得2×2列联表，再根据表中数据计算K 2，结合临界值表可得；（3）因~(110,144)X N ，所以10.9544(134)0.02282P X ->==，,由题意可知~(3,0.0228)B ξ，计算E ξ即可. 【详解】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：数学成绩优秀 10 7 17 计算得2K的观测值240(1013107)0.9207 2.70620201723k⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关． （3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，14412σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．【点睛】本题考查了茎叶图的中位数，独立性检验和正态分布与二项分布的综合，属于中档题.20.已知抛物线24y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点（1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）12y x =-；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用点差可求12ABk =-，从而得到直线l 的方程. （2）设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和抛物线方程后消元可得2432160ky y k ---=，利用0QA QB ⋅=及韦达定理可以得到()()20016440y k y -+-=恒成立，故求得()4,4Q .【详解】（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故1212124AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12AB k =-则直线l 的方程为12y x =-（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()24,84y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩整理得2432160ky y k ---=，>0∆，124y y k+=，121632y y k =--，由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ⋅=，即()()2200121020044y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即()()2222001210204444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()102010201016y y y y y y y y ++⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦故()()102016y y y y ++=-，即()2120120160y y y y y y ++++=整理得()()20016440y k y -+-=即当04y =时，恒有0QA QB ⋅=，故存在定点()4,4Q 满足题意；当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,42A ，(8,42B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ⋅= 综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知函数()e xf x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（ma b 恒成立，求实数m 的取值集合. 【答案】（1）2e；（2）{}1-． 【解析】 【分析】（1）就0,0,0a a a <=>三种情况利用导数讨论()f x 的单调性及其相应的最小值后可得：0a =时，0b ≤成立，0a >时，ln b a a a ≤-成立，对后一种情况构建新函数()22ln h a a a a =-，利用导数可求()h a 的最大值即可.（2）求出()F x '，它是一个减函数且值域R ，故()F x '存在唯一的零点0x ，再由题设条件可以得到()00F x =，()00F x '=，用0x 表示,a b 后可把不等式()1m a e b -+≥化为()()00001ln 10xmx m e x m e x +-+-+-+≥，构建新函数()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，就0,0m m ≤>两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数m 的取值，注意后者的进一步讨论以m -与1的大小为分类标准. 【详解】（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a aa a a'=--=-，令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a 在(),e +∞上为减函数．所以()1122h a he e e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e． （2）()1xFx e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以01x a e x =-，()001ln xo b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln xx m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭， 得()()00001ln 10xmx m ex m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭． 若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾； 当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，，当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =，所以()F x 有唯一的零点.综上，m 的取值集合为{}1- ．【点睛】含参数的函数不等式的恒成立问题，可以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.函数的零点问题，可利用导数讨论函数的单调性，再结合函数已有的零点来讨论参数的取值.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为22312sin ρθ=+ （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长 【答案】（1）2213x y +=；（2）2153【解析】【分析】（1）利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线E 的直角坐标方程. （2）直线l 的参数方程代入曲线E 的直角坐标方程，消元后利用韦达定理可求AB 的长.【详解】（1）E 的方程可化为2222sin 3ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=，代入其中 得2233x y +=，所以曲线E 的直角坐标方程为2213x y +=. （2）直线l 过定点()1,0P ，将直线l 的参数方程代入曲线E 的直角坐标方程得232340t t +-=，12t t +=，1243t t =-，所以12AB t t =-3==. 【点睛】极坐标方程与直角方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，必要时须在给定方程中构造cos ,sin ρθρθ．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．选修4-5：不等式选讲 23.已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤； （2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论方法可解不等式()4f x ≤. （2）利用绝对值不等式可求m ，再利用基本不等式求出41a b +的最小值后可证341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）()4f x ≤等价于 12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-. （2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+=当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()414145529b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立， ∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭． 【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。