大学物理下 第15章 量子力学基础

§15.4 微观粒子的波—粒二象性 不确定关系

一、微观粒子的波—粒二象性

1923～1924年间,德布罗意仔细地分析了光的微粒说和波动说的历史,深入的研究了光子假设.他认为,19世纪以来,在光的研究中人们只重视了光的波动性,而忽视了它的粒子性.但在实物粒子的研究中却又发生了相反的情况,只重视实物粒子的粒子性,而忽略了它的波动性.在这种思想的支配下,德布罗意大胆的提出了物质的波—粒二象性假设.他认为,质量为m,速度为υ的自由粒子,一方面可用能量E和动量p来描述它的粒子性；另一方面还可用频率v和波长λ来描述它的波动性.它们之间的关系与光的波—粒二相性所描述的关系一样,即

h/pλE/h,ν (15.28)

式(15.28)叫德布罗意公式.这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波,或叫物质波.德布罗意因这一开创性工作而获得了1929年的诺贝尔物理学奖.

由于自由粒子的能量和动量均为常量,所以与自由粒子相联系的波的频率和波长均不变,这说明与自由粒子相联系的德布罗意波可用平面波描述.

对于静质量为m0,速度为υ的实物粒子,其德布罗意波长为

220/cυυmhphλ1 (15.30)

德布罗意关于物质波的假设,1927年首先由戴维孙(C.J.Davisson,1881—1958)和革末(L.H.Germer,1896—1971)通过电子衍射实验所证实.戴维孙和革末作电子束在晶体表面散射实验时,观察到了和X射线在晶体表面衍射相似的电子衍射现象,从而证实了电子具有波动性.当时的实验中,采用50KV的电压加速电子,波长约为0.005nm.由于波长非常短,实验难度很高,因此这一实验是极其卓越的.

后来证实了不仅电子具有波动性,其他微观粒子,如原子、质子和中子等也都具有波动性.微观粒子的波动性在现代科学技术上已得到广泛的应用,利用电子的波动性,已制造出了高分辨率的电子显微镜；利用中子的波动性,制成了中子摄谱仪.

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第三章 量子力学导论

一、学习要点

1．德布罗意假设：

(1)内容： hE , nkkhp2,

(2)实验验证：戴维孙—革末试验

电子 =1.2262ekkhmEE（nm）

2．测不准关系：2xpx , 2Et；

3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件

薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态

4．量子力学对氢原子的处理

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第三章自测

1．选择题

（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：

A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二相性

(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：

A .E=h， p=h; B.E=，P=; C. E=h ，p=; D. E= ，p=

(4）基于德布罗意假设得出的公式1.226()EeVnm的适用条件是：

A.自由电子，非相对论近似； B.一切实物粒子，非相对论近似；

C.被电场束缚的电子，相对论结果； D带电的任何粒子，非相对论近似

(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：

A．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30

2．简答题

（1）波恩对波函数作出什么样的解释？（长春光机所1999）

（2）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.（长春光机所1998）

§15.6 氢原子

一、氢原子问题的量子力学处理

氢原子是只有一个电子在原子核库仑场中运动的最简单的原子,下面我们简要说明处理氢原子问题的思路和主要结果.

在氢原子中,电子处于核的库仑场中,其势能为

rerV024)( (15.59)

它与时间无关,属定态问题,将势能函数代入定态薛定谔方程式(15.46)并采用球坐标系得

04211r1022222222)(sin)(sinsin)(reEmrrrrre

(15.60)

这个偏微分方程需采用分离变量法求解.令

)()()(),,(rRr (15.61)

将式(15.61)代入式(15.60)经整理得如下三个常微分方程

0222mddimAe)(解 (15.62)

式中A是常数,可通过波函数的归一化来确定.根据波函数的单值性(即周期性边界条件)要求m只能取整数0，±1，±2，….称m为氢原子的磁量子数.

0122]sin[)(sinsinmdddd

(15.63)

024212202222RrmreEmdrdRrdrdree][)( (15.64)

式中λ是分离变量常数.

极角波函数)(的具体形式应由方程(15.63)求出,为确保其有限性,要求方程中的常数λ必须满足

),,,()(2101lll

(15.66)

lmlm,,,,,210即并且 (15.67)

在这些条件限制下,方程(15.63)的解)(是一个被称为蒂合勒让德函数的特殊函数,表示为)(cos)(mlP.

1 第15章 量子力学基础

人们用经典物理解释黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律时,遇到了不可克服的困难.经过不断的探索和研究,终于突破了经典物理的传统观念,建立起量子理论.量子理论和相对论是现代物理学的两大支柱.

量子理论的诞生,对研究原子、电子、质子、光子等微观粒子的运动规律提供了正确的导向.从此使物理学发生了一次历史性的飞跃,促进了原子能、激光、超导、半导体等众多新技术的生产和发展.本章前部分,分别介绍黑体辐射、光电效应、氢原子光谱等实验规律以及为解释这些实验规律而提出的量子假设,即早期的量子论.本章的后部分简要介绍量子力学的基本概念及原理,并通过几个具体事例的讨论说明量子力学处理问题的一般方法.

§15.1 黑体辐射与普朗克的量子假设

一、黑体辐射的基本规律

1 热辐射

组成物体的分子中都包含着带电粒子,当分子作热运动时物体将会向外辐射电磁波,由于这种电磁波辐射与物体的温度有关,故称其为热辐射.实验表明,热辐射能谱是连续谱,发射的能量及其按波长的分布是随物体的温度而变化的.随着温度的升高,不仅辐射能在增大,而且辐射能的波长范围向短波区移动.

物体在辐射电磁波的同时,也吸收投射到物体表面的电磁波.理论和实验表明,物体的辐射本领越大,其吸收本领也越大,反之亦然.当辐射和吸收达到平衡时,物体的温度不再变化而处于热平衡状态,这时的热辐射称为平衡热辐射.

为描述物体热辐射能按波长的分布规律,引入单色辐射出射度（简称单色辐出度）这一物理量,其定义为：物体单位表面积在单位时间内发射的、波长在d范围内的辐射能dM与波长间隔d的比值,用M(T)表示,即

ddMTM)( (15.1)

而辐出度定义为

0dTMTM)()( (15.2)

2 黑体辐射的基本规律

投射到物体表面的电磁波,可能被物体吸收,也可能被物体反射和透射.能够全部吸收各种波长的辐射能而完全不发生反射和透射的物体称为绝对黑体,简称黑体.绝对黑体是一种理想模型,实验室中用不透明材料制成带有小孔的空腔物体可近似看作黑体. 2 图15.1为用实验方法测得的黑体单色辐出度M B  (T)按波长和温度分布的曲线.