用截长补短法证明三角形全等

三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连结AE与∆与BCECD，证明（1）DBC∆≅ABE∆(2)DCAE=(3)AE与DC之间的夹角为︒60(4)DFB≅∆AGB∆(5)CFB≅∆EGB∆(6)BH平分AHC∠(7)ACGF//变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆，连结AE与CD，∆与BCE证明（1）DBC∆≅ABE∆（2）DCAE=（3）AE与DC之间的夹角为︒60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD∆，∆与BCE连结AE与CD，证明（1）DBCABE∆∆≅(2）DCAE=(3）AE与DC之间的夹角为︒60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,,二者相交于点HCE问：（1）CDEADG∆∆是否成立≅（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE∠例3：如图两个等腰直角三角形ADC与AG,,二者相交于点HEDG，连结CE问：（1）CDE∆是否成立ADG∆≅（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE∠例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立 （2）AE 是否与CD 相等（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分AHC ∠二、倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

班级：________姓名：________微专题利用截长补短法构造全等三角形1.如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连接AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连接DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E.求证：AF－AE＝BF.第1题图2.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且DE＝10，∠EAF＝45°，△EFC的周长为80，求EF的长．第2题图3.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝A B.连接AG，若AG＝3，DG＝1，求EG的长．第3题图4.如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图①，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，求证：AE＝AB＋DE；第4题图①(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，AB＝1，DE＝3，BD＝4，求AE的长．第4题图②5.在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD ＋S△ADC＝S△ABC＋S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC的面积．＝S△ABC(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为________cm2；(2)如图②，已知FG＝FN＝HM＝GH＋MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．第5题图微专题与角平分线有关的辅助线作法1.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，求△DEF的面积．第1题图2.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，求tan∠OBD的值．第2题图3.如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，点D、E分别为BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，求EF的长．第3题图4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF∥AB，求证：EF＝A C.第4题图微专题遇到中点如何添加辅助线1.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，连接BD，点E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，BC＝7，则BF的长为________．第1题图第2题图2.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是________．5.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF.第5题图6.如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF.(1)求证：DE＝DC；(2)求证：AF⊥BF.第6题图7.(2020南昌模拟改编)如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．观察猜想(1)如图①，线段PM与PN的数量关系是__________________________________________________________；探究证明(2)把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；拓展延伸(3)把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出PM·PN的最大值．图①图②第7题图班级：________姓名：________微专题全等、相似三角形的常见模型1.如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD 的是() A.∠E＋∠D＝90° B.AC＝AE＋CD C.EB＝BD D.∠EBD＝60°第1题图第2题图第3题图2.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，DF⊥AE，垂足为G，交BC于点F，CD＝45，则△AFG 的面积为________.3.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点，点E、F分别在AB、BC上，且∠EDF ＝90°，EF ＝32，则△DEF 的周长为_______________________________________________________．4.如图，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，∠1＝∠2＝∠BA C.求证：△ABE ≌△CAF .第4题图7.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC ，交CE 的延长线于点F .求证：AC ＝2BF .第7题图9.如图，一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，且AB ＝CB ＝4cm ，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处，且可以绕点D 旋转，在旋转过程中，两直角边与AB 、CB 的交点为G 、H .当三角板DEF 旋转至图中位置时，探究线段BG 和CH 数量关系，并证明．第9题图10.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠DAE 的两边交线段BC 于点D 、E ，且∠DAE ＝12∠BA C.(1)若AD ＝AE ，则BD 与CE 的数量关系为______________________________________________________；(2)求证：BD 2＋CE 2＝DE 2.第10题图11.如图①，正方形ABCD对角线的交点为E，以点E为顶点作正方形EFGH，且EF、EH分别经过点A，B，连接AH、DF，保持正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针旋转至图②.(1)判断图①中AH与DF之间的数量关系，并证明；(2)判断图②中AH与DF之间的位置关系，并证明．第11题图12.如图，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．第12题图。

全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例1、如图，ABC 中，AB=2AC AD平分BAC，且AD=BD求证：CD丄AC例2、如图，AD// BC AE, BE分别平分/DAB,/ CBA CD过点E,求证;AB = AD+BCBAC ,例3、如图，已知在VABC内，BAC 60 , C 400, P, Q分别在BC, CA上,并且AP, BQ分别是ABC的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP例4、如图，在四边形ABCD中，BO BA,A» CD, BD平分ABC , 求证：A C 180求证;AB —AC> PB- PC例5、如图在厶ABC中, AB>AC, / 1 = Z 2, P为AD上任意一点,例6、已知ABC中，A 60°, BD、CE分别平分ABC和.ACB , BD、CE交于点O ,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.例7、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN 有怎样的数量关系？变式练习如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点N , MD与MN有怎样的数量关系？上一点，且/ 例&如图所示.已知正方形ABCD中, M为CD的中点，E为MCBAE=2/ DAM 求证：AE=BC+CEDME例9、已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD=/ FAE.求证：BE+DF=AE.例10、如图所示，ABC是边长为2的正三角形, BDC是顶角为120°的等腰三角形, D为顶点作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.变式练习如图所示，ABC是边长为4的正三角形，BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.例11、五边形ABCDE K AB=AE BC+DE=CD / ABC+Z AED=180 ,求证：DA平分/ CDE例12、如图，在四边形ABCD中, AD// BC,点E是AB上一个动点，若/ B=60°, AB=BC且/ DEC=60,判断AD+AE 与BC的关系并证明你的结论。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

◎初中数学课堂教学实录与评点“截长补短”的思想在几何证明中的运用八年级数学组执教：江志雄点评：王胜峰【教学目标】●用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

【教学重点】●用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

【教学难点】●用“截长补短法”解决线段的和、差问题。

【教学用具】●电脑、课件三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件。

【教学设计思路】本节课是根据八年级第一学期学习全等三角形后的一次专题讲解，主要要求学生掌握截长补短法来证明线段的和与差问题，体会数学上的转化思想。

线段的和差问题,常常借助于全等三角形的对应边相等,将不在一条直线的两条(或几条)线段转化到同一直线上.可以通过翻折构造全等三角形.在无法进行直接证明的情形下,利用"截长补短"作辅助线的方法,常可使思路豁然开朗,问题迎刃而解.【教学过程】一、导入新课明确环节师：上课！同学们好！生：老师好！师：同学们，在本周我们学习了三角形全等的性质与判定，今天我和大家一起来学习如何证明线段的和、差问题。

（课件显示学习目标）（师生看大屏幕）师：我们一起来齐读学习目标；生：用“截长补短法”解决线段的和、差问题；（声音洪亮）师：好！同学们的声音很洪亮，相信你们一定能完成学习目标。

请同学们画一画——画一画：线段AB=CD+EF 线段CD=AB-EF线段AB=10cm 线段CD=6cm 线段EF=4cm师：通过我们画两段线段的和与差是否等于另一段线段，生：是！师：请哪位同学总结一下我们所有的方法呢？生：截长补短法：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。

【点评】通过教师的调动，让学生感受成功的机会，展示的机会，激发学生求知的欲望。

让学生通过画线段的和与差来体会截长补短法，鼓励学生，师生互动，营造良好的学习氛围。

板书课题、学习目标，使学生立即明确学习的目标，全身心投入我课堂的学习中来，积极探索新的方法，发散自己的思维。

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。

求证： CD=AD+BC。

思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明∵//CE AB （已知）∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∵()A.A.S ABD ECD △△≌，∵AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。