九年级数学上册 《生日相同的概率》同步练习1 北师大版

北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）A．50B．51C．50+1D．1012．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A 处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）A．100m B．50m C．50m D．m3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P的距离为（ ）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里4．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）A．20米B．米C．米D．米5．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，此时王英同学离A地（ ）A．m B．100m C．150m D．m6．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（ ）A．82米B．163米C．52米D．30米7．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．10．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 m．（小兰身高忽略不计，取）11．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米．12．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）13．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）14．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）15．军方派出搜救船在失事海域搜寻飞机残骸和黑匣子（如图）．在海面A处搜救船测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续直线航行2千米后再次在B处测得俯角为45°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底C处距离海面的深度？（参考数据：）16．如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．（1）用含α、β和m的式子表示h；（2）当α＝45°，β＝60°，m＝50米时，求h的值．（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）17．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2021米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：＝1.732，＝1.414）18．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．19．如图，在与河对岸平行的南岸边有A、B、D三点，A、B、D三点在同一直线上，在A 点处测得河对岸C点在北偏东60°方向；从A点沿河边前进200米到达B点，这时测得C点在北偏东30°方向，求河宽CD．20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）21．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A 处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．（参考数据＝1.732）22．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．23．某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD 向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）24．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE＝1.5米，CD＝30米，求塔高AB．（保留根号）25．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）参考答案1．解：设AG＝x米，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x（m），在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x（m），∴x﹣x＝100，解得：x＝50．则AB＝（50+1）米．故选：C．2．解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．故选：A．3．解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，故CP＝AP＝40（海里），则PB＝＝40（海里）．故选：A．4．解：∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，则BC＝AB tan∠BAC＝30×＝10米．如图，过点D作DF⊥AF于点F．在Rt△AFD中，AF＝BC＝10米，则FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故选：A．5．解：AD＝AB•sin60°＝50；BD＝AB•cos60°＝50，∴CD＝150．∴AC＝＝100．故选：D．6．解：设楼高AB为x．在Rt△ADB中有：DB＝＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．而CD＝BD﹣BC＝（﹣1）x＝60，解得x≈82．故选：A．7．解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB•tan30°＝30×＝10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．8．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）．故答案为：750．9．解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．故答案为：12．10．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝50m．∴DC＝BD•sin60°＝50×＝43.3．故答案为：43.3．11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE＝CD＝6米，AC＝DE．设BE＝x米．在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝x米，∴AC＝DE＝x米．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC＝×x＝3x米，∵AB﹣BE＝AE，∴3x﹣x＝6，∴x＝3，AB＝3×3＝9（米）．即旗杆AB的高度为9米．故答案为9．12．解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．13．解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，∵在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x，在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，∴AE+BE＝x+x＝100（3+），解得x＝100，∴AC＝2x＝200．在△ACD中，∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得y＝100（3﹣），∴AD＝2y＝200（3﹣）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；（2）∵由（1）可知，DF＝AF＝×100（3﹣）≈219．∵219＞200，∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．14．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CD tan∠ACD＝1000米，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD tan∠BCD＝3000米，∴AB＝BD﹣AD＝2000米．答：此时渔政船和渔船相距2000米．15．解：过C作CD垂直AB于D点，设CD为x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，AC＝CD＝2x，AD ＝AB+CD＝2+x，∴在Rt△ACD中有：（2+x）2+x2＝（2x）2，∴（舍去）．答：海底C处距海面2.732千米．16．解：（1）在Rt△ABC中，有BC＝AB÷tanα＝；同理：在Rt△ABD中，有BD＝AB÷tanβ＝；且CD＝BC﹣BD＝m；即﹣＝m；故h＝，（2）将α＝45°，β＝60°，m＝50米，代入（1）中关系式可得h＝，＝，＝75米+25米，≈118.3米．17．解：设CF＝x米，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x米，＝tan30°，即AC＝x米，∵AC﹣BC＝1200米，∴x﹣x＝1200，解得：x＝600（+1），则DF＝h﹣x＝2021﹣600（+1）≈382（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约382米．18．解：根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴BD＝AD﹣AB＝CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝36°，∴tan36°＝，∴BD＝CD•tan36°，∴CD•tan36°＝CD﹣112，∴CD＝≈≈415（m）．答：天塔的高度CD约为：415m．19．解：根据题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝200米，CD⊥AB，则∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，则BC＝AB＝200米，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝200×＝100（米）．答：河宽CD为100米．20．解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，3x＝（x+100），解得x＝50+50＝136.6，∴CD＝CE+ED＝136.6+1.5＝138.1≈138（m）．答：该建筑物的高度约为138m．21．解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，∵A在B北偏东60°方向上，∴∠ABD＝30°，又∵A在C北偏东30°方向上，∴∠ACD＝60°又∵∠ABC＝30°，所以∠BAC＝30°，∴∠ABD＝∠BAC，所以AC＝BC∵BC＝120，所以AC＝120在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝120，∴CD＝60，AD＝在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，∴AB＝第一组时间：第二组时间：因为207.84＞150所以第二组先到达A处．答：第二组先到．22．解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D．设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45度．∴BD＝PD＝x．在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°∴AD＝x∵AD＝AB+BD∴x＝12+x∴x＝∵6（+1）＜18∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．23．解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∠ADE＝60°，CD＝18，设线段AE的长为x米，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴CE＝x，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝tan60°＝，∴DE＝x，∵CD＝18，且CE﹣DE＝CD，∴x﹣x＝18，解得：x＝27+9，∵BE＝1米，∴AB＝AE﹣BE＝（26+9）（米）．答：塔AB的高度是（26+9）米．24．解：设AF＝x；在Rt△AGF中，有GF＝＝x，同理在Rt△AEF中，有EF＝＝x．结合图形可得：GE＝CD＝EF﹣GF＝30即x﹣x＝30，解可得：x＝15；故AB＝15+答：塔高AB为15+米．25．解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝x．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝x．∵BD+CD＝BC，∴x+x＝150，∴x＝75（3﹣）≈95．即A点到河岸BC的距离约为95m．。

北师大初三数学（上册）
第一单元第一章证明（二）
1.1你能证明它们吗
1.2直角三角形
1.3线段的垂直平分线
1.4角平分线
第二单元一元二次方程
2.1花边有多宽
2.2配方法
2.3公式法
2.4分解因式法
2.5为什么是1.618
第三单元证明（三）
3.1平行四边形
3.2特殊平行四边形
第四单元视图与投影
4.1视图
4.2太阳光与影子
4.3灯光与影子
第五章反比例函数
5.1反比例函数
5.2反比例函数的图象与性质
5.3反比例函数的应用
第六章频率与概率
6.1频率与概率
6.2投针试验
6.3生日相同的概率
6.4池塘里有多少条鱼
北师大初三数学（下册）
第一单元直角三角形的边角关系1.1从梯子的倾斜程度谈起
1.230o，45o，60o角的三角函数值1.3三角函数的有关计算
1.4船有触礁的危险吗
1.5测量物体的高度
1.6回顾与思考
第二单元二次函数
2.1二次函数所描述的关系
2.2结识抛物线
2.3刹车距离与二次函数
2.4二次函数--的图象
2.5用三种方式表示二次函数2.6何时获得最大利润
2.7最大面积是多少
2.8二次函数与一元二次方程第三单元圆
3.1车轮为什么做成圆形
3.2圆的对称性
3.3圆周角和圆心角的关系3.4确定圆的条件
3.5直线和圆的位置关系
3.6圆和圆的位置关系
3.7弧长及扇形的面积
3.8圆锥的侧面积
第四单元统计与概率
4.1(50年的变化)
4.2哪种方式更合算
4.3游戏公平吗。

北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案(考试时间：120分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题共18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是(A)A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补2．下列命题中，错误的是(C)A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等3．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O，C的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点B的坐标是(C)A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)第3题图第4题图4．如图所示，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长是30 cm，则AB的长为(A)A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．7.5 cm5．若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两个邻角的度数比为(C)A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为(A) A．1 B．2 C. 2 D.3第6题图第7题图第Ⅱ卷(非选择题共102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，AE交CD于F，则∠E＝__22.5°__.8．矩形的两邻边长分别为3 cm和6 cm，则顺次连接各边中点，所得四边形的形状一定是菱形，其面积是9 cm2.9．★如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E 处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是__4__.第9题图第10题图10．如图所示，矩形中有两个相邻的正方形，面积分别是3和9，那么阴影部分的面积11．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝__7__，CD＝__5__.第11题图第12题图12．★(徐州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(广州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD 的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，即∠ABD＝60°.14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO.∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.15．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BC ＝DC ，∠BCD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DCF ＝90°.在△BCE 与△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ，CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF. 16．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，EF 平分∠BED ，求证：EF ⊥BD .证明：∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴△ABC 和△ADC 都是直角三角形， 且有公共斜边AC.又∵E 是公共斜边AC 的中点， ∴BE ＝DE ＝12AC.又∵EF 平分∠BED ，∴EF ⊥BD.17．(广安中考)如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF ＝BE .证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC ，∴∠CBE ＝∠CDF.∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ， ∴∠CFD ＝∠CEB ＝90°， 在△CEB 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠CEB ＝∠CFD ，∠CBE ＝∠CDF ，CB ＝CD ，∴△CEB ≌△CFD(AAS)，∴DF ＝BE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(荆州中考)如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，将△ABC 沿BC 方向平移，使点B 移到点C ，得到△DCE .(1)求证：△ACD ≌△EDC ；(2)请探究△BDE 的形状，并说明理由．(1)证明：∵△DCE 是由△ABC 平移而得到的，∴△DCE ≌△ABC. ∵△ACD ≌△CAB ，∴△ACD ≌△EDC ； (2)解：△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝DE ，AC ＝DB ，∴DE ＝DB ，∴△BDE 是等腰三角形．19．如图，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE ＝BF ，EF 与BC 相交于点G . (1)求证：AE ＝CF ；(2)若∠ABE ＝55°，求∠EGC 的度数．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC. ∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°.∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°，∴∠ABE ＝∠CBF.在△AEB 和△CFB 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ，∴△AEB ≌△CFB(SAS)，∴AE ＝CF.(2)解：∠EGC ＝80°.20．(贺州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BD 平分∠ABC ，AC ⊥BD ，垂足为点O .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若CD ＝3，BD ＝25，求四边形ABCD 的面积．(1)证明：∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠ADB ＝∠CBD.又∵AC ⊥BD ，AB ＝AD ，∴BO ＝DO(等腰三角形“三线合一”)．在△AOD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOD ＝∠COB ，OB ＝OD ，∠ADO ＝∠CBO.∴△AOD ≌△COB(ASA)，∴AO ＝CO.又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝12BD ＝ 5.在Rt △CDO 中，OC ＝CD 2－OD 2＝32－（5）2＝2，∴AC ＝4. ∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12× 4× 25＝4 5.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在直线AC 上(点E 在F 左侧)，BE ∥DF . (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长．(1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD. 由BE ∥DF 得∠BEO ＝∠DFO.又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△BEO ≌△DFO. ∴BE ＝DF.又∵BE ∥DF ， ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)解：∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213， ∴AC ＝6，∴AO ＝3， ∴在Rt △BAO 中，BO ＝5. 又∵四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ＝5，∴点E 在OA 的延长线上，且AE ＝2.22．(杭州中考)如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B ，D 重合)，GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连接AG .(1)写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)关系：AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2；(2)作AM⊥BG于M，依题意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.设GM＝x，则AM＝BM＝3x.在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，∴(3x)2＋(3x)2＝1，∴x＝6 6，∴BG＝x＋3x＝66＋3×66＝6＋326.六、(本大题共12分)23．(威海中考)如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.在△ABF和△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.∴∠EAF＝∠BAD.∵AB＝AC，AC＝AE，∴AB＝AE.在△AEF和△ABD中，AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，∴△AEF≌△ABD.∴BD＝EF.(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABN＝90°.由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∴四边形ABNE是矩形．又∵AE＝AB，∴矩形ABNE是正方形．。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定形》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BCC．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BDD．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC3．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．54．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF ＝20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．20B．25C．30D．356．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．2.4B．3.4C．D．8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．310．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在F A上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD 边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为．13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为．14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．15．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC 于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．18．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．（1）求证：DE＝BF；（2）若AH平分∠F AE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．19．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．求证：（1）BG＝DE；（2）CM＝AF．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．（3）当∠ABC＝°时，四边形OCED是正方形．参考答案一．选择题1．解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项A不符合题意；B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项D符合题意．故选：D．2．解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°，不符合题意；B、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；C、当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD，符合题意；D、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；故选：C．3．解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，故选：B．6．解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．7．解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．∴EF的长为3.4．故选：B．8．解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠P AQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠P AQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A．9．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．10．解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝3，∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．故选：C．二．填空题11．解：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：912．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝×（3﹣2）＝，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝，∴MH＝3﹣＝，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故答案为：．13．解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+BF＝AF+BF，作点A关于DC的对称点H，连接FH，BH，∴AF＝FH＝AE，∴AE+BF＝FH+BF，∴点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，∴BH＝＝＝5，故答案为：5．14．解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．15．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝，∴FG＝＝2，∴MN＝1，故答案为：1．三．解答题16．解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．17．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四边形OGCF是矩形，∴四边形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的边长为2﹣2．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠F AB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，，∴△BAF≌△DAE（ASA），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：由（1）知△BAF≌△DAE，∴AF＝AE，∵AH平分∠F AE，∴∠F AH＝∠EAH，在△F AH与△EAH中，，∴△F AH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．19．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，在Rt△BGC和Rt△DEC中，∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），∴BG＝DE，（2）连接AC，FC，∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，∴△ACF为直角三角形，又∵M是AF的中点，∴CM＝AF．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，即DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∠ABO＝ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴AO＝AB＝1，OB＝AB＝，∵OD＝OB＝，OC＝OA＝1，∴矩形OCED周长＝2（OD+OC）＝2+2；（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，∴OD＝OC，∵四边形OCED是矩形，∴四边形OCED是正方形，故答案为：90．。

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率（1）学习目标：1. 进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率. 2．会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．学习重点：借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．学习难点：理解两步试验中“两步” 之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．学习过程：一、导入新课：1、问题再现：小明和小凡一起做游戏。

在一个装有 2 个红球和3 个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜。

（1）这个游戏对双方公平吗？（2）在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？2、提出新问题：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。

三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。

游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。

你认为这个游戏公平吗？（如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大？）二、自学指导：1、自主学习（1）每人抛掷硬币20次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格：（2）累计各组的试验数据，相应得到试验100 次、200 次、300次、400 次、500次时出现各种结果的频率（3）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上” “两枚反面朝上” “一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。

由此，你认为这个游戏公平吗？活动体会：从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上。

一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。

所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。

2、合作交流：小组讨论P60 页“议一议” 探究体会：由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上” 的概率相同。

北师大版九年级数学上册目录
第一章特殊的平行四边形
1.菱形的性质与判定
2.矩形的性质与判定
3.正方形的性质与判定
回顾与思考
复习题
第二章一元二次方程
1.认识一元二次方程
2.配方法
3.公式法
4.因式分解法
5.一元二次方程的应用
回顾与思考
复习题
第三章相似图形
1.成比例线段
2.平行线分线段成比例
3.相似多边形
4.相似三角形的判定
5.黄金分割
6.测量旗杆的高度
7.相似三角形的性质
8.图形的放大与缩小
回顾与思考
复习题
第四章投影与视图
1.投影
2.视图
回顾与思考
复习题
第五章反比例函数
1.反比例函数
2.反比例函数的图象与性质
3.反比例函数的应用
回顾与思考
复习题
第六章对概率的进一步研究
1.游戏公平吗
2.投针试验
3.生日相同的概率
回顾与思考
复习题
综合与实践
⊙池塘里的鱼
⊙猜想、证明与拓广⊙制作视力表
总复习。

一、选择题1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率2．王老师的讲义夹里放了大小相同的试卷12张，其中语文5张，数学4张，外语3张，他随机从讲义夹中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率是（）A．14B．13C．512D．123．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（）A．13B．12C．22D．344．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（）．A．23B．12C．13D．165．小丽书包里准备的3只包装相同的备用口罩中有2只是医用外科口罩，由于感冒她想取一只医用外科口罩去医院就医时佩戴，则她一次取对的概率是（）A．0 B．12C．13D．236．如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）A．1 B．12C．13D．147．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．20 B．15 C．10 D．58．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为（）A．13B．14C．16D．1369．均匀的四面体的各面上依次标有1,2,3,4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（）A．316B．14C．168D．11610．为了解历下区九年级男生的身高情况，随机抽取了100名九年级男生，他们的身高()x cm统计如下,根据以上结果，抽查一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.1511．一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，则他合格的概率为（）A．710B．12C．25D．1512．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（）A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3C．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜D．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同二、填空题13．在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球不放回，再随机摸取一个小球，两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是____________．14．袋中有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从中任意摸一个球，恰好摸到白球的概率为14”，则这个袋中的白球大约有_____个. 15．一个不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出2个球，摸出两个颜色不同的小球的概率为_____．16．现有6张正面分别标有数字1,0,1,2,3,4-的不透明卡片，这些卡片除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程2220x x a -+-=有实数根的概率为____．17．往如图所示的地板中随意抛一颗石子（石子看作一个点），石子落在阴影区域的概率为___________18．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．19．一个盒中装有4个均匀的球，其中2个白球，2个黑球，今从中任取出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为a b 、，则a 与b 的大小关系为__________． 20．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____．三、解答题21．河口瑶族自治县位于红河哈尼族彝族自治州东南部，隔红河与越南老街市、谷柳市相望，是云南唯一一个以瑶族为主体的自治县．瑶族人民的粽粑是当地一种美味的特色小吃，包粽粑是瑶族传统的“盘王节”（农历十月十六）活动之一．盘王节那天，小盘同学回家看到桌子上有一盘粽粑，其中花生仁、紫苏仁各1，豆沙仁2个，这些粽粑除陷外，其它无差别．（1）小盘随机地从盘子中取一个粽粑，求取出的是花生仁的概率；（2）小盘随机地从盘子中取出两个粽粑，请用列表法或画树状图法表示所有可能的结果，并求出小盘取出的两个粽粑都是豆沙粽粑的概率．22．我国在2020年11月1日启动第七次人口普查．为了调查学生对人口普查知识的了解程度，湖州市某学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题．（1）本次抽样调查的人数是______人；（2）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数约为多少？（3）根据调查结果，学校准备开展关于人口普查知识竞赛，某班要从“非常了解”的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．23．九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为；（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．24．从2名男生和2名女生中随机抽取上海迪斯尼乐园志愿者．（1）抽取1名，恰好是男生的概率是；（2）抽取2名，用列表法或画树状图法求恰好是1名男生和1名女生的概率．25．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A，B，C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D，E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．请用画树状图或列表的方法，求小明恰好抽中B，D两个项目的概率．26．为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为A、B、C、D四个等次，绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a=，b=，c=；（2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为°；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为13，故此选项正确；D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为131524；故此选项错误．故选：C．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．2．B解析：B【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学4页， ∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为41123=． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 3．B解析：B 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．根据正八边形性质求出阴影部分面积占总面积之比，进而可得到答案 【详解】解：由正八边形性质可知∠EFB=∠FED=135°，故可作出正方形ABCD ．则AEF 是等腰直角三角形，设AE x =，则AF x =，2EF x =，正八边形的边长是2x ．则正方形的边长是(22)x +．则正八边形的面积是：(2221(22)44122x x x ⎡⎤-=+⎣⎦， 阴影部分的面积是：2212[(22)2]2(21)2x x x x -⨯=．()2221241122x x++=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：一般用阴影区域表示所求事件（A ）；首先根据题意将代数关系用面积表示出来；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A ）发生的概率．同时也考查了正多边形的计算，根据正八边形性质构造正方形求面积比是关键．4．C【分析】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【详解】∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右 设草鱼的条数为x ，可得：0.51600800xx=++∴x ＝2400∴捞到鲤鱼的概率为：16001160080024003=++故选：C ． 【点睛】本题考察了概率、一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．5．D解析：D 【分析】直接运用概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵小丽书包里有3只包装相同的备用口罩，2只是医用外科口罩， ∴她取一只医用外科口罩的概率为：23， 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 6．B解析：B 【分析】根据题意，先列举所有的可能结果，然后选取能组成等腰三角形的结果，根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：根据题意，在A ，B ，C ，D 四个点中任选三个点，有： △ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD ，共4个三角形； 其中是等腰三角形的有：△ACD 、△BCD ，共2个； ∴能够组成等腰三角形的概率为：2142P ==；【点睛】本题考查了列举法求概率，等腰三角形的性质，勾股定理与网格问题，解题的关键是熟练掌握列举法求概率，以及正确得到等腰三角形的个数．7．B解析：B【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数.【详解】白色球的个数是50(127%43%)15个，故选：B.【点睛】此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键. 8．C解析：C【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．【详解】列表得：∴两个骰子的点数相同的概率为：61=366故选：C【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比9．B解析：B【分析】列举出所有情况，看着地的一面数字之和为5的情况占总情况的多少即可．【详解】同时抛掷两个这样的正四面体，可能出现的结果有16种，数字之和为5的有4种，所以着地的一面数字之和为5的概率是41 164故选：B.【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．D解析：D【分析】先计算出样本中身高不低于180cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】样本中身高不低于180cm的频率=15100=0.15，所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．故选D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．11．A解析：A【分析】列举出所有情况，看合格的情况数占所有情况数的多少即可．【详解】共有20种情况，合格的情况数有14种，所以概率为7 10．故选A．【点睛】考查用列树状图的方法解决概率问题；得到合格的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明12．C解析：C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为14，不符合题意；B、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3的概率为112，不符合题意；C、小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜的概率为13，符合题意；D、一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同的概率为1925，不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题13．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种然后根据概率的概念计算即可【详解】画树状图得：由树状图可知：所有可能情况有12种其中两次摸出的小球标号的和等于4解析：1 6【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．【详解】画树状图得：由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率＝21 126，故答案为：16．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．14．2【解析】分析：根据若从中任摸一个球恰好是白球的概率为列出关于n的方程解方程即可详解：∵袋中装有6个黑球和n个白球∴袋中一共有球（6+n）个∵从中任摸一个球恰好是白球的概率为=解得：n=2故答案为2解析：2【解析】分析：根据若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为14，列出关于n的方程，解方程即可．详解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个．∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为146nn∴+，=14，解得：n=2．故答案为2．点睛：本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．15．【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况从中找出两个球颜色不同的结果数进而求出概率【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种不同的结果数其中两个球颜色不同的有6种∴摸出两个颜色不同解析：1 2【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，∴摸出两个颜色不同的小球的概率为61122=，故答案为：12．【点睛】本题考查随机事件的概率，可用列表法和树状图法来解，属于中考常考题型．16．【分析】先由一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根得出a的取值范围最后根据概率公式进行计算即可【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根∴4-4（a-2）≥0∴a≤3∴a=-101解析：5 6【分析】先由一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根，得出a的取值范围，最后根据概率公式进行计算即可．【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根，∴4-4（a-2）≥0，∴a≤3，∴a=-1，0，1，2，3．∴使得关于x的一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根概率为：56.【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使一元二次方程x2-2x+a-2=0有实数根情况数是解决本题的关键．17．【分析】求概率时已知和未知与几何有关的就是几何概率计算方法是长度比面积比体积比等【详解】设最小正方形的边长为1则小正方形边长为2阴影部分面积=2×2×4+1×1×2=18白色部分面积=2×2×4+1解析：1 2【分析】求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．【详解】设最小正方形的边长为1，则小正方形边长为2，阴影部分面积=2×2×4+1×1×2=18，白色部分面积=2×2×4+1×1×2=18，故石子落在阴影区域的概率为181=18+182．故答案为：12．【点睛】本题考查了概率，正确运用概率公式是解题的关键．18．10【分析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率再由简单事件的概率公式列出方程求解即可【详解】解：摸了150次其中有50次摸到黑球则摸到黑球的频率是设口袋中大约有x个白球则解得故答案为：10【点睛】考解析：10【分析】先由“频率=频数÷数据总数”计算出频率，再由简单事件的概率公式列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是501 1503=，设口袋中大约有x个白球，则5153x=+，解得10x=．故答案为：10．【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．19．【分析】分别求出两球同色与两球异色的可能性然后比较大小即可【详解】根据盒子中有2个白球2个黑球可得从中取出2个球一共有6种可能：2白2黑1白1黑（4种）∴两球同色的可能性为两球异色的可能性为∵∴故答解析：a b<【分析】分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性，然后比较大小即可．【详解】根据盒子中有2个白球，2个黑球可得从中取出2个球，一共有6种可能：2白、2黑、1白1黑（4种）∴“两球同色”的可能性为2163a==“两球异色”的可能性为4263 b==∵1233<∴a b<故答案为：a b<．【点睛】本题考查了概率的问题，掌握“两球同色”与“两球异色”的可能性是解题的关键．20．【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可【详解】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4∴击中黑色区域的概率＝＝故答案是：【点睛】本题考查了几何概率：求概率时已知和未知与几解析：1 5【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】解：黑色区域的面积＝3×3﹣12×3×1﹣12×2×2﹣12×3×1＝4， ∴击中黑色区域的概率＝420＝15． 故答案是：15． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．三、解答题21．（1）14；（2）16． 【分析】（1）直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率；（2）用列表法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案． 【详解】解：（1）共有4个等可能结果，其中花生仁有1个 ∴P （小盘从中随机地从盘子中取一个粽粑，取出的是花生仁）111124==++．（2）由题意可得：∴P （小盘取出的两个粽粑都是豆沙粽粑）21126==． 【点睛】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键．22．（1）400；（2）300人；（3）不公平，理由见解析【分析】（1）把条形统计图给出的数据相加即可得出答案；（2）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平．【详解】解：（1）本次抽样调查的人数是：20+60+180+140=400（人），故答案为：400；（2）这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数有：2000×60400=300（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情况，∴P（颜色相同）=41123=，P（颜色不同）=82123=，∴游戏规则不公平．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．注意概率相等，则公平，否则不公平．23．（1）14；（2）图见解析，12．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵共有4张卡片，∴小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为14，故答案为：14；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率为：61 122=．【点睛】本题考查了概率的应用，掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法是解题的关键．24．（1）12；（2）图表见解析，P=23【分析】（1）根据题意，抽取1名志愿者总共有4种可能，男生有2人，利用概率公式即可求解抽取1名恰好是男生的概率；（2）根据题意列表，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解．【详解】（1）抽取1名，恰好是男生的概率为：2142P==，（2）列表得：由表格可知：总共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种结果，所以抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率为：82123P==．【点睛】本题考查了概率的求解，解题关键是准确列出表格，得到所有的等可能结果，再从中选取符合条件的结果，然后利用概率公式计算．25．1 6【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】小明在两个阶段参加项目的所有可能的结果如下表：其中抽中B ，D 两个项目的结果有1中， 所以小明恰好抽中B ，D 两个项目的概率为P ＝16【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 26．（1）2，45，20；（2）图见解析，72；（3）16【分析】（1）用A 等次的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再分别求出a 和B 等次的人数，然后计算出b 、c 的值；（2）先补全条形统计图，然后用360°乘以C 等次所占的百分比得到C 等次的扇形所对的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出甲、乙两名男生同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）1230%40÷=， 405%2a =⨯=；401282%100%45%40b ---=⨯=，即45b =； 8%100%20%40c =⨯=，即20c =； 故答案为：2，45，20；（2）B 等次人数为40128218---=， 条形统计图补充为：C等次的扇形所对的圆心角的度数20%36072=⨯︒=︒；故答案为72︒；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中甲、乙两名男生同时被选中的结果数为2，所以甲、乙两名男生同时被选中的概率21 126 ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．。