2020高考新创新一轮数学理科通用版课时跟踪检测四十八系统知识圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系

课时跟踪练(五十五)A 组 基础巩固1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．答案：B2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1，1)，半径r ＝2－a ， 圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4. 答案：B3．(2019·深圳调研)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，α，β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan(α＋β)的值为( )A ．－2 2B ．－ 2C ．0D ．2 2解析：由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故选A.答案：A4．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8解析：连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55，所以在Rt △ACO 2中， AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2， 所以AB ＝2AC ＝4.故选B. 答案：B5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2，0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为12AB ·d max＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6]． 故选A. 答案：A6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________________________．解析：因为圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)， 所以直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝07．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：由x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心为C (1，1)，|PC |＝（3－1）2＋（2－1）2＝ 5.设两切点分别为B ，D ，则|CD |＝1，所以sin ∠CPD ＝55， 则cos ∠DPB ＝1－2 sin 2∠CPD ＝1－25＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.答案：358．[一题多解](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝________．解析：法一 由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝2 3.所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝2 12－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， 所以k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 所以|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， 所以A (－3，3)，B (0，23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2， 所以|CD |＝2－(－2)＝4. 答案：49．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1，3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5，6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，所以|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5，6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离为|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.10．已知点P (2＋1，2－2)，M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解：由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2. (1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)， 即x －y ＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， 所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 所以直线x －3＝0是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. 因为|MC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.B 组 素养提升11．(2019·广州综合测试〈二〉)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( )A ．15B ．9C ．1D ．－53解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2k |2≤k 2－2k ＋3，k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1.因为点P 是直线与圆的公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2k ，a 2＋b 2＝k 2－2k ＋3， 即ab ＝32k 2＋k －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋132－53，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 答案：B12．(2019·茂名模拟)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，1]B ．[2－3，2＋3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 D ．[0，＋∞)解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为 (x －2)2＋(y －2)2＝18，则圆心坐标为(2，2)，半径为3 2.由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点的直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2， 则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若a ＝0，则b ＝0，不符合题意， 故a ≠0且b ≠0，则①可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4ba ≤0，由于直线l 的斜率k ＝－ab，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b a ≤0可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－4k≤0，解得k ∈[2－3，2＋3]，故选B. 答案：B13．[一题多解](2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：法一 设A (a ，2a )，a >0，则C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝（a －5）24＋a 2，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋（y －a ）2＝（a －5）24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，所以AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1，又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.法二 由题意易得∠BAD ＝45°. 设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12，所以tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3， 所以k AB ＝tan ∠ABO ＝－3. 所以AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（3－5），y ＝2x ，得x A ＝3. 答案：314．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）， 消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，即2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4，0)时，能使得x 轴平分∠ANB .。

第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r为定值，a，b是参数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. ( )[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，所以圆的方程为x2＋y2＝2.] 3．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定A[将点(m2,5)代入圆方程，得m4＋25>24.故点在圆外，故选A.]4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )A．R B．(－∞，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.]5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1A[由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a>0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.]1. 过点A(1，－1)，B(－( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [AB 的中垂线方程为y ＝x ，所以由y ＝x ，x ＋y －2＝0的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，故选C.]2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________．(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 [过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.]3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________． x 2＋y 2－2x ＝0 [法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎨⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.]►考法1【例1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx 的最大值为________，最小值为________． 3 －3 [原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.(如图所示)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. ►考法2 截距型最值问题【例2】 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ， t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. ►考法3 距离型最值问题【例3】 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．求|MQ |的最大值和最小值；[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |m ax ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题(1)如果实数x ，y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________． (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)7 [(1)(x ，y )在圆上，y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ，y )与点(1，－3)连线的斜率，结合图象(图略)，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k ，切线方程为kx －y －3－k ＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k －3|1＋k2＝1，k ＝43，故取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. (2)切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.]【例4】 已知圆x 2＋Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9. 设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9，化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.1．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． [解] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2， 由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4， 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

第九章⎪⎪⎪解析几何第一节 直线与方程[考纲要求]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l 的倾斜角α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 二、填空题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________． 答案：343．(2019·湖南百所中学检测)若直线l 1：ax ＋y －1＝0与l 2：3x ＋(a ＋2)y ＋1＝0平行，则a 的值为________． 答案：14．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π[全析考法]考法一 直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大； (2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)(2019·江西五校联考)已知直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( )A.23 B.32 C ．－23D ．－32(2)(2019·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，πC.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4[解析] (1)设P (a,1)，Q (b ，b －7)， 则⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以P (－2,1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－(－3)－2－4＝－23，故选C.(2)直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.[答案] (1)C (2)C [方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．考法二 两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A (－3，m )，B (m,5)的直线与直线3x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．3 B ．7 C ．－7D ．－9 (2)(2019·安徽六安四校联考)设m ∈R ，则“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题可知，5－m m ＋3＝－3，解得m ＝－7，故选C.(2)由直线l 1与l 2垂直可得(m ＋1)(m －1)＋(1－m )·(2m ＋1)＝0，解得m ＝0或m ＝1.所以“m ＝0”是“直线l 1：(m ＋1)x ＋(1－m )y －1＝0与直线l 2：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法[提醒] 况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[集训冲关]1.[考法一]已知直线过A (2,4)，B (1，m )两点，且倾斜角为45°，则m ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－1解析：选A ∵直线过A (2,4)，B (1，m )两点，∴直线的斜率为m －41－2＝4－m .又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m ＝1，∴m ＝3.故选A.2.[考法一、二]已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos 2θ的值为( ) A.35 B ．－35C.15D ．－15解析：选B 由题意得－12·tan θ＝－1，∴tan θ＝2，cos 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，故选B. 3.[考法二]若直线l 1：ax －(a ＋1)y ＋1＝0与直线l 2：2x －ay －1＝0垂直，则实数a ＝( ) A ．3 B ．0 C ．－3D ．0或－3解析：选D ∵直线l 1与直线l 2垂直，∴2a ＋a (a ＋1)＝0，整理得a 2＋3a ＝0， 解得a ＝0或a ＝－3.故选D.4.[考法二]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0的斜率都是－12，截距不相等，∴两条直线平行，故前者是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a 1＝2a ＋1≠－14，解得a ＝－2或a ＝1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选C.突破点二 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式截距式横截距a ，纵截距bx ＋y ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( ) (3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( )答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________． 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝02．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 斜率的－14的直线方程为____________．答案：3x ＋4y ＋15＝03．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________． 解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝0[全析考法]考法一 求直线方程[例1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程． [解] (1)k BC ＝－5－(－1)6－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)， 即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－5－76－(－4)＝－65.∵菱形的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56.∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.[方法技巧]求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．考法二 与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1(2)若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)[解析] (1)直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D.(2)令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．[答案] (1)D (2)C [方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y ； (2)将问题转化成关于x (或y )的函数；(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[集训冲关]1.[考法一]已知直线l 过点P (1,3)，且与x 轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：选A 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0.故选A.2.[考法一]过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________． 解析：当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1(a ≠0)，即x －y ＝a (a ≠0)，把(－3,5)代入，得a ＝－8， 所以直线方程为x －y ＋8＝0.故所求直线方程为y ＝－53x 或x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝03.[考法二]已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：直线l 1可写成a (x －2)＝2(y －2)，直线l 2可写成2(x －2)＝a 2(2－y )，所以直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154.当a ＝12时，面积最小．答案：12突破点三 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 二、填空题1．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为________． 答案：2－12．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________． 答案：8233．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二4．(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为______________． 答案：2x －y －3＝0[全析考法]考法一 距离问题[例1] (2019·北京西城期中)已知直线l 经过点P (－2，1)． (1)若点Q (－1，－2)到直线l 的距离为1，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程．[解] (1)当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为x ＝－2，符合要求； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 整理得kx －y ＋2k ＋1＝0，Q (－1，－2)到直线l 的距离d ＝|－k ＋2＋2k ＋1|k 2＋(－1)2＝|k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43，所以直线l 的方程为4x ＋3y ＋5＝0.(2)由题知，直线l 的斜率k 一定存在且k ≠0，故可设直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋1＝0， 当x ＝0时，y ＝2k ＋1，当y ＝0时，x ＝－2k ＋1k ， ∴2k ＋1＝－2k ＋1k ，解得k ＝－1或－12，即直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0. [方法技巧]1．解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．2．求两条平行线间的距离要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．考法二 对称问题[例2] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， 因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. [方法技巧]1．中心对称问题的两种类型及求解方法2．轴对称问题的两种类型及求解方法[集训冲关]1.[考法一]“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，则有|1＋3＋C |12＋(3)2＝3，解得C ＝2或C ＝－10，故“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.2.[考法二]直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.3.[考法一]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝04.[考法二]若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则直线l 的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1,0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ba －1＝1，a ＋12＋b2－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，即点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l 的方程为y －23－2＝x －24－2，整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝0[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．(2019·永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则直线l 1与直线l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知，直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝ 2.3．(2019·成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，m 的值为( ) A. 2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q (2,1)，所以点P (3，2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时，P Q 垂直直线，即m ·2－13－2＝－1，∴m ＝－1，故选C.4．(2019·济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y 15＝1，即x ＋4y －30＝0.综上所述，可知选C. 5．(2019·深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限，则k 的取值范围是( ) A ．(－1,0)B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1.联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1＝0，x －ky ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝k 1－k 2，y ＝11－k 2，∴⎩⎨⎧k1－k 2＜0，11－k 2＞0，∴－1＜k ＜0.故选A.6．(2019·银川月考)点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3)D ．(－6,3)解析：选C 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·广州月考)已知点A (1，3)，B (－1,33)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120°D ．150°解析：选C 设直线AB 的倾斜角为α. ∵A (1，3)，B (－1,33)， ∴k AB ＝33－3－1－1＝－3，∴tan α＝－3，∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.故选C.2．(2019·惠阳月考)点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5 B.55C. 5D.255解析：选C 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.故选C. 3．(2019·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B.172 C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2D ．16解析：选A 因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0距离的平方，d ＝|－4|1＋1＝22，d 2＝8.5．(2019·重庆第一中学月考)光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A 到B 的距离为|AB ′|＝(－3－2)2＋[5－(－10)]2＝510.故选C.6．(2019·黄陵期中)不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3)D ．(9，－4)解析：选D ∵直线方程为(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5， ∴直线方程可化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0.∵不论m 为何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.故选D. 7．(2018·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|PA |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1，0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2,3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.8．(2019·大庆一中期末)设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 解析：选B 直线ax ＋y ＋2＝0过定点P (0，－2)，可得直线PA 的斜率k PA ＝－52，直线PB 的斜率k PB ＝43.若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则－52＜－a ＜43，解得－43＜a ＜52，故选B.9．(2019·河南新乡期末)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠ －10，故选C.10．(2019·淮安期末)若三条直线x ＋y －2＝0，mx －2y ＋3＝0，x －y ＝0交于一点，则实数m 的值为________． 解析：直线x ＋y －2＝0，x －y ＝0的交点为(1,1)，所以m －2＋3＝0，解得m ＝－1. 答案：－111．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________________．解析：l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c＝0，则|c ＋6|＝⎪⎪⎪⎪c ＋32，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0. 答案：12x ＋8y －15＝012．直线l ：x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．解析：设直线l 的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，直线l 的斜率k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎡⎦⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 13．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是________________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3， 得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3. 联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0.要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1,0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ 14．(2019·江苏如皋联考)“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空)解析：若l 1∥l 2，则m (m －2)－3＝0，解得m ＝3或m ＝－1(此时两直线重合，舍去)，所以m ＝3，必要性成立；若m ＝3，k 1＝k 2，l 1∥l 2，充分性成立，所以“m ＝3”是“两直线l 1：mx ＋3y ＋2＝0和l 2：x ＋(m －2)y ＋m －1＝0平行”的充要条件．答案：充要15．(2019·四川达州月考)已知直线l 过点(1,2)且在x ，y 轴上的截距相等． (1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 在x ，y 轴上的截距不为0，点P (a ，b )在直线l 上，求3a ＋3b 的最小值． 解：(1)①截距为0时，l ：y ＝2x ；②截距不为0时，k ＝－1，l ：y －2＝－(x －1)， ∴y ＝－x ＋3.综上，l 的一般方程为2x －y ＝0或x ＋y －3＝0.(2)由题意得l ：x ＋y －3＝0，∴a ＋b ＝3，∴3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝63，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，∴3a ＋3b 的最小值为6 3.16．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0. 所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|5＝ 5.。

2020届高三一轮复习数学精品资料：第七章直线与圆的方程（74页精美word ）§ 7.1直线的方程自主学习刖础自测x 轴的交点是P ,且倾斜角为，假设将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为+45°, 那么 A.0 ° < V 180° C 0°v < 135 〔 〕 B.0 ° < V 135° D. 0°V V 135 ° 答案 D2.〔2018 •全国I 文〕曲线y=x 【2x+4在点〔1 , 3〕处的切线的倾斜角为 A30 ° B45 ° C.60 A.1 B.4 C.1 或 3 答案 A4.过点 P 〔-1 , 2〕且方向向量为a=〔-1 , 2〕的直线方程为A.2 x+y=0B. x-2 y+5=0C. x-2 y=0 答案 B 3.过点M 〔-2 , m 〕，N 〔 m 4〕的直线的斜率等于1,那么m 的值为 答案 A5.（2018 •株州模拟）一条直线通过点 A 〔-2 , 2〕,同时与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔 〕 D120 °（）D.1 或 4〔 〕 D. x+2y-5=01,那么此直线的方程为答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 典例剖析例 1 三点 A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕，C〔 4 , 5〕求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明方法一 •/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔3 , 3〕，C 〔 4 , 5〕，--k AB =k BC , ••• A 、B 、C 三点共线.方法二•/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,「•I AB=2 J5 , | BC=岳，| AC=3 厉,•••IAB+| Bq=| AC ,即 A 、B 、C 三点共线.方法三•/ A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,• AB =〔 2 , 4〕, BC =〔1 , 2〕，• AB =2 BC .又T AB 与BC 有公共点B , • A 、B 、C 三点共线.例 2 实数 x, y 满足 y=x 2-2x+2 (-1 <x < 1).试求：y 3的最大值与最小值.x 2解 由L2的几何意义可知，它表示通过定点P 〔-2 , -3丨与曲线段AB 上任一点〔x,y)的直线的斜率k,如图可知：k pAx 2 < k < k pB ,由可得：A 〔 1 , 1〕，B 〔-1 , 5〕， 4 / k <8,3故-__3的最大值为8，最小值为4 .x 2 3例3求适合以下条件的直线方程：〔1〕通过点P 〔3, 2〕，且在两坐标轴上的截距相等；〔2〕通过点A 〔-1，-3〕，倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍. 解 〔1〕方法一 设直线I 在x, y 轴上的截距均为a, 假设a=0，即I 过点〔0, 0〕和〔3，2〕， /• I 的方程为 y=?x ,即 2x-3 y=0.3 假设a 工0，那么设I 的方程为-1 ,a b •/ I 过点〔3, 2〕，••• 3 - 1 ,a a a=5,「. I 的方程为 x+y-5=0,综上可知，直线I 的方程为2x-3 y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率 k 存在且k 工0,设直线方程为y-2=k(x-3),令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3 k,k 由 3- - =2-3 k ，解得 k=-1 或 k= 2, k 3 直线I 的方程为： y-2=-〔 x-3 丨或 y-2=2(x-3),3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.〔2〕由：设直线y=3x 的倾斜角为 那么所求直线的倾斜角为 2 .又直线通过点A 〔-1 , -3丨， 因此所求直线方程为 y+3=- 3 (x+1),4即 3x+4y+15=0.例4 〔 12分〕过点P 〔2, 1〕的直线I 交x 轴、y 轴正半轴于 A B 两点，求使:〔1 ]△ AOB 面积最小时I 的方程； 〔2〕| PA • | PB 最小时I 的方程.■/ tan =3, • • tan2=2 tan1 tan 21. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，假如 A 〔 a ，a 3〕、B 〔b ，b 3〕、C 〔c ，c 3〕在解方法一设直线的方程为x 1 1 ( a >2, b > 1), a b由可得2 1 1. a b2,：?b 三 I 1=「a b >8.--S ^AOB = ab 》4.2当且仅当2=1 = 1，即a=4, b=2时，S A AOB 取最小值4，现在直线I 的方程为\ a b 2 4 -=1,即 x+2y-4=0. 6 2〔2〕由 2 + 丄=1，得 ab-a-2 b=0, a b 变形得(a-2)( b-1)=2,| PA • |PB| =.(2 a)2(1 0)2 • .(2 0)2(1 b)=.[(2 a)2 1] [(1 b)2 4]> 2(a 2) 4(b 1). 10当且仅当a-2=1, b-1=2,即 a=3, b=3 时，| PA| • | PE| 取最小值 4. 现在直线I 的方程为x+y-3=0.方法二 设直线I 的方程为y-仁k(x-2) ( k v 0), 那么I 与x 轴、y 轴正半轴分不交于 12A 21,0、 kE 〔0，1-2k 丨. 〔1〕 1 S A AOE =— 2 21 k 〔1-2 k 〕 =1 2 x 4 ( 4k) ( 1) > 1• 〔4+4〕 =4.当且仅当-4 k=- 1 ,即k=- 1时取最小值，现在直线k 2 1I 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+2y-4=0.2当且仅当 4 =4k 2,即k=-1时取得最小值，现在直线I 的方程为y-1=-( x-2),即x+y-3=0.k 26分12 分知能迁移2〔2〕| PA • |PE|=同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明■/ A>7B 、C 三点共线，k AB =k AC ,33 3 3/• a__b a1，化简得 a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2, a b a c /• b 2- c 2+ab- ac=0,〔 b-c 〕〔a+b+c 〕=0, ■/a 、b 、c 互不相等，b-c 工0,「. a+b+c=O. 2.〔 2018 •宜昌调研丨假设实数x, y 满足等式（x-2） 2+y 2=3,那么X 的最大值为〔〕xA. -B.C ±1D. J 32 3 2答案 D3. 〔 1〕求通过点A 〔-5 , 2〕且在x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍的直线方程；〔2〕过点A 〔 8, 6〕引三条直线丨1,丨2,丨3,它们的倾斜角之比为 1 : 2 : 4，假设直线丨2的方程是y=£x,求直线I4 程.解 〔1〕①当直线I 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为 y=kx, 将〔-5 , 2〕代入y=kx 中，得k=- 2，现在，直线方程为 y=- 2x,5 5 即 2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为 A 2=1,2a a 将〔-5 , 2〕代入所设方程， 解得a=- 1 ,2现在，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0或2x+5y=0. 〔2〕设直线l 2的倾斜角为 ， ,那么tan=3 4因此 1 tan = 1 4cos = 5 12sin 3 35tan2=2 tan3 2 - 4241 tan 21 (3)2J 7因此所求直线l 1的方程为y-6=丄（x-8）,3即 24x-7y-150=0.4. 直线l 通过点P 〔 3, 2〕且与x , y 轴的正半轴分不交于 A B 两点，△ OAB 的面积为12，求直线l 的方程.1, l 3的方即x-3y+10=0,13的方程为24 y-6=丝(x-8),5.通过点〔1，4〕的直线在两坐标轴上的截距差不多上正的，且截距之和最小，那么直线的方程为〔解 方法一 设直线I 的方程为x 1 1〔a > 0, b >0〕a bA( a,0), B(0, b).ab 24,解得1.6,b 4. 二所求的直线方程为^1=1 6 4 即 2x+3y-12=0.方法二 设直线I 的方程为y-2= k( x-3), 令y=0,得直线I 在x 轴上的截距a=3- 2 , k 令x=0,得直线I 在y 轴上的截距b=2-3 k. 2 2二 3 - (2-3 k)=24.解得 k=- 一 .k 3 二所求直线方程为y-2二2 (x-3).3 即 2x+3y-12=0.、选择题A 0,B. — ?4,4C. _______4 , 4D- 0--4 4答案D2.直线 l 过点〔a,1) ,〔a+1,tan +1),那么A 一定是直线l 的倾斜角B. 一定不是直线 l 的倾斜角C不一定是直线 l 的倾斜角A 0,B. 0,42C. D.---------4, 2答案 4.过点1,作直线l ，假设通过点〔a , 0〕和〔0, b 〕，且a G N , B.2C.3b G N ,那么可作出的D.4的条数为〔 〕 A.1答案 1.直线 xcos +y-1=0 (G R)的倾斜角的范畴是D.180 ° - 一定是直线l 的倾斜角 答案 C3.直线l 通过A 〔 2, 1〕，B 〔 1, m 〕〔 m€ R 〕两点，那么直线l 的倾斜角的取值范畴是〔A. x+2y-6=0 C x-2y+7=0 答案 B6. 假设点A 〔 2, -3〕是直线a i x+biy+仁0和a 2X+b ?y+仁0的公共点，那么相异两点〔a i , b i 〕和〔a ?, b 2〕所确定的直线方程 是〔〕A2x-3y+仁0 B.3x-2y+仁0 C.2 x-3 y-1=0 D.3 x-2y-仁0答案 A 二、 填空题7. 〔 2018 •浙江理，11〕a > 0,假设平面内三点 A 〔 1, -a 〕，B 〔 2, a 2〕，C 〔 3, a 3〕共线，那么 a= . 答案 1+ 28. 两点A 〔-1，-5丨，B 〔 3，-2丨，假设直线I 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，那么I 的斜率是 . 答案13三、 解答题假设直线I : x+my+mF0与线段PQ 有交点，求m 的取值范畴.k AP =丄」=-2 , k AQ =—=30 1 0 2 2 13 1那么-丄＞ 3或-丄K -2 ,m 2 m又T m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点, 所求m 的取值范畴是-2 < n K 1.3 2 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-1= 2_ ( x+1),即 y=[x+4,2 13 3代入 x+my+m=0,解得-2 K m K 1.3 210. 直线I 与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔1〕过定点A 〔-3 , 4〕；〔 2〕斜率为 丄.6解 〔1〕设直线I 的方程是y=k(x+3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分不是-4 -3 , 3k+4,k 由，得〔3k+4〕〔 4 +3〕=± 6, kB.2 x+y-6=0 D. x-2 y-7=09.线段PQ 两端点的坐标分不为〔-1 , 1〕、〔2, 2〕， 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A 〔 0, -1丨点. 整理，得x=-7m m 33，分不求满足以下条件的直线 I 的方程:解得 k i =- 2 或 k 2=- 8 .3 3直线I 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.〔2〕设直线I 在y 轴上的截距为b,那么直线I 的方程是y = [x+b,它在x 轴上的截距是-6b,6 由，得卜6 b • b|=6，二 b=± 1. 直线I 的方程为x-6 y+6=0或x-6y-6=0. 11. 两点 A 〔-1，2〕，B 〔 m, 3〕.〔1〕求直线AB 的方程； 〔2〕实数m€X 3 1J3 1，求直线AB 的倾斜角 的取值范畴3解 〔1〕当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1, 当m^-1时，直线AB 的方程为y-2=二 (x+1). m 1 〔2〕①当 m=-1 时， =_;20〕作一直线，使它夹在两直线 丨1: 2x- y-2=0与12： x+y+3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.所求的直线方程为 y=8( x-3), 即 8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3).解方法一设点 A 〔X y 〕在 l 1上,xX B3由题意知2，• ••B 〔 6-x ，yyB2解方程组2x y 2 0(6 x) ( y) 3 01116x— 0得3二 k= 38 16y11 333-y 〕，°，、3，€ ---------6 , 2综合①②知，直线 AB 的倾斜角.3 ~312.过点 P 〔3, ②当m^ -1时，n+1 €3那么y k(x 3),解得3k 2X A'、k 2 4k y Ak 22x y 20由yk(x 3)>X B解得3k 3 k 1x y 3 06ky Bk 1V P(3,0)是线段AB的中点，/. y A+y B=O,即卩4k + 6k =0,k 2 k 1/• k1 2-8k=0,解得k=0 或k=8.又*••当k=0 时，X A=1,X B=-3,现在乂竺J 3,k=0舍去，2 2所求的直线方程为y=8( x-3),即8x-y-24=0.§ 7.2两直线的位置关系----- —自主学习 --------------匕基础自测1•假如直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于〔〕3 2A-3 B.-6 C.- 3 D. 22 3答案 B2.直线2x+y-2=0和m*y+1=0的夹角为—，那么m的值为〔〕4A-1或-3 B -33C-1或3D丄或-333答案C3.过点A〔-2 , m〕和B〔m, 4〕的直线与直线2x+y=1平行，那么m的值为〔〕A.0B.-8C2 D.10答案B4. 直线11: y=2x+3，直线丨2与11关于直线y=x对称，直线丨3丄丨2，那么l 3的斜率为〔〕1 1A 丄 B.-丄C-2 D.22 2答案 C5. 〔2018 •岳阳模拟丨假设直线I通过点〔a-2，-1〕和〔-a-2 ,1〕且与通过点〔-2 , 1〕，斜率为--的直线垂直，那么实312 分例 1 直线 l i ：ax+2y+6=0 和直线 l 2：x+(a-1) y+a 2-1=0,I 1〕试判定l 1与l 2是否平行；〔2〕I i 丄丨2时，求a 的值.解 〔1〕方法一 当 a=1 时，I i ： x+2y+6=0, I 2： X=0, I 1不平行于I 2； 当 a=0 时，11： y=-3, I 2： x-y-仁0, I 1不平行于I 2； 当a 工1且a 工0时，两直线可化为 I 1： y =- — x -3, I 2： y = — x -( a+1),21 aa1I 1 / I 22 1 a ，解得 a=-1,3 (a 1) 综上可知，a=-1 时，I 1/ l 2，否那么l 1与I 2不平行方法二 由 A 1B 2-A 2B 1R ，得 a 〔 a-1〕-1 x 2=0, 由 AdAe 工 0,得 a(a 2-1)-1 x 6 工 0,// I 2a(a 2 1) 4 2 0a(a 21) 1 6 0a 2 a 20 2 a =-1,a(a 21)6故当a=-1时，I" I 2，否那么I 1与12不平行.〔2〕方法一 当 a=1 时，I 1： x+2y+6=0,1 2：x=0, I 1与I 2不垂直，故a=1不成立. 11： y=- a x-3,2方法二 由 AA+BB 2=0,得 a+2(a-1)=0 a=2 .3例2求过两直线I 1：x+y+1=0, I 2：5x-y-仁0的交点，且与直线 3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.4解 设所求直线方程为x+y+1+ (5 x- y-1)=0, 即(1+5)x+(1-)y+1-=0.4I 2： y= x -( a+1),1 a数a 的值为 . 答案-23典例剖析丄=-1 1 a2 a=. 3因为所求直线与直线 3x+2y+1=0的夹角为—,451 31 2 因此tan 5 1 11.解得=-菩 •••所求直线方程为x+5y+5=0.又直线l 2：5x-y-仁0与直线3x+2y+1=0的夹角 满足tan 1.=，故直线l 2也是符合条件的一解 4综上所述，所求直线方程为 x+5y+5=0 或 5x- y-1=0.例3 〔 12分〕直线l 过点P 〔 3，1〕且被两平行线l 1：x+y+1=0,l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解方法一假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x=3,现在与l !,l 2的交点分不是 A 〔3，-4 丨，B 〔 3, -9 丨， 截得的线段长|AB=|-4+9|=5,符合题意.假设直线l 的斜率存在时，那么设直线I 的方程为y=k(x-3)+1, 分不与直线l 1,l 2的方程联立，由 y k(x 3) 1 x y 1 0 解得 A 3k 2 1 4k .k 1 ' k 1 由y k(x 3) 1,解得x y 6 0 由两点间的距离公式，得 3k 2 3k 7 2+ £ k 1 k 1k 3k 7 1 9k k 1 k 14k 」2=25,k 1方法二 设直线l 与11, 12分不相交于Agy", B(X 2, y 2). 那么 X 1+/1+1=0, X 2+y 2+6=0,两式相减，得(X 1-X 2)+( y 1-y 2)=5① 又(X 1-X 2) 2+( y 1-y 2)2=25 ②联立①②可得X1 X 2 5或X1 X 2 0 Jy 1 y 2 0 y 1 y 5由上可知，直线l 的倾斜角分不为 0° 和 90°，故所求的直线方程为 x=3或y=1.解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l 的方程为x=3或y=1.4分8分10 分 12 分6 分10 分例4求直线I i： y=2x+3关于直线I : y=x+1对称的直线12的方程.解方法一由y 2x 3y x 1知直线l i与I的交点坐标为〔-2 , -1丨，设直线丨2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线I上任取一点〔1，2〕，由题设知点〔1，2〕到直线丨1、丨2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k 2 2k 1 = |2 2 3|,12 k2,22 ( 1)2解得k=l(k=2舍去)，2直线丨2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P〔x,y〕，那么在直线I1上必存在一点R〔x o, y o〕与点P关于直线I对称.由题设：直线PP与直线I垂直，且线段PP的中点卩2存，宁在直线I上.也y?1 1 “...xo X ，变形得Xo yy y o x x o 1y o x 12 2代入直线I 1：y=2x+3,得x+1=2X (y-1)+3,整理得x-2y=o.因此所求直线方程为x-2y=o.知能迁移1. 两条直线11：(3+ m)x+4y=5-3 m I 2：2 x+(5+n) y=8.当m分不为何值时，I 1 与12：〔1〕相交？〔2〕平行？〔3〕垂直？解当m=5时，明显，11与I 2相交；当m^-5时，易得两直线I1和I2的斜率分不为k2=-k’=-它们在y轴上的截距分不为b1=^^m，b2=_J4 5 m〔1〕m^ -7 且m工-1.•••当m^ -7且m^ -1时，11与I 2相交.12 分(x >200).288xx3 m2〔2〕由 k1 k 2 , ,得45 m， m=-7 bi b 2,5 3m 84 5 m•••当 m=-7时，l 1 与 I 2平行.〔3〕由 k i k 2=-1,得3 m 得-•2 =-1 ， m=-13 45 m3• 当 m=-兰时，1 1与 1 2垂直•32. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如下图，塔高 BC=80〔米〕，塔所在的山高 OB=220〔米〕，OA=200〔米〕， 图中所示的山坡可视为直线 I ,且点P 在直线I 上，I 与水平地面的夹角为，tan =1 .试咨询，此人距水平地面多高时，2 观看塔的视角/ BPC 最大〔不计此人的身高〕？解 如下图，建立平面直角坐标系,那么 A 〔 200，0〕，B 〔0，220〕，C 〔 0，300〕. 直线I 的方程为y=(x-200)tan,那么y= x 200 .2设点P 的坐标为〔x, y 〕，那么P 〔x, x 200〕(x >200).2由通过两点的直线的斜率公式 x 200 k pc = —2—— xtan / BPC= kPBkPC1602xx 800 x 6402x 2x64xx 288x 160 64064 160 640300 x 800 2x k pB =□ 220 x 6401要使tan / BPC 达到最大，只需x+160 640-288达到最小，由均值不等式x x +160 640 -288 > 2 160 640 -288, x当且仅当x=16° 640时上式取得等号. x 故当x=320时，tan /BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y= _200 =60. 2 由此实际咨询题知 0 v/ BPG _ ,因此tan / BPC 最大时，/ BPC 最大.故当此人距水平地面 60米高时，观看铁塔的视角 2/ BPC 最大. 3.三条直线11: 2x-y+a=0〔 a > 0〕,直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3： x+y -仁0,且l i 与12的距离是 7. 5. 10(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P,使得P 点同时满足以下三个条件①P 是第一象限的点；②P 点到I 1的距离是P 点到12的距离的Z ；③P 点到|12的距离与P 点到 13的距离之比是 ,2 : ..5.假设能，求P 点坐标；假设不能，讲明理由. 1解(1)1 2 即为 2x- y- =0,2「•I 1与丨2的距离a( 2)d= .22 ( 1)2 107、5 10a > 0, • • a=3. ⑵假设存在如此的P 点.设点P(X 0,y 。

课时跟踪练(五十四)A 组 基础巩固1．(2019·合肥模拟)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：圆C 的圆心的坐标C (6，8)，则OC 的中点坐标为E (3，4)，则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. 故选C.★答案★：C2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24>0，解得－2<a <23.★答案★：D3．(2019·东莞模拟)平面内动点P 到两点A 、B 距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2，0)，B (2，0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－12x ＋4＝0B ．x 2＋y 2＋12x ＋4＝0C ．x 2＋y 2－203x ＋4＝0 D ．x 2＋y 2＋203x ＋4＝0 解析：由题意，设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0，故选D. ★答案★：D4．(2019·珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －（－a ）|2＝|a －（－a ）－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝ 2. 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.★答案★：B5．(2019·重庆四校模拟)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求|PQ |的最小值为6－2＝4.★答案★：B6．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________．解析：由已知，得圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3， 所以圆心为(2，－3)，则半径r ＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.★答案★：(x －2)2＋(y ＋3)2＝57．已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，则k CM＝1－02－1＝1，因为过点M的最短弦与CM垂直，所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.★答案★：x＋y－1＝08．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.此时圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.★答案★：(x－1)2＋y2＝29．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1，2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210，所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．(2019·衡水中学调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)．求：(1)[一题多解]直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．B 组 素养提升11．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若A 、B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值为 ( )A.2＋62B. 3 C ．2 D.3＋1解析：如图所示，连OA ，OB 和OC .因为OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC＝OC，所以OAC≌△OBC，所以∠ACO＝∠BCO＝30°，在△OAC中，由正弦定理得OAsin 30°＝OCsin ∠OAC，所以OC＝2sin ∠OAC≤2，故|OC|的最大值为2，故选C.★答案★：C12．(2019·安庆模拟)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.★答案★：D13．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x－a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.★答案★：(x －2)2＋(y －1)2＝514．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1， 解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第十三单元 直线与圆教材复习课“直线与圆”相关基础知识一课过直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； ③范围：直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线1．已知A (m ，－2)，B (3,0)，若直线AB 的斜率为2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2D ．－2解析：选B 由直线AB 的斜率k ＝－2－0m －3＝2，解得m ＝2.2．若经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A ．(5,8) B ．(8，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫132，8D.⎝⎛⎭⎪⎫5，132解析：选D 由题意知8－mm －5>1，即2m －13m －5<0，∴5<m <132. 3．过点C (2，－1)且与直线x ＋y －3＝0垂直的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 设所求直线斜率为k ， ∵直线x ＋y －3＝0的斜率为－1，且所求直线与直线x ＋y －3＝0垂直，∴k ＝1. 又∵直线过点C (2，－1)， ∴所求直线方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0.4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1 解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. ∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 5．经过点(－4,1)，且倾斜角为直线y ＝－x ＋1的倾斜角的13的直线方程为________．解析：由题意可知，所求直线方程的倾斜角为45°，即斜率k ＝1，故所求直线方程为y －1＝x ＋4，即x －y ＋5＝0.答案：x －y ＋5＝0[清易错]1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 1．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝02．经过点A (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 解析：当直线过原点时，方程为y ＝x ，即x －y ＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ， 把点(1,1)代入直线方程可得a ＝2， 故直线方程为x ＋y －2＝0.综上可得所求的直线方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝0圆的方程1．圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)圆心：(a ，b )，半径：r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心：⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题速通]1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0， 解得－2<a <23.2．(2018·天津模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 解析：选C 因为(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m < 2.3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 圆的半径r ＝1－02＋1－02＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．若圆C 的圆心在x 轴上，且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________________． 解析：设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |， 即a ＋12＋1＝a －12＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝2＋12＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案：(x －2)2＋y 2＝10两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝( ) A ．－7或－1 B ．－7 C ．7或1D ．－1解析：选B 由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．2．圆x 2＋y 2－6x －2y ＋3＝0的圆心到直线x ＋ay －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选B 圆x 2＋y 2－6x －2y ＋3＝0可化为(x －3)2＋(y －1)2＝7，其圆心(3,1)到直线x ＋ay －1＝0的距离d ＝|2＋a |1＋a2＝1，解得a ＝－34.3．已知直线l 1：(m ＋2)x －y ＋5＝0与l 2：(m ＋3)x ＋(18＋m )y ＋2＝0垂直，则实数m 的值为( )A ．2或4B ．1或4C ．1或2D ．－6或2解析：选D 当m ＝－18时，两条直线不垂直，舍去； 当m ≠－18时，由l 1⊥l 2，可得(m ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋318＋m ＝－1，化简得(m ＋6)(m －2)＝0，解得m ＝－6或2.4．若两条平行直线4x ＋3y －6＝0和4x ＋3y ＋a ＝0之间的距离等于2，则实数a ＝________.解析：∵两条平行直线的方程为4x ＋3y －6＝0和4x ＋3y ＋a ＝0， ∴由平行线间的距离公式可得2＝|－6－a |42＋32， 即|－6－a |＝10， 解得a ＝4或－16. 答案：4或－16[清易错]1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．1．已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，直线l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：(1)当直线l 1的斜率不存在，即a ＝2时，有l 1：x －2＝0，l 2：2y －1＝0，此时符合l 1⊥l 2.(2)当直线l 1的斜率存在，即a ≠2时，直线l 1的斜率k 1＝－1a －2≠0，若l 1⊥l 2，则必有直线l 2的斜率k 2＝－a －2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －2a ＝－1，解得a ＝－1.综上所述，l 1⊥l 2⇔a ＝－1或a ＝2.故“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件． 法二：l 1⊥l 2⇔1×(a －2)＋(a －2)×a ＝0， 解得a ＝－1或a ＝2.所以“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行．由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )相离 相切 相交图形量化方程 观点 Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何 观点d ＞r d ＝r d ＜r1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B 因为直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x 2＋y 2－2x －3＝0的内部，故直线与圆相交．2．(2018·大连模拟)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1C.22D. 2解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0，则圆心C 的坐标为______；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k 的值为________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24，由切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －24圆与圆的位置关系 [过双基]圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离 外切 相交 内切 内含图形量的关系 d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|1．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________. 答案：±25或02．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 答案：2 2一、选择题1．直线 3x ＋y －3＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C ∵直线3x ＋y －3＝0可化为y ＝－3x ＋3， ∴直线的斜率为－3，设倾斜角为α，则tan α＝－3，又∵0≤α<π， ∴α＝2π3.2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则必有( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 由图可知k 1＜0，k 2＞0，k 3＞0，且k 2＞k 3，所以k 1＜k 3＜k 2. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.4．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 设过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0，即(2＋λ)x －(1＋λ)y ＋4＋5λ＝0， ∵该直线与直线x －2y ＝0垂直， ∴k ＝2＋λ1＋λ＝－2，解得λ＝－43.∴所求的直线方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－43x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－43y ＋4＋5×－43＝0，即2x ＋y －8＝0.5．已知直线l 1：x ＋2y ＋t 2＝0和直线l 2：2x ＋4y ＋2t －3＝0，则当l 1与l 2间的距离最短时t 的值为( )A ．1 B.12 C.13D ．2解析：选B ∵直线l 2：2x ＋4y ＋2t －3＝0， 即x ＋2y ＋2t －32＝0.∴l 1∥l 2，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－2t －3212＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋545≥54，当且仅当t ＝12时取等号．∴当l 1与l 2间的距离最短时t 的值为12.6．已知直线l 1：(a ＋3)x ＋y －4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直，则直线l 1在x 轴上的截距是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵直线l 1：(a ＋3)x ＋y －4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直， ∴a ＋3＋a －1＝0，解得a ＝－1， ∴直线l 1：2x ＋y －4＝0， ∴直线l 1在x 轴上的截距是2.7．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选B 由题意可得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上，又点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，则两点式求得反射光线所在的直线方程为y －10－1＝x －012－0，即2x ＋y －1＝0.8．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.二、填空题9．已知直线l 过点A (0,2)和B (－3，3m 2＋12m ＋13)(m ∈R)，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，则tan θ＝3m 2＋12m ＋13－2－3－0＝－3(m ＋2)2＋33≤33.因为θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π10．已知点A (－1，－2)，B (2,3)，若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为__________．解析：如图，把A (－1，－2)，B (2,3)分别代入直线l ：x ＋y －c ＝0，得c 的值分别为－3,5. 故若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为[－3,5]．答案：[－3,5]11．已知直线x ＋y －3m ＝0与2x －y ＋2m －1＝0的交点在第四象限，则实数m 的取值范围为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13.∵两直线的交点在第四象限，∴m ＋13>0，且8m －13<0， 解得－1<m <18，∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，18. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，1812．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是______________．解析：因为圆C 与两坐标轴相切，且M 是劣弧AB 的中点， 所以直线CM 是第二、四象限的角平分线， 所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1. 因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1， 整理得x －y ＋2－2＝0. 答案：x －y ＋2－2＝0 三、解答题13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.14．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2， 设P (a,2a )，则a 2＋2a －42＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125. (2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.高考研究课(一)直线方程命题4角度——求方程、判位置、定距离、用对称 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度直线方程 5年3考 多与圆、抛物线结合考查两直线位置关系 未考查点到直线的距离 5年3考 多与圆结合考查对称问题未考查直线方程的求法[典例] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的3的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. [方法技巧]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时演练]1．若直线l 过点A (3,4)，且点B (－3,2)到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：选D 当l ⊥AB 时满足条件． ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，则k l ＝－3.∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)， 即3x ＋y －13＝0.2．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为____________．解析：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2·a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0两直线的位置关系[典例] (1)12y －8＝0平行，则m 的值为( )A ．－7B ．－1或－7C ．－6D ．－6或－7(2)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172π－2α的值为( )A.45 B ．－45C ．1D ．－12[解析] (1)直线l 1的斜率一定存在，因为l 2：2x ＋(m ＋5)y －8＝0， 当m ＝－5时，l 2的斜率不存在，两直线不平行． 当m ≠－5时，由l 1∥l 2，得(m ＋3)(m ＋5)－2×4＝0， 解得m ＝－1或－7.当m ＝－1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m ＝－7满足条件，故选A. (2)由已知得tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172π－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．[即时演练]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由点(1,0)在所求直线上，得1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．若直线l 经过点P (1,2)，且垂直于直线2x ＋y －1＝0，则直线l 的方程是______________．解析：设垂直于直线2x ＋y －1＝0的直线l 的方程为x －2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点P (1,2)， ∴1－4＋c ＝0，解得c ＝3， ∴直线l 的方程是x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0距离问题[典例] (1)过直线x －3y ＋1＝0与 3x ＋y －3＝0的交点，且与原点的距离等于1的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条(2)直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧x －3y ＋1＝0，3x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，则所求直线只有1条．[答案] B(2)当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)．即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －－2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17. ∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0. [方法技巧]求解距离问题的注意点解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[即时演练]1．已知点A (a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0距离为2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－3D ．1或－3解析：选D ∵点A (a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0距离为2， ∴|a －2＋3|2＝2， ∴a ＋1＝±2. 解得a ＝1或－3.2．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为__________．解析：当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 答案：x ＝－1或x ＋3y －5＝0对称问题对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用． 1．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，得A (4,8)，B (－4,2)，所以|AB |＝4＋42＋8－22＝10.[方法技巧]点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .角度二：点关于线的对称问题2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345[方法技巧]解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．角度三：线关于线对称问题3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (2)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解：(1)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(2)在直线l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.[方法技巧]若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．角度四：对称问题的应用4．已知有条光线从点A (－2,1)出发射向x 轴上的B 点，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D (－2，7)．(1)求直线BC 的方程；(2)求光线从A 点到达D 点所经过的路程．解：作出草图，如图所示， (1)∵A (－2,1),∴点A 关于x 轴的对称点A ′(－2，－1), ∵D (－2,7),∴点D 关于y 轴的对称点D ′(2,7).由对称性可得，A ′，D ′所在直线方程即为BC 所在直线方程，由两点式得直线BC 的方程为y －7－1－7＝x －2－2－2，整理得2x －y ＋3＝0.(2)由图可得，光线从A 点到达D 点所经过的路程即为 |A ′D ′|＝－2－22＋－1－72＝4 5.[方法技巧]解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)解析：选C 法一：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m ，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选C 项．法二：由|AF |＝3|BF |可知AF ―→＝3FB ―→，易知F (1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x A ＝3x 0－1，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0，－3y 02＝44－3x 0，解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝± 3. 2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故选B.一、选择题1．如果AB ＞0，BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 由AB ＞0，BC ＜0，可得直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为－AB＜0，直线在y 轴上的截距－C B＞0, 故直线不经过第三象限．2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：选B 直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率为k ＝－sin α，∵－1≤sin α≤1, ∴－1≤k ≤1,∴直线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.3．已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则|PM |的最小值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选B |PM |的最小值即点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|1＋3＝1，故|PM |的最小值为1.4．(2018·郑州质量预测)“a ＝1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵ax ＋y ＋1＝0与(a ＋2)x －3y －2＝0垂直， ∴a (a ＋2)－3＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∴“a ＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C ∵A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，∴1＋m2＋2×0－2＝0， ∴m ＝3.6．已知直线l 过点P (1,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，则当△AOB 的面积取得最小值时，直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．x －2y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选A 由题可知，直线l 的斜率k 存在，且k <0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －1)．∴A ⎝⎛⎭⎪⎫1－2k，0，B (0,2－k )， ∴S △OAB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k (2－k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－k ＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2－k ×⎝⎛⎭⎪⎫4－k ＝4，当且仅当k ＝－2时取等号．∴直线l 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.7．(2018·豫南九校质量考评)若直线x ＋ay －2＝0与以A (3,1)，B (1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选D 直线x ＋ay －2＝0过定点C (2,0)，直线CB 的斜率k CB ＝－2，直线CA 的斜率k CA ＝1，所以由题意可得a ≠0且－2<－1a <1，解得a <－1或a >12.8．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0. 若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0.因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，且k ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ，故选D. 二、填空题9．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－7910．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________________．解析：由平行关系设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0, 令x ＝0，可得y ＝－c 3；令y ＝0，可得x ＝－c2，∴－c 2－c 3＝6，解得c ＝－365，∴所求直线方程为2x ＋3y －365＝0,化为一般式可得10x ＋15y －36＝0. 答案：10x ＋15y －36＝011．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案：3212．在平面直角坐标系中，已知点P (－2,2)，对于任意不全为零的实数a ，b ，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是____________．解析：由题意，直线过定点Q (1，－2)，PQ ⊥l 时，d 取得最大值1＋22＋－2－22＝5,直线l 过点P 时，d 取得最小值0, 所以d 的取值范围[0,5]． 答案：[0,5] 三、解答题13．已知方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋5－2m ＝0(m ∈R)． (1)求方程表示一条直线的条件；(2)当m 为何值时，方程表示的直线与x 轴垂直；(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1，∵方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋5－2m ＝0(m ∈R)表示直线， ∴m 2－2m －3,2m 2＋m －1不同时为0，∴m ≠－1. 故方程表示一条直线的条件为m ≠－1. (2)∵方程表示的直线与x 轴垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，2m 2＋m －1＝0，解得m ＝12.(3)当5－2m ＝0，即m ＝52时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；当m ≠52时，由2m －5m 2－2m －3＝2m －52m 2＋m －1，解得m ＝－2.故实数m 的值为52或－2.14．已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P .(1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 1过点P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即交点P (2,1)．由直线l 与A ，B 的距离相等可知，l ∥AB 或l 过AB 的中点． ①由l ∥AB ，得k l ＝k AB ＝2－33－1＝－12，所以直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0，②由l 过AB 的中点得l 的方程为x ＝2， 故x ＋2y －4＝0或x ＝2为所求．(2)法一：由题可知，直线l 1的斜率k 存在，且k ＜0. 则直线l 1的方程为y ＝k (x －2)＋1＝kx －2k ＋1. 令x ＝0，得y ＝1－2k ＞0， 令y ＝0，得x ＝2k －1k>0，∴S △ABO ＝12×(1－2k )×2k －1k ＝4，解得k ＝－12，故直线l 1的方程为y ＝－12x ＋2，即x ＋2y －4＝0.法二：由题可知，直线l 1的横、纵截距a ，b 存在，且a ＞0，b ＞0，则l 1：x a ＋yb＝1. 又l 1过点(2,1)，△ABO 的面积为4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，12ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，故直线l 1的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△PAB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5解析：选C 由题意可知，动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)． 动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0， 因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △PAB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|PA |＝|PB |时，△PAB 的面积取得最大值． 由2|PA |＝|AB |＝12＋32＝10， 解得|PA |＝ 5. ∴S △PAB ＝12|PA |2＝52.综上可得，△PAB 的面积最大值是52.2．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，即(4，－2)．∴直线BC 所在方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．3．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．∵k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又∵k BD ＝5－－11－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即M (2,4)．答案：(2,4) 高考研究课(二)圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度圆的方程 5年4考 求圆的方程及先求圆的方程再考查应用与圆有关的最值问题 5年1考 求范围 与圆有关的轨迹问题未考查圆的方程圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： 1几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量. 2代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.[典例] 求经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程． [解] 法一：用“几何法”解题由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：用“代数法”解题设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，5－a 2＋2－b 2＝r 2，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法三：用“代数法”解题设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. [方法技巧]求圆的方程的方法(1)方程选择原则若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程． (2)求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． [即时演练]根据下列条件，求圆的方程．(1)已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．解：(1)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－62－6E ＋F ＝0，12＋－52＋D －5E ＋F ＝0，D －E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝4，F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)， 所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝－5－－61－0＝1，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.则圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝0＋32＋－6＋22＝5，所以圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)法一：如图，设圆心坐标为(x 0，－4x 0)，依题意得－2－－4x 03－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，3－x 02＋－2－y2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)距离和(差)的最值问题； (5)三角形的面积的最值问题． 1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( ) A ．6 B ．25 C ．26D ．36解析：选D (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方，又点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝5－22＋－42＝5，则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36. 角度四：距离和(差)的最值问题4．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 圆心C 1(2,3)，C 2(3,4)，作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2与x 轴交于点P ，此时|PM |＋|PN |取得最小值，为|C 1′C 2|－1－3＝52－4.角度五：三角形的面积的最值问题5．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )。

一、自我诊断知己知彼1．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．2. 若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 【答案】A【解析】由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3．线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于() A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3 【答案】C【解析】直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.故选C.4．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 【答案】0或1【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1. 5．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A. 2 B．2－ 2 C.2－1 D.2＋1【答案】C【解析】由题意得|a－2＋3|1＋1＝1.解得a＝－1＋2或a＝－1－ 2.∵a>0，∴a＝－1＋ 2.二、温故知新夯实基础1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式4(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 5．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.三、典例剖析 思维拓展 考点一 倾斜角与斜率例1 直线0133=++y x 的倾斜角是（ ） （A ）6π（B ）3π（C ）23π （D ）56π【答案】D【解析】化直线0133=++y x 为斜截式可得3133--=x y ，所以直线的斜率为33，设直线的倾斜角为,0180αα︒≤<︒，则6533tan παα=∴-=． 【易错点】正切值易混【方法点拨】我们平时在解题时能遇到的与斜率有关的公式如下： )(tan 01212x f x x y y k '=--==α.本题利用直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角. 考点二 直线方程例1 求过点P （2，3），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 （ ） A ．10x y -+= B ．10x y -+=或320x y -= C ．50x y +-= D ．50x y +-=或320x y -= 【答案】B 【解析】设1=-+a y a x 或kx y =，将()32，P 代入求出1-=a ，或23=k ． 【易错点】容易忽视截距为零的情况,此时直线过原点.【方法点拨】牵涉到横纵截距问题可以考虑设直线的截距式方程,但是要注意当直线过原点时,横纵截距同时为0,也满足要求. 考点三 直线位置关系例1过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为（ ） A ．2x +y －1=0 B ．2x +y －5=0 C ．x +2y －5=0 D ．x －2y +7=0 【答案】A【易错点】易遗忘两直线垂直斜率成绩-1条件【解析】设与直线x -2y +3=0垂直的直线为2x +y +c =0，把点（-1,3）代入，可得c =-1，所以所求直线方程为2x +y -1=0，故选A【方法点拨】解决此题的关键是掌握简单的直线系方程，即: 与直线ax +by +c =0平行的直线为ax +by +n =0;与直线ax +by +c =0垂直的直线为bx -ay +m =0, 考点四 距离及综合问题 例1点P （m -n ,-m ）到直线1x ym n+=的距离等于（） 22.n m A +22.n m B -22.m n C -22.n m D ±【答案】A【解析】点P （m -n ,-m ）到直线1x y m n +=的距离22d 选A 。

课时跟踪检测（四十六） 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．(2019·广西陆川中学期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －1＝0的位置关系是( )A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为＋2＋＋2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25 B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17 D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋－2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－32＝1.即d ＝|2k |1＋k2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)，∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为－2＋－2＝2，所截得的最短弦长为222－22＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选 C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254解析：选 C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝r 2，a 2＋＋2＝r 2，a 2＋－2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：选C 因为圆C 的圆心的坐标C (6,8)， 所以OC 的中点坐标为E (3,4)， 所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，故以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选B ∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，∴直线y ＝kx ＋3过圆心(1,1)，即1＝k ＋3，解得k ＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P 为直线x ＋y －2＝0上的点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，切点为M ，N ，若∠MPN ＝90°，则这样的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 连接OM ，ON ，则OM ＝ON ，∠MPN ＝∠ONP ＝∠OMP ＝90°，∴四边形OMPN 为正方形， ∵圆O 的半径为1，∴|OP |＝2，∵原点(圆心)O 到直线x ＋y －2＝0的距离为2， ∴符合条件的点P 只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k2＝2k 21＋k2，当k ＝1时，|AB |＝212＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x－y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋－b 2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝54.答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝－2＋－2－2＝5.答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，a ＋2＋b ＋2＝52－r ，－a2＋－6－b2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32，∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。

作等边△ ABC 则I OC 的最大值是代乖+护1 1a ,b € R 且ab z 0,则-2+ 2的最小值为a bA. C.解析：选D 圆C 的标准方程为(x + 2a )2+ y 2= 4，其圆心为(一2a, 0)，半径为2；圆G 的标准方程为x 2 + (y — b ) 2= 1，其圆心为(0 , b )，半径为1.因为圆C 和圆C 2只有一条公切21 2 1=1，即a = 6， b = 3时等号成立.课时跟踪检测(四十八) 深化提能一一与圆有关的综合问题1. (2019 •莆田模拟)已知圆 O: x 2+ y 2= 1,若A , B 是圆0上的不同两点，以 AB 为边 C. 2解析：选 C 如图所示, 连接D. 3+ 1OA OB 和 OC •/ OA= OB AC = BC OC= OC OAg OBC•••/ AC ® / BC3 30°，在△ OAC 中,由正弦定理得 OAoOCsin 30° sin / OAC •- °= 2sin / OAC ： 2 故 |O C的最大值为2，故选C._222222已知圆 C 1： x + y +4ax + 4a — 4= 0 和圆 C ： x + y — 2by + b — 1 = 0 只有一条公切2. 线，若又瓜E B =(1,0) , ^AD = (0,2)-- > ----- >相切的圆上.若 AP =入AB +卩-- >AD ，贝U 入+卩的最大值为(A. 3 C. 5解析：选A 以A 为坐标原点，AB AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A (0,0) , B (1,0) , C (1,2) ,D (0,2),可得直线BD 勺方程为2x + y — 2 = 0,点C 到直线BD 的距离为,, 2 24 所以圆 C: (x — 1) + (y — 2)=.5因为P 在圆C 上，所以P 1 +乙^cos e , 2+乙卫sin< 55线，所以圆C 与圆C 相内切，所以寸 —2a —(〕 2+ (] — b 2 = 2 — 1,得4a 2+ b 2= 1,所以 2 . 2 22 b 4a '1 ) = 5 + 二 + - > 5+ 2 a b 1 1 2 2 a ： b 2(4a + b) b 2 4a 2 a 2' b 2 2 . 2 「 b 4a =9,当且仅当一2 =a 孑，且 4 a 2 +b 2 1 1 所以?+評勺最小值为9.3. (2017 •全国卷川)在矩形ABC [中, AB= 1, AD= 2,动点P 在以点 C 为圆心且与BD2 2,22+ 12又瓜E B = (1,0) ,^AD = (0,2)所以2+ 2-^5sin 0 = 2 i ，i 5n0 =+ 2k n — 0 ， k € Z 时，入+ i 取得最大值3.4. (2019 •拉萨联考)已知点P 在圆C: x 2 + y 2- 4x — 2y + 4 = 0上运动，则点P 到直线I :x — 2y — 5 = 0的距离的最小值是()B. 5C. 5+ 1D. 5— 12 2 2 2解析：选 D 圆 C: x + y — 4x — 2y + 4 = 0 化为(x — 2) + (y — 1) = 1,圆心 C (2,1)，半 径为X 圆心到直线l 的距离为垢謬7，则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值 是5 — 1.故选D.5. (2019 •赣州模拟)已知动点A(X A , yA )在直线I : y = 6 — x 上，动点B 在圆C: x 2 + y 2 —2x — 2y — 2 = 0 上，若/ CAB= 30°，贝U X A 的最大值为()A. 2 C. 5解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时， 满足(x — 1) + (y — 1) = 16,与y = 6— x 联立，解得 值为5.故选C.d 为点 F (cos 0 , sin 0 )到直线 x — my—2 = 0的距离.当0 , m 变化时，d 的最大值为(A. 1 C. 3解析：选C 由题知点P (cos 0 , sin 0)是单位圆x 2+ y 2= 1上的动点，所以点 P 到直 x — my- 2 = 0恒过点2 (2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x — my- 2 = 0的距离d = ----------- 2的最大值为2,v 1 + m 所以点P 到直线x — my- 2= 0的距离的最大值为 3,即d 的最大值为3.2 27. (2019 •安徽皖西联考)已知P 是椭圆16 +与=1上的一点，Q R 分别是圆(x — 3)2 +1 1n|n O I 、,y = 4和(x + 3) + y = 4上的点「P Q| + | PR 的最小值是1 + ^^-cos 0 =入, 入 + 1 =2 +- cos 0 T — sin 0 = 2 + sin( 0 +0 ) w 3(其中tan 0= 2)，当且仅当A. 4 / ACB 最大，此时| CA = 4.点A 的坐标x = 5或x = 1 ,•••点A 的横坐标的最大线x — my-2= 0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离.又直线解析：设两圆圆心分别为M N,贝y M N为椭圆的两个焦点，因此|P Q|+ |PR》|PM -1 12+ 丨PN —2 =2a- 1 = 2X 4- 1 = 7,即丨F QI + | PR 的最小值是7.答案：72 & (2019 •安阳一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，- 3)，若圆C：(x-a) + (y -a+ 2)2= 1上存在一点M满足|MA = 2|MO,则实数a的取值范围是 ________________________ .解析：设满足| MA = 2| M(p的点的坐标为Mx, y)，由题意得X2+ y+计2= 2 x2+ y2, 整理得x2+ (y- 1)2= 4,即所有满足题意的点M组成的轨迹方程是一个圆，2 2 2 2原问题转化为圆x + (y- 1) = 4与圆C：(x-a) + (y-a + 2) = 1有交点，f-V a2+ __a-3~2 > 1,据此可得关于实数a的不等式组』””解得0w a w3,g a2+ a-3 2w 3,综上可得，实数a的取值范围是[0,3].答案：[0,3]9. (2019 •唐山调研)已知点A - 3,0) , B(3,0)，动点P满足| PA = 2| PE|.(1) 若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程；(2) 若点Q在直线l 1：x+ y+ 3= 0上，直线l 2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M 求|Q M 的最小值.解：(1)设点P的坐标为(x, y)，则x+；l 2+ y2= 2x —2+ y2.化简可得(x-5)2+ y2= 16,故此曲线方程为(x—5)2+ y2= 16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.由题知直线丨2与圆C相切，连接C Q CM则|Q M = .|C Q|2-|CM2= . | C Q|2- 16,当C QL l 1时，|C Q|取得最小值，|Q M取得最小值，此时|C Q| =|5；引=牛/2,V2故IQ M的最小值为，32—16= 4.10. (2019 •广州一测)已知定点M1,0)和N2,0)，动点P满足| PN = . 2| PM(1)求动点P的轨迹C的方程；⑵若A, B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA OB AB的斜率分别为k i , k 2, k .当k i k 2= 3时，求k 的取值范围.解：⑴ 设动点P 的坐标为(x , y ), 因为 M 1,O) , N 2,0) , |PN | =>/2|PM , 所以 x-2 2 + y 2 = 2 ' x _] 2+ y 2.整理得，x 2+ y 2= 2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2 + y 2 = 2.(2)设点A (x i , y i ), 時,y 2)，直线 AB 的方程为y = kx + b . 消去 y ，整理得(1 + k 2)x 2 + 2bkx + b 2-2= 0.(*)由△ = (2 bk )2- 4(1 + k 2)( b 2- 2) > 0,得 b 2< 2 + 2k 2. ①22bk b - 2 2, X l X 2= 21 + k 1 + k得(kx 1 + b )( kx 2 + b ) = 3x 1X 2,22即(k — 3)X 1X 2+ bk (X 1 + X 2) + b = 0. ③将②代入③，整理得 b 2= 3-k 2.④ 由④得b 2= 3 — k 2>0,解得一3< k w 3. ⑤由①和④，解得k <- #或k >¥要使k 1, k 2, k 有意义，则X 1^ 0,沁丰0,所以0不是方程(*)的根，所以b 2-2工0,即卩k ^l 且k — 1.⑦由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为［-• 3, - 1) U i - 1,6. (2018 •北京高考)在平面直角坐标系中，记, y 1由 k 1 • k 2= ' • X 1X 2kx 1 + b X 1kx 2+ b X 2 =3,-2 2由x +y =2,y = kx + b由根与系数的关系，得 X i + X 2=。