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（完整）2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2016年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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一、选择题(本大题共12小题，共60。
0分)1。
已知z=（m+3)+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（—3,1）B。
(—1，3） C.（1，+∞) D.（-∞，—3）2.已知集合A=｛1，2,3｝,B=｛x｜（x+1）（x-2）＜0，x∈Z｝，则A∪B=（)A。
｛1} B.{1,2｝C.{0，1,2，3｝D.｛—1，0,1，2,3}3.已知向量=（1,m），=（3，—2），且(+）⊥，则m=（)A.-8 B。
-6 C.6 D.84.圆x2+y2-2x—8y+13=0的圆心到直线ax+y—1=0的距离为1，则a=（)A.-B。
-C。
D。
25。
如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24 B。
18 C。
12 D。
96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC。
28π D.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A。
x=-(k∈Z)B。
x=+（k∈Z）C。
x=—（k∈Z) D.x=+(k∈Z）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A。
湖南省衡阳市2016届高三数学第一次联考（一模）试题文（扫描版）2016届高中毕业班联考试卷（一）文科数学参考答案1.C 解：}0|{>=x x B Θ，}2,1{=⋂∴B A ，故选C.2.A 解：1,2-==b a Θ，i i bi a 43)2()(22-=-=+∴，故选A.3.B 解：命题p 与q 都正确，由复合命题的真值性可知，命题q p ∨是真命题，故选B.4.A 解：28=甲m Θ，36=乙m ，9256=甲x ，9323=乙x 乙甲m m <∴，乙甲x x <，故选A.5.C 解：03)2(=-+a a Θ，1=∴a 或3-，故选C.6.B 解：b a b f a f ≤⇔≥)()(Θ，212==∴ππP ，故选B.7.B 解：MN 垂直y 轴，||MN 取得最小值2，此时点)1,0(N ，故选B.8.D 解：原几何体是正方体缺少了一个角，所以表面积为239+，故选D. 9.C 解：→CM Θ在→CB 上的投影为1，3=⋅∴→→CB CM ，故选C.10.D 解：54cos )42sin()4(-==+⨯=ϕϕππf Θ，故选D.11.D 解：⎩⎨⎧==-==-322||||164||||2122221a PF PF c PF PF Θ338||||21=+⇒PF PF Q PF 1∆∴的周长为3316|)||(|221=+PF PF ，故选D. 12.A 解：由方程0)]([=x g f 可知1,0,1)(-=x g ，此时x 有7个实根，即7=m ；由方程0)]([=x f g 可知7=n ，所以14=+n m ，故选A.13.②③ 解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命 题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程124.0ˆ+=x y中， 当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类 变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小， 故④为假命题；故真命题为②③.14.36 解：s=0，i=1，n=1；s=1，i=2，n=3；s=4，i=3，n=5；s=9，i=4，n=7；s=16，i=5，n=9；s=25，i=6，n=11，s=36，终止循环，故填36. 15.7 解：D D cos 53253)cos(582582222⨯⨯⨯-+=-⨯⨯⨯-+πΘ21-cos =⇒D 749==∴AC ，故答案为7.16.222- 解：0)2(2≥-+-+b c x a b ax Θ在R 上恒成立0>⇔a 且0≤∆2244a ac b -≤⇔1)()1(4442222222+-=+-≤+∴ac a c ca a ac c ab ，令1-=ac t ，)0(>t 2222242222-≤++=+∴t t t c a b ，故222c a b +最大值为222-. 17.解：⑴120)0250.00060.00030.00021.00014.0(=⨯+++++a Θ0125.0=∴a …………5分⑵新生上学所需时间不少于1小时的频率为：13.020)0014.00021.00030.0(=⨯++ …………9分 该校1600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为20813.01600=⨯ …12分18.解：⑴22-=n n a S Θ1=∴n 时，2211-=a S 21=⇒a ……… 1分2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a 21=⇒-n n a a.所以数列}{n a 是以21=a 为首项，公比为2的等比数列 .……… 4分n n a 2=∴（N n *∈） .……… 6分⑵2)1(321log log log 22212+=++++=++=n n n a a a b n n ΛΛΘ…… 8分 nk b n n ≥-∴)8(对*N n ∈∀恒成立，即k n n ≥+-2)1)(8(对*N n ∈∀恒成立设)1)(8(21+-=n n c n ，则当3=n 或4时，n c 取得最小值为10- 10-≤∴k . …… 12分19.解：⑴∵AD ∥BC ，AD ⊂平面ADEF ，BC ⊄平面ADEF∴ BC ∥平面ADEF . …………………2分又BC ⊂平面BCEF ，平面BCEF I 平面ADEF EF =∴BC ∥EF ． …………4分⑵在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD∴DE BH ⊥. …………5分 ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD DE D =I∴BH ⊥平面ADEF . ………6分 ∴BH 是三棱锥B DEF -的高 ………7分 在Rt△ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，故3BH = …………8分 ∵ DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴ DE AD ⊥. ……………9分 由⑴知，BC ∥EF ，且AD ∥BC∴ AD ∥EF ，∴ DE EF ⊥. ……………10分∴三棱锥B DEF -的体积63311213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=∆BH S V DEF …12分20.解：⑴3=c Θ，32e =，∴2a =，2221b a c =-=则椭圆C 的方程为2214x y += ……………4分 ⑵由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = …………6分而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -= ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --= …………9分 22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值. …………12分21.解：⑴()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x --'=->………1分①当(0,1)a ∈时，11a>.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞. …………2分 ②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞ …………3分 ③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <. ∴当1(0,)x a∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞ .…………4分 综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞. ………5分⑵2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. ……6分 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞.则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p =Q ……8分∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增. ……10分19ln 2()2105h =+Q ，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………12分 22.证明：⑴因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠由于PD 为切线，故DBA PDA ∠=∠ ………2分 又因为PGD EGA ∠=∠，所以DBA EGA ∠=∠ 所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠从而BDA PFA ∠=∠ ………4分又,EP AF ⊥所以ο90=∠PFA ，所以ο90=∠BDA故AB 为圆的直径 ………5分 ⑵连接.BC DC ，由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠∠︒＝＝ 在Rt BDA Rt ACB V V 与中，AB BA AC BD ＝，＝ 从而得Rt BDA Rt ACB V V ≌，于是DAB CBA ∠∠＝. …………7分 又因为DCB DAB ∠∠＝，所以DCB CBA ∠∠＝，故DC AB P . ……8分因为AB EP ⊥，所以DC EP DCE ⊥∠，为直角 …………………9分 所以ED 为直径，又由(1)知AB 为圆的直径所以5==AB DE ………10分23.解：⑴将⎩⎨⎧+=+=ty t x sin 55cos 54消去参数t ，化为普通方程25)5()4(22=-+-y x即1C ：01610822=+--+y x y x ………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入01610822=+--+y x y x 得 016sin 10cos 82=+--θρθρρ ………5分 ⑵2C 的普通方程为0222=-+y y x由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+020161082222y y x y x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==20y x ………8分所以1C 与2C 交点的极坐标分别为)4,2(π，)2,2(π………10分24.解：⑴当3a =时，27,3,()41,34,27, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=⎨⎪-≥⎩＜＜当3x ≤时，由()44f x x ≥--得，274x -+≥，解得32x ≤； 当34x <<时，()44f x x ≥--，无解；当4x ≥时，()44f x x ≥--得，274x -≥，解得112x ≥． ∴()44f x x ≥--的解集为{31122x x x ⎫≤≥⎬⎭或． …………5分 ⑵记()(2)2()h x f x a f x =+-，则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩所以12422aS a a =⨯⨯>+，解得4a >. …………10分。
北京市西城区2016年高三二模试卷数 学（文科） 2016.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U =R ，集合{|0}A x x =>，{|1}B x x =<，则集合()U A B = ð（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(,0]-∞ （C ）(1,)+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，既是奇函数又在R 上单调递减的是（ ） （A ）1y x=（B ）e xy -= （C ）3y x =-（D ）ln y x =3. 设x ，y 满足约束条件2,1,10,y x x y y ++⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是（ ）（A ）43（B ）73（C ）13-（D ）14．执行如图所示的程序框图，如果输出的115S =，那么判断框内应填入的条件是（ ） （A ）3i < （B ）4i < （C ）5i <（D ）6i <5. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（ ）（A ）23（B ）14（C ）34（D ）166. “0m n >>”是“曲线221mx ny +=为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x （m 3）和煤气费()f x (元) 满足关系, 0<,()(), .C x A f x C B x A x A ≤ìïï=íï+->ïî已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为（ ） （A ）11.5元 （B ）11元 （C ）10.5元 （D ）10元8. 设直线l ：340x y a ++=，圆22 (2)2C x y ：-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线MP ，MQ （,P Q 为切点）满足90PMQ ?o ，则a 的取值范围是（ ）（A ）[18,6]-（B ）[6-+ （C ）[16,4]-（D ）[66---+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知复数(2i)(1i)z =-+，则在复平面内，z 对应点的坐标为_____.10. 设平面向量,a b 满足||||2==a b ，()7⋅+=a a b ，则向量,a b 夹角的余弦值为_____. 11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设双曲线C 的焦点在x 轴上，渐近线方程为y x =，则其离心率为____；若点(4,2)在C 上，则双曲线C 的方程为____.13. 设函数22, 1,()log , 1,x x f x x x -⎧<=⎨⎩≥ 那么1[()]2f f -=____；若函数()y f x k =-有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影. 已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这5部微电影中，最多可能有____部优秀影片.正（主）视图侧（左）视图俯视图 11 2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当π(0,)2x ∈时，求函数()f x 的值域.16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足432n n a S -=，其中n *∈N . （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等比数列；（Ⅱ）设142n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .17．（本小题满分14分）如图，在周长为8的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点. 将矩形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠= . 设G 为AF 上一点，且满足//CF 平面BDG .（Ⅰ）求证：EF DG ⊥；（Ⅱ）求证：G 为线段AF 的中点；（Ⅲ）求线段CG 长度的最小值.18．（本小题满分13分）FE GA BD C⇒E C某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.19．（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x a -=+．（Ⅰ）若()1f a '=，求a 的值；（Ⅱ）设0a ≤，若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <，求a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知抛物线C ：24x y =，过点)0)(,0(>m m P 的动直线l 与C 相交于B A ,两点，抛物线C 在点A 和点B 处的切线相交于点Q ，直线BQ AQ ,与x 轴分别相交于点F E ,.（Ⅰ）写出抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：点Q 在直线y m =-上；（Ⅲ）判断是否存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.O 时间(小时)10 2030 40 50 高中生组O 时间(小时)10203040 50 初中生组北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(3,1) 10．3411．3 12 22184x y -=13．12 1(,)2+∞ 14．5注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ……………… 2分又因为2()(1)cos f x x x =2(1x =……………… 3分2cos cos x x x =1cos 222x x+=……………… 7分 π1sin(2)62x =++， ……………… 9分 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（验证知其定义域与之相符） …………… 10分 （Ⅱ）解：由π(0,)2x ∈，得ππ7π2666x <+<， ……………… 11分所以1πsin(2)126x -<+≤，所以当π(0,)2x ∈时，3()(0,]2f x ∈，即函数()f x 在区间π(0,)2的值域为3(0,]2. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为432n n a S -=， ○1 所以当1n =时，11432a S -=，解得12a =； ………………… 2分 当2n ≥时，11432n n a S ---=， ○2 …………………3 分 由○1—○2，得11443()0n n n n a a S S -----=， 所以14n n a a -=， 由12a =，得0n a ≠，所以14nn a a -=，其中2n ≥. 故{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列. …………………6 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得124n n a -=⨯. ………………… 8分所以 114442n n n b a n n -=-=-. 则{}n b 的前n 项和011(44)(48)(44)n n T n -=-+-++- 011(444)(484)n n -=+++-+++ ……………… 10分 14(44)142n n n -+=-- 241223n n n -=--. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点， 所以EF FD ⊥，EF FA ⊥， 又因为FD FA F = ，所以EF ⊥平面DFA . ………………2分 又因为DG ⊂平面DFA ，所以EF DG ⊥. ………………4分 （Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点，所以在立体图中，////AB EF CD .即在立体图中，四边形ABCD 为平行四边形.连接AC ，设AC BD O = ，则AO CO =. ………………6分 又因为//CF 平面BDG ，CF ⊂平面ACF ，平面ACF 平面BDG OG =， 所以//CF OG ，所以在ACF ∆中，OG 为中位线，即G 为线段AF 的中点. ………………9分 （Ⅲ）解：因为G 为线段AF 的中点，60DFA ∠= 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥， 又因为EF DG ⊥，EF FA F = ， 所以DG ⊥平面ABEF . 设BE 的中点为H ，连接,GH CH ， 易得四边形DGHC 为平行四边形， 所以CH ⊥平面ABEF ，所以222CG GH CH =+. ………………11分 设DF x =，由题意得CH DG ==，42GH CD x ==-，所以222219(42))16164CG x x x x =-+=-+， ………………13分 所以当3219x =时，2min 4819CG =. 所以线段CG. ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a =. ………………3分 （Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人， ………………6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.F EGA B D COH所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870+=人. ………………8分 （Ⅲ）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A ， ………………9分初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05402⨯=人. ………………10分记这3名初中生为123,,A A A ，这2名高中生为12,B B ，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，而事件A 的结果有7种，它们是11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ， 所以7()10P A =. ………………13分19．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，由题意，()f a '有意义，所以0a ≠.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 所以24241()1164a f a a a '===， 解得12a =±. ………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………8分② 当0a <时，令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………9分随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………11分 所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为{0}a ∈. ………………13分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-. ………………2分 （Ⅱ）证明：由题意，知直线l 的斜率存在，故设l 的方程为m kx y +=. 由方程组2,4,y kx m x y =+=⎧⎨⎩ 得2440x kx m --=，由题意，得216160k m ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-， ………………4分 由抛物线方程24x y =，得214y x =，所以12y x '=，所以抛物线在点A 处的切线方程为)(21411121x x x x y -=-， 化简，得2114121x x x y -=， ○1 同理，抛物线在点B 处的切线方程为2224121x x x y -=. ○2 ………………6分联立方程○1○2，得22221141214121x x x x x x -=-，即))((41)(21212121x x x x x x x +-=-，因为21x x ≠，所以)(2121x x x +=， 代入○1，得1214y x x m ==-， 所以点12(,)2x x Q m +-，即(2,)Q k m -. 所以点Q 在直线y m =-上. ………………8分 （Ⅲ）解：假设存在点P ，使得四边形PEQF 为矩形，由四边形PEQF 为矩形，得EQ FQ ⊥，即AQ BQ ⊥，所以1-=⋅BQ AQ k k ，即1212121-=⋅x x .由（Ⅱ），得1)4(414121-=-=m x x ，解得1m =.所以(0,1)P .………………10分 以下只要验证此时的四边形PEQF 为平行四边形即可.在○1中，令0=y ，得)0,21(1x E . 同理得)0,21(2x F .所以直线EP 的斜率为1122001x x k EP -=--=，直线FQ 的斜率12122221)1(0xx x x k FQ -=+---=，………………12分 所以FQ EP k k = ，即FQ EP //.同理EQ PF //.所以四边形PEQF 为平行四边形.综上所述，存在点)1,0(P ，使得四边形PEQF 为矩形.………………14分。
2016年兰州市高三诊断考试 文科数学试题答案及评分参考一、选择题（每小题5分）8．解析：研究数对(),i S 的规律，不难发现运算结果如下：111(1,3)(2,)(3,)(4,2)(5,3)(6,)232-→-→→→-→-…,显然由20165044=⨯得最终输出的结果为210． 解析：依题意函数()y f x =在(0,)+∞上为减函数，且关于y 轴对称1()()(ln)(ln )f a f a f f ππ=-=-=，1()(ln )2f c f f π== 而210ln ln (ln )2πππ<<<，所以21(ln )(ln )(ln )2f f f πππ>>（）， 11．解析：设(,)M x y ，因22||||10MA MO +=，所以2222(2)10x y x y +-++=，即22(1)4x y +-=，由于点M 还在直线l 上，所以直线与圆相交或相切，2≤解得11a -≤≤12．解析：因为2()()sin x f x xf x x '+=，(0,6)x ∈，所以sin ()()xxf x f x x'+=， 设()()g x xf x =，则 sin ()[()]xg x xf x x''==，由()0g x '>得0x π<<， ()0g x '<得6x π<<，所以当x π=时，函数()()g x xf x =取得极大值()()2g f ππππ==二、填空题（每小题5分） 13．2π14．5 15．2 16．80m + 三、解答题17．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题意有 121111(3)()(7)a a d a d a d =⎧⎨+=++⎩ ………………3分解得1d =或0d =（舍去）所以 1(1)n a a n d n =+-= ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得n a n = ∴ 2n n b =∵12n nb b += ∴{}n b 是首项为2，公比2的等比数列 ………………10分∴12(12)2212n n n T +-==-- ………………12分 18．解：（Ⅰ）计算10名被采访者的综合指标，可列下表：由上表可知居住满意度为三级（01ω≤≤）的只有一位，其频率为10，用样本频率估计总体的频率，该城市中居住满意度为三级的人数有1200=2010⨯（万人）………………6分 （Ⅱ）设事件A 为“从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取两人，这两人的居住满意度指标ω均为4”，由（Ⅰ）知居住满意度为一级（4ω≥）的有编号为1、2、3、5、6、8的共6位，从中随机抽取两人，所有可能的结果有：{1,2}、{1,3}、{1,5}、{1,6}、{1,8}、{2,3}、{2,5}、{2,6}、{2,8}、{3,5}、{3,6}、{3,8}、{5,6}、{5,8}、{6,8}共15种. ………………8分其中综合指标为=4ω的有编号为1、2、5的共3位. 事件A 发生的所有结果为{1,2}、{1,5}、{2,5}共三种 所以31()155P A == ………………12分 19．解：（Ⅰ） 取PB 中点N ，连结MN 、AN ，M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==， 又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形 ………………3分,AP AD AB AD ⊥⊥ ，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB = ，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂ 平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . ………………6分（Ⅱ）∵12BE BC =∴点E 为BC 边的中点 ∴2DE CE ==在PDC ∆中PD CD ==PC ===所以PDC S ∆= 设点E 到平面PDC 的距离为h ，则有P CDE E PCD V V --= 所以111323PDC PA DE CE h S ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，即111222323h ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅解得h =即点E 到平面PDC………………12分 20．解：（Ⅰ）设椭圆的方程是22221(0)x y a b a b+=>>, 则，1c =∵||3BD =, ∴223b a=， 又221a b -=，∴2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y += ………………6分 （Ⅱ）假设存在直线1l 且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为(2)1y k x =-+由 22(2)1143y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设11(,)M x y 、22(,)N x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+-->，所以 12k >-， 又 1228(21)34k k x x k -+=+，21221616834k k x x k--=+ ………………8分因为12125(2)(2)(1)(1)4PM PN x x y y ⋅=--+--=所以2125(2)(2)(1)4x x k --+=即212125[2()4](1)4x x x x k -+++=所以222222161688(21)44[24](1)343434k k k k k k k k k---+-⋅++=+++, ………………10分 解得12k =±.因为12k >-，所以12k = 故存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =. ………………12分21．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，221()x f x x-'= 所以当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>故函数()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞单调递增.（Ⅱ）法一：设1()2ln g x x ax x =+-，则22121()(1)1g x a a x x x'=-+-=--+-因为1x ≥，所以211(1)0x-<--≤。
菏泽市2016届高三下学期一模考试数学试题(文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1。
复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ) A.(1.1)B 。
(1,1)-C. (1,1)- D 。
(1,1)--2。
已知集合{|sin ,}A y y x x R ==∈,集合{|lg }B x y x ==，则()RCA B 为（）A. (,1)(1,)-∞-+∞ B.[1,1]- C 。
(1,)+∞ D. [1,)+∞3。
已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A 。
10,2x x x ∀>+< B. 10,2x x x ∀≤+<C 。
10,2x x x ∃≤+< D. 10,2x x x ∃>+<4.圆22(1)1x y -+=被直线0x =分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A 。
1:2 B 。
1:3C 。
1:4 D.1:55. 甲：函数()f x 是R 上的单调递增函数；乙：1212,()()xx f x f x ∃<<，则甲是乙的（ ）A 。
充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 6.对于函数sin(2)6y x π=-，下列说法正确的是（ ）A. 函数图像关于点(,0)3π对称B 函数图像关于直线56x π=对称.C 将他的图像向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图像.D.将他的图像上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y x π=-的图像7。
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（ ） A.23π B. 2πC 。
223π D.π8.函数||4cos x y x e =-(e 为自然对数的底数)的图像可能是（ ）9.设()f x 是定义在R上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20,(),01,x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩则21(())4f f =（ )A.14-B. 14 C 。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅱ，理1，5分】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 取值范围是（ ） （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， 【答案】A【解析】∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ． （2）【2016年全国Ⅱ，理2，5分】已知集合{}1,23A =,，{}|(1)(2)0B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = （ ）（A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123，，， （D ）{}10123-，，，， 【答案】C【解析】()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，∴{}01B =，，{}0123A B = ，，，，所以选C ．（3）【2016年全国Ⅱ，理3，5分】已知向量()()1,3,2a m b ==- ，，且()a b b +⊥，则m =（ ）（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关． （4）【2016年全国Ⅱ，理4，5分】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a =（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【答案】A【解析】圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d =，解得43a =-，故选A ．（5）【2016年全国Ⅱ，理5，5分】如图，小明从街道的E 处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法，故选B ． （6）【2016年全国Ⅱ，理6，5分】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l ==，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）【2016年全国Ⅱ，理7，5分】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212k x k =-∈Z （D ）()ππ212k x k =+∈Z【答案】B【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．（8）【2016年全国Ⅱ，理8，5分】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ） （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】第一次运算：0222s =⨯+=，第二次运算：2226s =⨯+=，第三次运算：62517s =⨯+=，故选C ．（9）【2016年全国Ⅱ，理9，5分】若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ） 15- （D ）725-【答案】D【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）【2016年全国Ⅱ，理10，5分】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（ ）（A ）4n m （B ）2n m（C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的 阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）【2016年全国Ⅱ，理11，5分】已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）（A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 3sin sin 13F F M e MF MF F F ====---，故选A ． （12）【2016年全国Ⅱ，理12，5分】已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】B【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点 '0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2016年全国Ⅱ，理13，5分】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若4c o s 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______．【答案】2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =，()63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． （14）【2016年全国Ⅱ，理14，5分】α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】． （15）【2016年全国Ⅱ，理15，5分】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______． 【答案】()1,3【解析】由题意得：丙不拿()2,3，若丙()1,2，则乙()2,3，甲()1,3满足，若丙()1,3，则乙()2,3，甲()1,2不满足，故甲()1,3． （16）【2016年全国Ⅱ，理16，5分】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = _______．【答案】1ln2-【解析】ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为： ()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2016年全国Ⅱ，理17，12分】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．解：（1）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．（2）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． ∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2016年全国Ⅱ，理18，12分】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保（1（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 解：（1）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=． （2）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ，()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． （30.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）【2016年全国Ⅱ，理19，12分】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆的位置OD '=（1）证明：DH'⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值．解：（1）∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD =，∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥， ∴EF D H ⊥，∴EF DH '⊥．∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ． （2）建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，， ()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩， 取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()1345n =-u r ，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r ，，， ∴1212cos n n n nθ⋅===u r u u r u r u u r sin θ=． （20）【2016年全国Ⅱ，理20，12分】已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E的左顶点，斜率为(0)k k > 的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （1）当4t =，AM AN =时，求AMN ∆的面积；（2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．解：（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=，解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++，因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k k k =⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭，因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =． 所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． （2）直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =x =AM ==所以3AN k k =+，因为2AM AN =，所以23k k=+，整理得， 23632k k t k -=-．因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-，2k <．（21）【2016年全国Ⅱ，理21，12分】（1）讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a的值域．解：（1）()2e 2x x f x x -=+，()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '>， ∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>． （2）()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x xx x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+ ⎪+⎝⎭= [)01a ∈， 由（1）知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+， ∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2016年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在正方形ABCD ，E ，G分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ． （1）证明：B C G F ，，，四点共圆；（2）若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．解：（1）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，DF CFDG BC=， ∵DE DG =，CD BC =，∴DF CFDG BC=，∴GDF BCF △∽△，∴CFB DFG ∠=∠， ∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180GFB GCB ∠+∠=︒． ∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（2）∵E 为AD 中点，1AB =，∴12DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）【2016年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =l 的斜率．解：（1）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．（2）记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：22369014k k =+，整理得253k =，则k = （24）【2016年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．解：（1）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（2）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．。
2016年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）设实数,,21a a …2016,a 满足,2,1(11921=>+i a a i i …)2015,。
求))((232221a a a a --…))((212016220162015a a a a --的最大值。
解：令))((232221a a a a P --=…))((212016220162015a a a a --，由已知得，对,2,1=i …，2015，均有0911212121≥->-+++i i i i a a a a 。
若0212016≤-a a ，则0≤P 。
……………10分 以下考虑0212016>-a a 的情况。
约定12017a a =。
由平均不等式得∑∑∑=+==+-=-≤201612120161201612120161)(20161)(20161i i i i i i i a a a a P )1(20161)(201612016120161220161ii i i i i i a a a a -=-=∑∑∑===………………20分 4141201620161]2)1([20161201612=••=-+≤∑=i i i a a 所以201641≤P 。
..................30分 当==21a a (2)12016==a 时，上述不等式等号成立，且有,2,1(11921=>+i a a i i …)2015,，此时201641=P 。
综上所述，所求最大值为201641。
………………40分二、（本题满分40分）如图所示，在ABC ∆中，X ，Y 是直线BC 上两点（X ，B ，C ，Y 顺次排列），使得AB CY AC BX •=•。
设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为1O ，2O ，直线21O O 与AB ，AC 分别交于点U ，V 。
证明：AUV ∆是等腰三角形。
证法一：作BAC ∠的内角平分线交BC 于点P ，设三角形ACX 和ABY 的外接圆分别为1ω和2ω。
第十章 第六节一、选择题1．(2013·温州测试)甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．12种 [答案] B[解析] 甲、乙两人从A 、B 、C 三个景点中各选两个游玩，共有C 23·C 23＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种，选B.2．(2013·河北教学质量监测)有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( )A ．6B ．18C ．20D ．24[答案] B[解析] 由条件知，A 没得第一名和第三名，故A 的名次有C 13种可能，对于A 的每一种可能名次，C 、D 、E 有A 33种，∴共有C 13A 33＝18种． 3．(2014·云南统一检测)在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同一类学校的概率是( )A.1528B ．1328 C.1556D ．1356[答案] A[解析] 最先和最后交流的论文为示范学校论文的情况有A 25A 66种，最先和最后交流的论文为非示范学校论文的情况有A 23A 66种，故所求概率P ＝1－A 25A 66＋A 23A 66A 88＝1528. 4．(2014·安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对[答案] C [解析] 解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，C 1D ，CD 1，A 1D ，AD 1，A 1B ，AB 1共8条，同理与BD 成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC 成60°角时，有AD 1，计算与AD 1成60°角时有AC ，故AD 1与AC 这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C 212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C 212－6－12＝48对．5．(2013·陕西检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有( )A ．360种B ．4320种C ．720种D ．2160种[答案] B[解析] 先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，若指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A 33A 55＝4320种安排方式．6．(2014·广东理)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130[答案] D[解析] 易知|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝1，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C 15C 12＝10种情况；其二：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝2，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C 25＋C 25C 12＝40种情况；其三：|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|＝3，此时，从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 35＋C 35C 13＋C 35C 23＝80种情况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D.二、填空题7．(2013·抚州模拟)从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有________条(用数字表示)．[答案] 30[解析] 因为直线过原点，所以C ＝0，从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A 、B ，两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为A 26＝30.8．(2013·云南昆明一模)将4名新来的同学分配到A ，B ，C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________种．[答案] 24[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 22＋C 13A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 33－C 23A 22－C 13A 22＝24(种)．9．(2013·武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，有________种不同的调度方法(填数字)．[答案] 120[解析] 先从其余的5辆车中选出2辆车执行任务，有C 25种选法，这4辆车所有可能开出的先后顺序有A 44种，其中甲在乙车前和后的一样多，故共有不同调度方法12C 25A 44＝120种． 10．(2014·浙江嘉兴月考)已知a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，u ＝log a b ，则u 的不同取值个数为________．[答案] 54[解析] 解法1：枚举法．要保证u 的取值不同，则有a ＝2时，b 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种情况；a ＝3时，b 可取2,4,5,6,7,8共6种情况；a ＝4时，b 可取2,3,5,6,7,8共6种情况；a ＝5时，b 可取2,3,4,6,7,8,9共7种情况；a ＝6时，b 可取2,3,4,5,7,8,9共7种情况；a ＝7时，b 可取2,3,4,5,6,8,9共7种情况；a ＝8时，b 可取2,3,4,5,6,7,9共7种情况．a ＝9时，b 可取2,5,6,7,8共5种情况．所以u 的不同取值个数为9＋6＋6＋7＋7＋7＋7＋5＝54.解法2：a 可取2～9的数字，有8种取法，b 可取1～9的数字，有9种取法，∴共有8×9＝72种不同取法．其中b ＝1时，log a b ＝0，这样的取法有8种，a ＝b 时，log a b ＝1，这样的取法有8种，又log 24＝log 39＝2，log 42＝log 93＝12，log 23＝log 49，log 32＝log 94， ∴log a b 的不同取值共有72－7－7－4＝54种.一、选择题11．(2013·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个 [答案] B[解析] 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数，分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数，分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数，分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数，分别为211、121、112，共计：3＋6＋3＋3＝15个．12．(2014·洛阳统考)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有( )A ．30种B ．60种C ．90种D ．150种[答案] D[解析] 5名教师分成三组有：2,2,1；3,1,1两种分法，所以不同的分配方案有C 13C 25C 23＋C 35A 33＝150种．13．(2014·四川成都石室中学一诊)设三位数n＝100a＋10b＋c，若以a，b，c∈{1,2,3,4}为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有() A．12个B．24个C．28个D．36个[答案] C[解析]若为等边三角形，则有4种．若为等腰非等边三角形，以底边为准分类：若底边为1，则有3个等腰三角形；若底边为2，则有2个等腰三角形；若底边为3，则有2个等腰三角形；若底边为4，则有1个等腰三角形．一个等腰非等边三角形对应有3个三位数，所以共有4＋(3＋2＋2＋1)×3＝28个．14．(2014·四川德阳中学诊断)设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1<a2<a3且a3－a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为() A．76 B．78C．83 D．84[答案] C[解析]在集合S中任取三个数共有C3＝84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满9足a3－a2≤6的只有{1,2,9}，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C39－1＝83，故选C.15．(2015·深圳市五校联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有()A．40种B．70种C．80种D．100种[答案] A[解析]Grace不参与该项任务，则有C1C24＝30种；5Grace参与该项任务，则有C25＝10种，故共有30＋10＝40种．16．(2014·黑龙江大庆专项训练)设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0(m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为() A．13 B．15C．17 D．19[答案] C[解析] 当m ＝0时，取n ＝0,1,4，方程为合格方程；当m ＝1时，取n ＝0,2,6，方程为合格方程；当m ＝2时，取n ＝0,3，方程为合格方程；当m ＝3时，取n ＝0,4，方程为合格方程；当m ＝4时，取n ＝0,5，方程为合格方程；当m ＝5时，n ＝0,6，方程为合格方程；当m ＝6时，取n ＝0,7，方程为合格方程；当m ＝7时，取n ＝0，方程为合格方程．综上可得，合格方程的个数为17，故选C.二、填空题17．(2014·合肥质量检测)某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有________种．○ ○ ○○ ○○[答案] 144[解析] 当甲、乙在第三排且相邻时有4A 44＝96种排法，当甲、乙在第二排且相邻时有A 22A 44＝48种排法，所以不同的安排方法总数为144.18．(2014·北京市海淀区期末)已知集合M ＝{1,2,3，…，100}，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作S (A )．①满足S (A )＝8的集合A 的个数为________；②S (A )的所有不同取值的个数为________．[答案] 6 5050[解析] ①若S (A )＝8，则A ＝{8}，A ＝{1,7}，A ＝{2,6}，A ＝{3,5}，A ＝{1,2,5}和A ＝{1,3,4}，共6种可能．②若A ＝{1}，则S (A )＝1，当A ＝{1,2,3，…，100}时，S (A )＝1＋2＋3＋…＋100＝1012×100＝5050，下面证明任意给定1<m <5050，存在子集A 使得S (A )＝m ，若B 为M 的子集，S (B )＝i ，则S (綂M B )＝5050－i ，故只需说明任意给定1<m <2525，存在子集A 使得S (A )＝m ，当A ＝{1,2,3，…，72}时，S (A )＝732×72＝2628，同理只需证明给定1<m <1314，存在子集A 使得S (A )＝m ，当A ＝{1,2,3，…，51}时，S (A )＝522×51＝1326，同理只需说明给定1<m <663，以此类推，可以证明任意给定1<m <5050，存在子集A 使得S (A )＝m ，所以S (A )的不同取值为5050个．[点评] 1.排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略．(1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．①有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有________种．[答案]192[分析]甲站正中间，左边、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按这个整体元素的站位考虑有4种情况，其他位置可任意排列．[解析]依题意得，满足题意的不同站法共有4·A2·A44＝192种．2(2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．②(2013·郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A．12种B．18种C．24种D．48种[答案] C[解析]将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A2·A22种方法．而2后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A22·A23＝24种方法．(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题．③6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有________种．[答案]120[解析]解法1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只需从6个位置中选取3个排上其余3人，有A36种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有A36＝120种．解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C36种方法，剩下3个位置站其余3人，有A33种方法，∴共有C36·A33＝120种．(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．④6位同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为() A．12B．9C．6D．5[答案] B[解析]当乙、丙中有一人在A社区时有C1C13C22＝6种安排方法；当乙、丙两人都在B社2区时有C13C22＝3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法．(5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况．⑤从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种B．30种C．42种D．60种[答案] A[解析]解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有C1·C26种选法，含2名女生有2C22·C16种选法，∴共有C12C26＋C22C16＝36种选法．解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C38－C36＝36种．(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)．⑥四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．[答案]144[解析]先从四个小球中取两个放在一起，有C2种不同的取法，再把取出的两个小球与另4外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同的放法，据分步计数原理，共有C24·A34＝144种不同的放法．(7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求．⑦过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对B．24对C．30对D．36对[答案] D[解析]三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C4－3＝12个不同四面体，而每个四面6体有三对异面直线，则共有12×3＝36对．(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.⑧用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328C．360 D．648[答案] B[解析]利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A29＝72个偶数；(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256个偶数，共计72＋256＝328个偶数，故选B.2．建模思想⑨一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.[答案]C mm＋n[解析]从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝C m m＋n.[点评](1)例如f(3,4)＝C3，其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径7爬行．(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题．⑩方程x＋y＋z＝8的非负整数解的个数为________．[答案]45[解析]把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11＋＋111111表示x ＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示x＝0，y＝8，z＝0等等，∴不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C210＝45个．⑪一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种．[解析]记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C47＝35种．[点评]实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解．⑫如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250 B．240C．252 D．300[答案] C[解析]要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读．每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C510＝252种．3．枚举法⑬如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]24[解析]六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边．考察P A与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(P A，BC)，(P A，CD)，(P A，DE)，(P A，EF)共四对．同理与其它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4×6＝24对．。
