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第二章有理数2.1 有理数2.1.1 正数和负数1.明白生活中存在着无数表示相反意义的量，能举例说明；2.能体会引进负数的必要性和意义，建立正数和负数的数感.理解正数和负数的意义.体会现实生活中具有相反意义的量.一、情境导入，激发兴趣1.回顾小学中有关数的范围及数的分类，指出小学中的“数”是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.如：0，1，2，3，…，，.2.下面的温度怎样表示？【教学说明】让学生了解数的产生过程，初步认识到以前学过的数不能满足实际的需要.1.在日常生活中，常会遇到这样的一些量：如：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米；温度是零上10℃和零下5℃；收入500元和支出237元；水位升高1.2米和下降0.7米；像这样的日常生活中描述温度的零上多少摄氏度和___________________，水位的升高和_______，现金的收入和_______，商品的买进和_______等类似的数量都具有相反的意义，我们称之为具有相反意义的量.2.问题：你能再举几个其他的具有相反意义的量吗？【教学说明】必须满足两个条件：（1）意义相反；（2）同一种量.3.定义：一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示；把与它意义相反的量规定为负的，在过去学过的数（零除外）的前面放上一个“-”号来表示.如：在表示温度时，通常规定零上为“正”，零下为“负”，即零上10℃表示为10℃，零下5℃表示为-5℃.（1）正数小学学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,都是_______. 为了加以强调，_______前可加上“+”（读作正）号,但一般省略不写.如5可以写成+5, +5和5是一样的.（2）负数在正数的前面加上“-”(读作负)号的数是_______.“-”号不能省略.如：-5，-0.36.（3）0既不是_______,也不是_______（0不再仅仅表示“没有”，也是正、负数的分界点）.【教学说明】通过归纳总结正数和负数的概念，举出实际例子加深对正数和负数的理解，使学生掌握正数和负数的特征及表示方法.例1 填空：（1）出口货物500吨记作-500，进口货物262吨记作_______；（2）如果产量增加20％，记作_______，那么产量减少3％记作_______；（3）向东前进30m记作+30，向西前进10m记作_______.【教学说明】让学生先观察记法，找到具有相反意义的量，再用正负数来表示.例2 把下列叙述改成使用正负数的方法（1）向南走-20 m，即_______；（2）飞机下降-200 m，即_______；（3）飞机上升-3000 m，即_______；（4）商店赢利-1000元，即_______.【教学说明】通过讲解，使学生理解正数和负数是表示相反意义的量，掌握它的表示方法.1.由于实际问题中存在着相反意义的量，所以要引入负数，这样数的范围就扩大了.2.正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“+”)，负数就是在以前学过的0以外的数前面加“-”．【教学说明】教师引导学生总结负数的产生是实际生活的需要，进一步理解用正数和负数表示互为相反意义的量.课本习题1.1。
华师大版数学七年级上册《第5章相交线与平行线》教学设计一. 教材分析华师大版数学七年级上册第5章《相交线与平行线》是学生在学习了平面几何基本概念和几何图形之后，进一步研究几何图形的性质和相互关系的重要章节。
本章主要内容包括相交线与平行线的定义、性质、判定和应用。
通过本章的学习，学生能够掌握相交线与平行线的基本知识，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面几何图形有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能会对相交线与平行线的概念和性质产生混淆，对判定定理的理解和应用也存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重对学生的基础知识的巩固，通过实例讲解和动手操作，帮助学生理解和掌握相交线与平行线的性质和判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够准确掌握相交线与平行线的定义，了解它们的性质和判定方法，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.相交线与平行线的定义和性质。
2.平行线的判定方法。
3.相交线与平行线在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入相交线与平行线的概念，激发学生的学习兴趣。
2.动手操作法：让学生通过实际操作，观察和分析相交线与平行线的性质，加深对知识的理解。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作探究，培养学生的团队协作能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现问题，引导学生运用已有知识解决问题，提高学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相交线与平行线的教学课件，包括图片、动画和实例等，帮助学生直观理解。
2.教学素材：准备相关的练习题和实际问题，用于巩固和拓展学生所学知识。
3.教学工具：准备直尺、三角板等工具，方便学生进行实际操作。
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华师大版（七年级上）偃师市山化五中席萌芽教学内容：2.1.1正数和负数教学目标：1、感受数学与日常生活的密切联系，体会负数引入的必要性;2、学会用正负数表示实际量;3、培养学生获取信息并进行分析的意识和能力，激发学习数学的浓厚兴趣.教学重点：正确理解负数的意义.教学难点：在实际情境中理解负数的意义.教学设备：多媒体设备教学过程：一、我当播音员播放一段天气预报的视频.教师：谁来当播音员继续预报天气？学生学生当播音员教师：零上5℃和零下2℃是具有相反意义的量，图中是用什么数表示的？设计意图：通过活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，初步体会具有相反意义的量可以用正负数表示，为下面的交流打下基础.二、合作交流，解读探究学生活动：1、在小组内交流生活中类似上面的例子，并用合适的数表示，然后小组推荐代表在全班交流.2、在黑板上写出数，教师引导学生说出什么样的数是正数，什么样的数是负数.3、讨论：0是什么数？教师点拨：1、“–”号读作“负”，如–2，读作“负二”，“–”号是不可以省略的．“＋”号读作“正”．如“ +9 ”，读作“正九”，“＋”可以省略不写．2、相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量.3、课件展示: 负数的历史.设计意图：通过交流收集到的正负数这一环节，培养了学生良好的学习习惯、语言表达能力、交流能力、倾听能力，让学生体会到数学是生活中的数学，是“自己的数学”，深切感受数学与日常生活的密切联系，体会负数引入的必要性.教师在整个活动中主要是不断赞赏学生独特而富有个性的理解和表达，创造和谐的氛围，形成一个真正的师生共识、共享、共进的“学习共同体”，三、走进生活，丰富认识课件展示以下问题：1、（配图片）在中国地形图上，珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们高度的数（单位：米），如图所示，这种数表示海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8848和—155表示的实际意义.海平面的高度用什么数表示？2、这是某一天的股市行情，你明白“+”、“—”号的含义吗？任选一个数说一说.3、某星期三的股市下跌50点，用正负数表示，记作：________，上涨60点记作________.4、如果低于水库正常水位记作—3米，那么+5米的意思是：________________.5、某天温度上升了—4℃的实际意义是________________.6、80m表示向东走80m,那么－60m表示 .7、某种面粉的包装带上标识的重量为（50±0.2）kg,小明家买了一袋这样的面粉称得重量是49.7kg，这袋面粉合格吗？设计意图：从各个方面举例，进一步把生活和正负数关联起来，给了学生宽广的视野，给了学生思考的空间，让学生感受、体验到负数不仅是生活所需，还是进一步学习的重要基础.四、反思收获，拓展升华1、读书10——11页，总结收获2、思考：带有“—”号的数一定是负数吗？3、讨论：0只表示没有吗？设计意图：留点时间给学生自己看书、回顾、梳理所学的知识，目的是培养学生学会读书，养成好的习惯，也使得不同层次的学生得到不同的发展五、我来展示收获学生可以用不同的方式展示自己的收获。
华师大版数学七年级上册《平行线的判定》教学设计一. 教材分析华师大版数学七年级上册《平行线的判定》是初中学段几何部分的重要内容，主要让学生掌握平行线的判定方法，理解平行线的性质。
本节课的教学内容主要包括平行线的定义、平行线的判定定理及其推论。
教材通过实例引导学生探究平行线的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的数学运算能力和一定的几何知识。
但学生在空间想象能力和逻辑推理方面还有待提高。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步掌握平行线的判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行线的定义及判定方法，能够运用平行线的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极思考的良好学习习惯。
四. 教学重难点1.重点：平行线的定义及其判定方法。
2.难点：平行线性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平行线的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现平行线的判定方法。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，培养团队协作能力。
4.实践应用法：设计适量练习，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入新课。
2.准备平行线的判定定理及其推论的PPT，用于呈现知识点。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
4.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活实例，如公交线路、铁轨等，引导学生观察并思考：这些实例中是否存在平行线？学生回答后，教师总结并引入平行线的概念。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT呈现平行线的定义及其判定方法，引导学生通过观察、操作、思考，发现平行线的判定定理。
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。
因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。
