第一章综合练习及参考答案

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必修4第一章综合练习一、选择题1.点P 从(10),出发,沿单位圆221x y +=逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则Q 点的坐标为( )A.12⎛- ⎝⎭B.12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.12⎛- ⎝⎭, D.12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, 2.如果点(sin cos 2cos )P θθθ,位于第三象限,那么角θ所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三角限 D.第四象限3.cos(2640)sin1665-+= ( ).A .12+ B .12- C D .4.若sin(180)α+=,则sec()sin(90)csc(540)cos(270)αααα-+------ 的值是( )A.13-B.13C.127± D.5.要由函数1πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数sin y x =的图象,下列变换正确的是( )A.向左平移π6个单位长度,再将各点横坐标变为2倍 B.向左平移π6个单位长度,再将各点横坐标变为12 C.向右平移π3个单位长度,再将各点横坐标变为2倍 D.向右平移π3个单位长度,再将各点横坐标变为126.同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线3x π=对称;③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是( ). A .sin()26x y π=+B .cos(2)3y x π=+C .sin(2)6y x π=-D .cos(2)6y x π=- 7.在(0,2π)内,使sinx>cosx 成立的x 取值范围为( )A 、)45,()2,4(ππππ⋃ B 、),4(ππ C 、)45,4(ππ D 、)23,45(),4(ππππ⋃ 8.已知函数sin()y A x B ϖϕ=++的一部分图象如右图所示,如果2||,0,0πϕϖ<>>A ,则( ).A .4=AB .1=ϖC .4=BD . 6πϕ=9.设函数f (x )=cos ωx (ω>0),将y =f (x )的图像向右平移π3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于( ) A.13B .3C .6D .910. 已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立,且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π-π3,k π+π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π,k π+π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π-π2,k π(k ∈Z ) 二、填空题11. 已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π,3π2,tan α=2,则cos α=________..12.函数)62sin(3π+=x y 与y 轴距离最近的对称轴是 .13.已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2,y =f (x )的部分图象如图,则f ⎝⎛⎭⎫π24=________________.14.函数12πlog sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间为_______________ 15.函数,0,01),sin()(12⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-x e x x x f x π若,2)()1(=+αf f 则α的所有可能值的集合是_______________. 16.给出下列五个命题:①函数tan y x =的图象关于点(,0),2k k Z ππ+∈对称;②函数()sin ||f x x =是最小正周期为π的周期函数; ③设θ为第二象限的角,则tancos22θθ>,且sincos22θθ>;④函数2cos sin y x x =+的最小值为1-,.其中正确的命题是_____________________.三、解答题17.已知函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫13x -π6,x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值;(2)设α,β∈⎣⎡⎦⎤0,π2,f ⎝⎛⎭⎫3α+π2=1013,f (3β+2π)=65,求βαtan tan ∙的值.18.已知51cos sin ,0=+<<x x x π. (I )求sin x -cos x 的值;(Ⅱ)求x x 33cos sin -的值.19. 已知函数52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值2,试求实数a 的值.20.已知函数()sin(),f x A x x Rωϕ=+∈(其中0,0,02Aπωϕ>><<)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3Mπ-.(1)求()f x的解析式;(2)在方格中画出()f x在一个周期上的简图;(3)当[,]122xππ∈,求()f x的值域.参考答案:1.A2.B3.B4.C5.D6.C7. C8.D9. C 【解析】 将y =f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合,则π3=2πωk ,k ∈Z ,得ω=6k ,k ∈Z ,又ω>0,则ω的最小值等于6,故选C.10. C 【解析】 对x ∈R 时,f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立,所以f ⎝⎛⎭⎫π6=sin ⎝⎛⎭⎫π3+φ=±1,可得φ=2k π+π6或φ=2k π-5π6,k ∈Z .因为f ⎝⎛⎭⎫π2=sin(π+φ)=-sin φ>f (π)=sin(2π+φ)=sin φ,故sin φ<0.所以φ=2k π-5π6,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -5π6.由-π2+2k π≤2x -5π6≤π2+2k π,得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ) 11. - 55 12. 6π=x 13.3 14. ππππ88k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦Z ,, 15. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22,116.①④①点(,0),(,0),2k k k Z πππ+∈是正切函数的对称中心,∴①对;②()sin ||f x x =不是周期函数,②错; ③(,)242k k θππππ∈++,当21,k n n Z =+∈时,sincos22θθ<.∴③错;④22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+,∴当sin 1x =-时,min 1y =-∴④对. 17.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4=2sin ⎝⎛⎭⎫13×54π-π6=2sin π4= 2. (2)∵1013=f 3α+π2=2sin 13×3α+π2-π6=2sin α,65=f (3β+2π)=2sin ⎣⎡⎦⎤13×(3β+2π)-π6=2sin ⎝⎛⎭⎫β+π2=2cos β, ∴sin α=513,cos β=35,又∵α,β∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴cos α=1-sin 2α=1-⎝⎛⎭⎫5132=1213, sin β=1-cos 2β=1-⎝⎛⎭⎫352=45,125tan =∴α,34tan =β,βαtan tan ∙=9518. (1)57 (2)1259119.解:22sin sin 26,sin ,[1,1]y x a x a a x t t =-+-++=∈-令2226y t at a a =-+-++,对称轴为2at =, 当12a<-,即2a <-时,[1,1]-是函数y 的递减区间,2max 1|52t y y a a =-==-++=得2130,2a a a --==与2a <-矛盾; 当12a>,即2a >时,[1,1]-是函数y 的递增区间,2max 1|352t y y a a ===-++=得233330,2,22a a a a a --==>=而即;当112a -≤≤,即22a -≤≤时,2max 23|2624a t y y a a ===-++=得24438160,4,2,33a a a a a --==-≤≤=-或,而-2即;∴43,32a +=-或. 20.(1))62sin(2)(π+=x x f (2)略(3)[]2,1-。