数学建模典型例题
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精品 感谢下载载 一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克• 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。
一、 问题分析
人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、 模型假设 1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、 假设体重的变化是一个连续函数 4、 初始体重为W0 三、 模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、 模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 精品 感谢下载载 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)
即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81;
二、投资策略模型 一、 问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本aij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。以千元计数aij的由下面的表给出： aij 年2 年3 年4 年5 年6 年1 4 6 9 12 20 年2 5 7 11 16 年3 6 8 13 年4 8 11 年5 10
请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。 二、 问题分析 本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。 三、 条件假设 除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用； 精品 感谢下载载 四、模型建立
二 5 11 7 三 6 4 16 6 13 8 四 一 9 12 8 11 20 五 10
六 精品
感谢下载载 运用Dijikstra算法 1 2 3 4 5 6 0 4 6 9 12 20 6 9 12 20 9 12 20 12 20
20 可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现 即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。
三、飞机与防空炮的最优策略 一、问题重述： 红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝精品 感谢下载载 方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？ 二、问题分析 该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。 1、对策参与者为两方（红蓝两方） 2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御
方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。 三、问题假设： （1） 红蓝双方均不知道对方的策略。 （2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。 （3） 红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。 （4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。 四、模型建立 行动及其产生的结果 红方 蓝方 2架一起 两架分开 精品
感谢下载载 1-1-1-1 1.0 0.00 2-1-1 0.75 0.50 2-2-0-0 0.50 0.83 由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为B
A= 1 0 0.75 0.50 0.50 0.83 B= 0 0.25 0.5
1 0.5 0.17 没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题 设蓝方采取行动i的概率为 xi(i=1，2，3)，红方采取行动j的概率为yj(j=1,2)，则蓝方与红方策略集分别为： S1=｛x=（x1，x2，x3）0< xi<1,∑xi=1｝， S2=｛y=（y1，y2）0< yi<1,∑yi=1｝。 五、模型求解 下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x* Max v1 0*x1+0.25*x2+0.5*x3 >v1
x1+0.5*x2+0.17*x3 >v1 精品 感谢下载载 x1+x2+x3 =1
xi<=1
下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y* Min v2 y2
0.25*y1+0.5*y2
0.5*y1+0.17* y2
y1+y2= 1
yi<=1
四、雷达计量保障人员分配 开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。 现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：
区域 部署雷达 计量保障任务划分 计量保障任务数量 精品 感谢下载载 区域1（雷达一营） 区域2（雷达二营） 区域3（雷达三营） A、A、B、C、D、E C、F、G、H、I D、F、J、K、L A、B1、B2、C、D、E、 C、F、G、H1、H2、I D、F、J、K、L1、L2 6 6 6
说明：1．保障任务分区域进行保障； 2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务； 3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成。 雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）：
雷达 A1 B1 C1 D1 E1 C2 F2 G2 H2 I2 D3 F3 J3 K3 L3 重要性 0.8 0.9 0.8 0.7 0.7 0.7 0.8 0.7 0.9 0.6 0.7 0.9 0.8 0.6 0.7
该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：
人员 A B1 B2 C D E F G H1 H2 I J K L1 L2 Mw1 0.8 0.3 0 0.7 0.4 0.8 0.6 0.7 0.9 0.3 0.4 0 0 0.7 0.8 Mw2 0.9 0.5 0 0.5 0 0 0.5 0.9 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Mw3 0 0.9 0 0 0 0 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4 0.4 0.3 0.4 0.5 精品 感谢下载载 Mw4 0.4 0 0 0.5 0.5 0 0.2 0 0.2 0.6 0.8 0.2 0.7 0.2 0.2 Mw5 0.7 0.8 0.7 0.6 0.7 0.3 0.3 0 0.3 0.5 0.7 0.3 0.3 0.3 0.7 Mw6 0.5 0 0.8 0.6 0.8 0.7 0.8 0 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.1 0.2 Mw7 0.5 0.9 0.4 0 0 0.2 0.3 0.4 0.3 0.3 0 0.6 0.3 0.3 0.5 Mw8 0.8 0.2 0.4 0.6 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0 0.2 0.1 0.2 0.2 Mw9 0.4 0.7 0.5 0.5 0.3 0.6 0.7 0.8 0.7 0.6 0.4 0.3 0.7 0.6 0.2 Mw10 0.7 0.3 0.8 0.6 0.8 0.8 0.3 0.5 0.2 0 0.4 0.9 0.7 0 0
问题：如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？ 一、问题分析：
该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用0—1整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。 二、模型假设 1．保障任务分区域进行保障； 2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务； 3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务；
6．每个保障任务只由一个保障人员完成。
三、模型建立 根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：
