初中数学中考第十三讲反比例函数知识点分析

第十三讲：反比例函数 知识梳理 知识点l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xky或y=kx-1（k为常数，0k）的形式，那么称y是x的反比例函数。 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零； （2）xk中分母x的指数为1，如，22yx就不是反比例函数。 （3）自变量x的取值范围是0x的一切实数. （4）自变量y的取值范围是0y的一切实数。 例1、如果函数22(1)mymx为反比例函数，则m的值是 （ ） A 、1 B、0 C 、21 D、1

解题思路：由反比例函数的定义可知22m=-1，解得m=±1,但须考虑(1)m≠0，则m=-1 解答：A

练习当n取什么值时，y＝（n2+2n）x是反比例函数? 答案：当n＝-1时， 知识点2. 反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数xky的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法； （2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

反比例函数的性质

xky)0k(的变形形式为kxy（常数）所以：

（1）其图象的位置是： 当0k时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当0k时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数xky的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。 （3）当0k时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当0k时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 例1如图，函数y＝kx与y＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）

解题思路：本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数y＝-kx+1与y轴的交点为（0，1），所以结论B和C都要可以排除.A中直线y＝-kx+1经过第一、二、四象限，-k＜0，则k＞0，而k＞0时，双曲线y＝kx两分支各在第一、三象限，所以结论A可以排除.故选D.

例2当n取什么值时，y＝（n2+2n）x是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内，y随x的增大而增大或是减小?

解题思路：本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义y=kx（k≠0） 可知，要本题是反比例函数，必须且只须n2+2n≠0且n2+n-1=-1. 解：y＝（n2+2n）x是反比例函数，则 n2+2n≠0，n2+n-1＝-1 ∴n≠0且n≠-2，n＝0或n＝-1. 故当n＝-1时，y＝（n2+2n）x是反比例函数y＝-kx. ∵k＝-1＜0， ∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大则增大. 练习1已知点A（11xy，）、B（22xy，）是反比例函数xky（0k）图象上的两点， 若210xx，则有（ ） A．210yy B．120yy C．021yy D．012yy

2矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）

答案：1.A 2.B 知识点3. 反比例函数解析式的确定。 重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式xky中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入xky中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：xky（0k）； ②根据已知条件，列出含k的方程； ③解出待定系数k的值； ④把k值代入函数关系式xky中。 例反比例函数的图象经过A（1，-2），求反比例函数的关系式 解题思路：设反比例函数的关系式为kyx，把点A（1，-2）代入kyx可得k=-2则所求反比例函数的关系式为2yx 练习．已知点(3,3)是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________． 答案：3yx

知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点： ①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 例某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系： x（元） 3 4 5 6 y（元） 20 15 12 10 （1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点； （2） 猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？ 解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。（2）观察数据特点xy=60,可知y与x之间的反比例函数关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）×销售数量即：w=(x-2) y= (x-2) 60x 则 y=60-120x 由于x≤10当x=10时y最大

练习 某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米2)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位) （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？ 答案：（1）96pv （2）120 （3）23

知识点5.反比例函数综合 例：如图，反比例函数kyx的图象与一次函数ymxb的图象交于(13)A，，(1)Bn，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值 解题思路：(1)由(13)A，在kyx的图象上，则k=3，反比例函数关系式为3yx； 由(1)Bn，也在3yx的图象上，则n=-3,所以B（-3，-1）。把(13)A， B（-3，-1）代入 ymxb中，由待定系数法可求得m和b. （2）由图象可知：当x=-3或1时反比例函数的值等于一次函数的值，再结合图象回答。 解答：（1）(13)A，在kyx的图象上， 3k，3yx又(1)Bn，在3yx的图象上，

3n，即(31)B，313mbmb，

解得：1m，2b，反比例函数的解析式为3yx， 一次函数的解析式为2yx， （2）从图象上可知，当3x或01x时， 反比例函数的值大于一次函数的值．

例2反比例函数xky的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，求k的值 分析：设M（x,y）又根据△MON的面积与点M的关系可得： S△MON=11222xyk所以k=±4,又函数图象在第二、四象限，则k=-4

练习1．如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－203，

y x A

O B

图 5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．

2.两个反比例函数y=kx和y=1x在第一象限内的图像如图3所示，•点P在y=kx的图像上，

PC⊥x轴于点C，交y=1x的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图像于点B，•当点P在y=kx的图像上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等 ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，•少填或错填不给分）．

答案：1. 12yx 2．①②④

最新考题 综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。” 2010年中考反比例函数复习策略： 1． 抓实双基，掌握常见题型； 2． 重视函数的开放性试题； 考查目标一.反比例函数的基本题