椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1：已知一个动圆与圆2
2
:(4)100C x y ++=相切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
练习：
1.6=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
2.10=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
3.10=成立的充要条件是（ ）
A.
2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22
1925
x y +=
4.1m =+表示椭圆，则m 的取值围是
5.过椭圆2
2
941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2
F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；
6.设圆2
2
(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
题型二. 椭圆的方程
（一）由方程研究曲线
例1.方程
22
11625
x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 （二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；
例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22
9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
（四）定义法求轨迹方程；
例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹； 练习：
1、动圆P 与圆221:(4)81C x y ++=切与圆22
2:(4)1C x y -+=外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。 2、已知动圆C 过点A (2,0)-，且与圆22
2:(2)64C x y -+=相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；
（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2
2
24x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB •=的点，求点P 的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1
2
，求此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题
椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；
椭圆22
22
1(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ∆中，12F PF α=∠，则
当P 为短轴端点时α最大，且 ①122PF PF a +=； ②22
212122cos 4c PF PF PF PF α=
+-；
③12
121sin 2
PF F S PF PF α∆==2tan 2
b α⋅。（b 短轴长）
例：知椭圆2211625
x y +=上一点P 的纵坐标为5
3
，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及
12cos F PF ∠；
练习：
1、椭圆
22
192
x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ； 12F PF ∠的大小为 ；
2、P 是椭圆
22
1259
x y +=上的一点，1F 和2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=。 （1）求12F PF ∆的面积；（2）求点P 的坐标。
题型四.椭圆的几何性质
例 1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为5
3
，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距
为c ，则12PF PF •的最大值与最小值之差为
例2.椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的切圆恰好过焦点，则椭圆
的离心率为 ；
例3.若椭圆
22114x y k +=+的离心率为1
2
，则k = ；
例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，
且0
1215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为
题型五.求围
例1.方程22
22
1(1)x y m m +
=-焦点在x 轴的椭圆，数m 的取值围；
题型六.求离心率
例 1. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直
线AB
，则椭圆的离心率e =
例2.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，
则椭圆的离心率为
例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；
练习
1、（2010二模）以椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交
于A 、B 两点，已知OAB ∆是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；
2、已知A B C 分别为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点、上顶点、和左焦点，若0
90ABC ∠=，则
该椭圆的离心率为 ；
3、（2012年新课标）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32
a
x =上一
点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为 （ ）
A ．12
B ．23
C ．34
D ．45
4、椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等
比数列,则此椭圆的离心率为______
题型七.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆2
2
916144x y +=相切、相交、相离？
