1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为 （ ）A 、24B 、25 （63）C 、1074+ （） D 、1274+ （）解法一：直接思维：直接代入进行计算。
立方计算，很费时间。
原式=333123(81)(861)(4411)66a +--=⨯=-=-=--==+= 解法二：拆分、组合：提取（a+1）原式=3a 3+3a 2+9a 2+9a-15a-15+3=（a+1）(3a 2+9a-15)+3=（a+1）(3a 2+3a+6a-15)+3=[3a(a+1)2+（a+1）(6a-15)]+3=[21a+（a+1）(6a-15)]+3=6a 2+12a+6-18=42-18=24解法三：构造：（a+1）2原式=3a(a 2+4a-2)-12=3a(a 2+2a+1+2a-3)-12=3a[(a+1)2+2a-3]-12=3a(4+2a)-12=6a(a+2)-12=36-12=24解法四：综合、分析：a 2=6-2a 代换原式=3a(6-2a)+12(6-2a)-6a-12=-6a 2-12a+60=-6(6-2a)-12a+60=24解法五：联想、猜想：结果应该是三的倍数。
24=3×8原式除以3得：a 3+4a 2-2a-4=a 3+a 2+3a 2+3a-5a-4=(a+1)(a 2+3a)-5a-4=(a+1)(6+a)-5a-4=a 2+2a+2=8a 3+4a 2-2a-4=a 3+2a 2+a+2a 2-3a-4=a(a+1)2+2a 2-3a-4=7a+2a 2-3a-4=2a 2+4a-4=2a 2+4a+2-6=14-6=8a 3+4a 2-2a-4=a 3+4a 2-2a-4=a(6-2a)+4(6-2a)-2a-4=-2a 2-4a +20=-2(6-2a)-4a +20=8赛点：1、两数和的平方、两数立方和的公式及其拆分、组合、变换 2、平方根式的运算3、因式分解4、构造的思想方法5、猜想的思想方法())()))))())323222222312612=3+1+12615=3111261511261534253482153185524a a aa a aa a a a aa a a aa a+----+-++--=-++--⎡⎤=-+-⎣⎡⎤=--++⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦=2、对于任意实数dcba,,,，定义有序实数对（ba,）与（dc,）之间的运算“△”为：（ba,）△（dc,）=（bcadbdac++,）。
2011年全国初中数学竞赛试题(A 卷)一、选择题（每小题7分，共35分）1、设17-=a ，则代数式12612322--+a a a 的值为（）.A、24B、25C、1074+D、1274+2、对于任意实数d c b a ,,,，定义有序实数对()()d c b a ,,与之间的运算⊗为：()()()bc ad bd ac d c b a ++=⊗,,,，若对于任意实数v u ,都有()()()v u y x v u ,,,=⊗，则()y x ,为（).A、()1,0B、()01，C、()01-，D、()1-0，3、若,0,1>>y x 且满足,,3y y x y x x xy ==则y x +的值为（）.A、1B、2C、29D、2114、已知点D、E 分别在ΔABC 的边AB、AC 上，BE 与CD 交于点F，设,,,,4321S S S S S S S S CEF BCF BDF EADF ====则4231S S S S 与大小关系为（).A、4231S S S S <B、4231S S S S =C、4231S S S S >D、无法确定5、设333991......2111+++=S ，则S 4的整数部分等于（）.A、4B、5C、6D、7二、填空题（每小题6分，共30分）6、若关于x 的方程()()0422=+--m x x x 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是________.7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4，另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8，同时掷出两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是_______.8、如图，已知点A、B 在直线x y =上，过A、B 分别作y 轴的平行线交双曲线()01>=x xy 于点C、D，若BD=2AC，则22-4OD OC 的值为______________.9、若21-1-+=x x y 的最大值为a ，最小值为b ，则22b a +的值为_______.10、如图，已知在RtΔABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于ΔABC，且其边长为12，则ΔABC 的周长为_________.三、解答题（每小题15分，共60分）11、已知关于x 的一元二次方程02=++a cx x 的两个整数根恰好比方程02=++b ax x 的两个根都大1，求c b a ++的值.12、如图，已知点H 为ΔABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 与ΔBCH 的外接圆⊙2O 交于点D，延长AD 与CH 交于点P，求证：P 为CH 的中点.13、如图，已知A 为y 轴正半轴上一点，点A、B 关于x 轴对称，过A 任作直线与抛物线232x y =交于P、Q 两点.(1)求证：∠ABP=∠ABQ；(2)若点()1,0A ，且∠PBQ=。
2011年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．如果2121≤≤-x ，则=+-+++14414422x x x x （ B ） （A ）x 4 （B ）2 （C ）2- （D ）x 42-2．如果多项式201142222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ A ）（A ） 2008 （B ） 2009 （C ） 2010 （D ） 20113．已知四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，CB ＝2，CD ＝1.则AB 的长为（ C ） （A ） 3 （B ） 34（C ）334 （D ） 3434．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。
开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（ D ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）15．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。
设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ A ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分. ）BACD6．从分数组{}111111,,,,,24681012中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个数是 ． 解：11810与7．如果我们把y x *定义为)1)(1(++=*y x y x ，2*x 定义为x x x *=*2，那么多项式12)(32+*-**x x ，当2=x 时的值为 .解：328．将54321，，，，这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种。
绝密★启用前2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：82分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．362、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条3、设方程的两根是、，则方程的根是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5、若不等式有解，则实数最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66、不定方程的正整数解的组数是（ ）A ．0组B ．2组C ．4组D ．无穷多组第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）7、二次函数的图像关于对称，则的最小值是 .8、已知△ABC中，AB=；BC=6；CA=.点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 .9、一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。
比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .三、解答题（题型注释）10、已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立，求其实数的可能值。
