在活动中感悟数形结合
——“面积与代数恒等式”教学案例
一、情景描述
根据图形写代数式中思维较发散，形式很多，兴趣很高，并从中得出一些可以接受的结论。特别是学生在数学能力方面得到了很好的培养和锻炼，认识到交流与合作的重要性，并从中获得一些研究和解决问题的经验和方法。
片段一
一开始我通过电脑给学生展示出这个图形，并提出问题： (1)如何求这个图形的面积？ (2)你能根据它写一个代数恒等式吗？
我想通过此来介绍一些求一个图形面积的思想方法，同时希望学生能
了解代数
与几何的密切联系和一些互相转化的关系。很多学生思考很积极，每个小组都争先恐后地回答，并且回答也很准确和简练。
有的说看成1个边长为2a 的正方形； 有的说看成4个边长为a 的小正方形； 有的说看成2个边长分别为2a 、a 的长方形。
同时，也写出了代数式(2a)2
=4a 2
。借此，我向学生介绍了数学中一种常用的数学技巧——算两次。 片段二
小组合作，解决问题
准备若干块如下图的A 、B 、C 纸片
探索：利用制作的硬纸片拼成一些长方形和正方形，并用所拼的图形面积来说明所学的乘法公式及某些幂的运算公式的正确性。
通过小组合作，拼成不同的长方形和正方形
片段三
为了培养学生的表达能力，让学生到前面展示拼出的图形，进一步认识面积与代数恒等式
片段四
要求学生根据图形写代数恒等式，大多数学生写得都太错。有一小组，特别有创意，把图2变形成图3，从而有恒等式4a 2
-b 2
=(2a+b)(2a-b)。
接下来这个课堂练习的选择我考虑了很久，因为它不仅能训练学生的数形结合能力，而且能进一步理解平方和和平方差的关系。但是，是给出图形要学生写代数式，还是给代数式要学生拼图呢？后者显然更难。最后还是决定给出图形要学生写代数式，因为考虑到这个班的学生是普通班的学生，而且这也是个开放性的问题，结是学生在六个小组中出现了4种很好的思维方法。
有的是把这个大正方形分成五块(一个小正方形和4个长方形)： (a+b)2
=4ab+(a-b)2
；
有的是求中间这个小正方形的面积：(a-b)2
=(a+b)2
-4ab ； 有的是求四个长方形的面积：(a+b)2
-(a-b)2=4ab ；
有的是把这个正方形分成三个长方形：(a+b)2
在选择根据代数式拼图的练习时考虑学生的实际情况， 还是选择了一个比较容易的平方和公式的代数式，也希望
同学通过拼图来验证其正确性，从而领会一些利用数形结合来研究数学问题的方法和思想。 片段六
最后一个练习的设计是希望学生在思维方面能有所拓展。它具有一定的挑战性和开放性，要求同学把这3个正方形和6个长方形拼成一个正方形或其他图形(如图5)，并且根据拼成的图形写一个代数式，结
果有四个小组拼出来，同时也写出了代数式。
二、反思与分析
“以学生的发展为本”是新课程的基本理念。上述教学片段中，教师为保证学生学习主人的地位，为学生提供了动手操作、自主探索和合作交流的活动空间。让学生在教师的引导下，以探索拼图为主线，以动手实践活动为载体，从教材和学生的实际出发，在学生已有知识的基础上，使有关知识之间建立一种自然的联系：把代数恒等式与平面图形有机结合起来，使得代数内容直观化，几何内容代数化。反思整个教学过程，我认为：在数学课堂教学中，应让学生在“动”中探究，“导”中自主。
1、让学生在活动中探究数学知识。
苏霍姆林斯基指山：“在人的心灵深处，有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者。而在少年的精神世界里，这种需要尤为强烈。”教学中，教师根据学生的心理需求和教学内容的特殊性，突出了“做”数学的学习方式，使学生在复习性的选取，探索性的拼图，验证性操作活动中，在观察、猜想、验证的认识过程中，感知几何图形的面积关系与代数恒等式之间的关系。数学是客观世界数量关系与空间关系的一种抽象。对于代数恒等式由学生动手操作得来，将抽象的结论活动化、过程化。但是操作并非目的，真正的目的在于学生在操作中感悟到些什么，因此操作后师生间，学生间的交流是不可缺少的。教学中，教师就以一个合作者角色参与整个教学活动，为学生创设宽松、民主的交流氛围，让更多、更精彩的回答从学生的嘴里说出来，并通过质疑、思辩的方式使图形的特征更清晰，图形的关系更明朗。从而，使学生在主体参与的活动过程中，手、眼、脑、口等器官都充分地动起来，获得不同的、必需的感悟与体验。
2、让学生在教师的引导下自主探索。
《标准》指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”。虽然课堂不再是教师表演的舞台，但是学生的自主探索也不是自由的、放任的。因此，教学中教师就要善于引导，巧于点拨、长于调控。上述教学片段中，教师好多地方的引导更有利于学生自主探索，如片断四中，根据图形写一个代数恒等式，一开始大多数组写都会根据面积写出代数式4a2-b2，后来我引导能否把有些图形移
动一下，重新组成一个新的图形，学生真正动起来，得到了许多不同的答案；再如，片断六，学生按不同的方法拼图，有完全不同的发现时，师说：“那我们该同意谁的看法呢？”此时的学生智力在接受挑战，思维在接受碰撞，尤其是这种挑战来自同学，碰撞会更加激烈和深入，教育的目的之一就是引发这种碰撞，并且引导学生去深入思考、开阔思维、自主评价。
在活动中感悟数形结合——“面积与代数恒等式”教学案例
长春市第八十二中学
芦晶
