最优化在经济学中的应用
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２ ０ １ ３年 ８月
湖北第 二师范学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ３
第３ ０卷第 ８ 期
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ０ Ｎｏ ． ８
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ６— ２ ５
例 ２某 人利 用原 材料 每天要 制作 ５个 贮 藏橱 。 假 设外 来木 材 的运送 成本 为 ６ ０ ０ ０元 ， 而贮 存 每个单 位 材
．
Ｒ ６．
果 是每 期 的订货 量 ， 则在那 一 段 时间 ， 现有存 货 量是 在
１ 平 均成本 最小化 问题
料 的成本 为 ８元 。 为 使 他 在两 次 运 送 期 间 的制 作 周期 内平均 每天 的成本 最小 ， 每 次他 应 该 订 多少 原 材 料 以
及 多长 时 间订 一次 货 ？ 解： 设每 Ｐ Ｃ天订一 次货 ， 那 么在运送 周 期 内必须 订
设 成本 函数 Ｃ ：Ｃ （ ） （ 是产 量 ） ， 定义 每单 位产
品所 承担 的成本 费用 为平均 成本 函数 ， 即 （ ） ．
易知 Ｃ（ ）在 ＝０时无 定义 ， 说 明 生产 数 量 为零 时 ，
５ 单位 材 料 ： 而 平 均贮 存 量 大 约 为运 送 数 量 的一 半 ， 即５ ｃ ｐ ／ ２ ．因此每 个周期 的成 本 ： 运送 成本 ＋贮 存 成
举例 。
关键词 ： 最优 化 ； 经 济学； 应用举例
中图 分 类 号 ： ０１ ７ ２ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ３ ４ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ８ － ０ ０ ８ ６ － ０ ２
作者简介 ： 王伟珠（ １ ９ ７ ６一） ， 女， 黑龙 江哈 尔滨人 ， 副教授 ， 理 学硕士 ， 研 究方向为应用数 学。
求 最低平 均 成本 和相应 产量 的边 际成本 。
解： 平均 成本 为 （ ）： 令 ）： １
—
去） ．
因 ， ， （ ） ： １ ２ ｏ ￣ ３ ， 贝 ０ ” （ ） ＞ ０ ， 所 以 在 Ｃ Ｐ ｌ ： １ ０ ｖ ／ ￣ －
一１ ７ ． ３ ２天处 取 得最 小 值 。 贮 藏橱 制 作 者应 该 安 排 每 隔１ ７天 运送外 来木 材单 位材料 。
边 际成本 函数 为 ｃ ）＝ ＋８ ．
有 计算 器 所 承 担 的持 产 成 本 （ 例如 ， 保险， 房 屋 面 积
等） ， 于是他可能分成几批较小的订货单 ， 例如 ６ 批， 因
－７ ８ （ 元） ．
而必须储存 的最大数是 ６ ０ ， 但是每次再订货 ， 却要为 文书工 作 、 送 货 费用 、 劳动力 等支付 成本 。 因此 ， 似 乎在
最 优 化 在 经济 学 中 的应 用
王伟 珠
（ 辽 宁对外 经贸 学院 基 础课教 研部 ， 辽 宁 大连 １ １ ６ ０ ５ ２ ）
摘 要： 在 经济学 中， 常常会遇到花钱最少、 成本最 小、 利润最大等问题 ， 此类 问题在 数学上往往 可归纳为求某一 函数 （ 通
常称 为 目标 函数 ） 的 最 大值 或 最 小值 问题 。本 文 仅 针 对 平 均 成 本 最 小 、 存 货 成 本 最 小及 利 润 最 大 这 三 个 方 面 给 出应 用
０到 台之 间 的某 个 整数 。 为 了得 到一个 关 于在该 期 间
由此可 得 ， 最 小 化 存 货 成 本 的批 量 是 ２ ８ ，尽 管 相 差 ０ ． ０ ７元 并不 重要 。 （ 注意： 这 一 步骤 不是 对所 有类 型 的
的每个时刻的现有存货量的表达式 ， 可 以采用平均量
面举 出两个 例 子 ：
０ ０ ０ ） ：一６
＋２ ０解 方程
）：０ ， 得 驻点
例 １设 每 月产量 为 吨时 ，总成 本 函数 为
＝
１ ０
１ ７ ． ３ ２ ， ：一１ ０ 一 一１ ７ ． ３ ２ （ 舍
ｃ （ ）＝÷ ＋ ８ ｘ＋ ４ ９ ０ ０ （ 元） ，
函数 都 能行得 通 ， 但 是对 于这 里 正 在讨 论 的 函数 是 可 行 的 ）应再 订 购 的次 数是 ３ ６ ０ ／ ２ ８— １ ３ ， 所 以仍 然涉 及
持产成 本 和再订 购成 本之 间存 在 一个 平 衡 点 ， 我们 可 以构 造 函数 ： 总存 货成 本 ＝年 度持 产成 本 ＋年 度再订
故 当产 量 为 １ ４ ０吨时 ， 边 际成本 为 Ｃ １ ４ ０ ）：
７ ８ （ 元） 。
购成本所谓批量是指每个再订购期订货 的最大量 ， 如
本 ： ６ ０ ０ ＋ ・ ・ ８ 平 均 成 本 Ｃ（ ） ＝
不能讨论平 均成本 ， 当 ＞０时 ， Ｃ （ ｃ ｐ ） 有唯一的极小 值， 又 由 由
—
：６ ～ ０ ０ ０＋ ２ ＞０
．
即 当边 际成 本 等于平 均成本 时 ， 平均成 本达 到最 小 。 下
２ 存 货成本 最小 化 问题
：
４ ９ ０ ０
—
＋８＋
．
：
０ ， 解得 唯一 驻点 ： １ ４ ０ ．
＞０ ． 故 ＝ １ ４ ０￣ ｚ Ｃ （ ）的极
商业 的零售 商 店关 心存 货 成 本 ， 假 定一 个 商 店 每
年 销售 ３ ６ ０台计 算器 ， 商 店 可能 通 过 一 次 整批 订 购 所
３ Ｌ Ｃ ＇ （ １ ４ ０ ）＝
有计 算 器来保 证 营业 ； 但 第一方 面 ， 店主将 面 ｌ Ｉ 缶 存储 所 小值 点 ， 也是 最小 值点 。 因此 ， 每 月产量 为 １ ４ ０吨 时 ， 平 均成 本最低 ， 其 最低平 均成 本为 ： Ｃ （ １ ４ ０ ）＝ １ ×ｌ ４ ０＋８＋
湖北第 二师范学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ａｕ ｇ ． ２ ０１ ３
第３ ０卷第 ８ 期
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ０ Ｎｏ ． ８
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ６— ２ ５
例 ２某 人利 用原 材料 每天要 制作 ５个 贮 藏橱 。 假 设外 来木 材 的运送 成本 为 ６ ０ ０ ０元 ， 而贮 存 每个单 位 材
．
Ｒ ６．
果 是每 期 的订货 量 ， 则在那 一 段 时间 ， 现有存 货 量是 在
１ 平 均成本 最小化 问题
料 的成本 为 ８元 。 为 使 他 在两 次 运 送 期 间 的制 作 周期 内平均 每天 的成本 最小 ， 每 次他 应 该 订 多少 原 材 料 以
及 多长 时 间订 一次 货 ？ 解： 设每 Ｐ Ｃ天订一 次货 ， 那 么在运送 周 期 内必须 订
设 成本 函数 Ｃ ：Ｃ （ ） （ 是产 量 ） ， 定义 每单 位产
品所 承担 的成本 费用 为平均 成本 函数 ， 即 （ ） ．
易知 Ｃ（ ）在 ＝０时无 定义 ， 说 明 生产 数 量 为零 时 ，
５ 单位 材 料 ： 而 平 均贮 存 量 大 约 为运 送 数 量 的一 半 ， 即５ ｃ ｐ ／ ２ ．因此每 个周期 的成 本 ： 运送 成本 ＋贮 存 成
举例 。
关键词 ： 最优 化 ； 经 济学； 应用举例
中图 分 类 号 ： ０１ ７ ２ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ３ ４ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ８ － ０ ０ ８ ６ － ０ ２
作者简介 ： 王伟珠（ １ ９ ７ ６一） ， 女， 黑龙 江哈 尔滨人 ， 副教授 ， 理 学硕士 ， 研 究方向为应用数 学。
求 最低平 均 成本 和相应 产量 的边 际成本 。
解： 平均 成本 为 （ ）： 令 ）： １
—
去） ．
因 ， ， （ ） ： １ ２ ｏ ￣ ３ ， 贝 ０ ” （ ） ＞ ０ ， 所 以 在 Ｃ Ｐ ｌ ： １ ０ ｖ ／ ￣ －
一１ ７ ． ３ ２天处 取 得最 小 值 。 贮 藏橱 制 作 者应 该 安 排 每 隔１ ７天 运送外 来木 材单 位材料 。
边 际成本 函数 为 ｃ ）＝ ＋８ ．
有 计算 器 所 承 担 的持 产 成 本 （ 例如 ， 保险， 房 屋 面 积
等） ， 于是他可能分成几批较小的订货单 ， 例如 ６ 批， 因
－７ ８ （ 元） ．
而必须储存 的最大数是 ６ ０ ， 但是每次再订货 ， 却要为 文书工 作 、 送 货 费用 、 劳动力 等支付 成本 。 因此 ， 似 乎在
最 优 化 在 经济 学 中 的应 用
王伟 珠
（ 辽 宁对外 经贸 学院 基 础课教 研部 ， 辽 宁 大连 １ １ ６ ０ ５ ２ ）
摘 要： 在 经济学 中， 常常会遇到花钱最少、 成本最 小、 利润最大等问题 ， 此类 问题在 数学上往往 可归纳为求某一 函数 （ 通
常称 为 目标 函数 ） 的 最 大值 或 最 小值 问题 。本 文 仅 针 对 平 均 成 本 最 小 、 存 货 成 本 最 小及 利 润 最 大 这 三 个 方 面 给 出应 用
０到 台之 间 的某 个 整数 。 为 了得 到一个 关 于在该 期 间
由此可 得 ， 最 小 化 存 货 成 本 的批 量 是 ２ ８ ，尽 管 相 差 ０ ． ０ ７元 并不 重要 。 （ 注意： 这 一 步骤 不是 对所 有类 型 的
的每个时刻的现有存货量的表达式 ， 可 以采用平均量
面举 出两个 例 子 ：
０ ０ ０ ） ：一６
＋２ ０解 方程
）：０ ， 得 驻点
例 １设 每 月产量 为 吨时 ，总成 本 函数 为
＝
１ ０
１ ７ ． ３ ２ ， ：一１ ０ 一 一１ ７ ． ３ ２ （ 舍
ｃ （ ）＝÷ ＋ ８ ｘ＋ ４ ９ ０ ０ （ 元） ，
函数 都 能行得 通 ， 但 是对 于这 里 正 在讨 论 的 函数 是 可 行 的 ）应再 订 购 的次 数是 ３ ６ ０ ／ ２ ８— １ ３ ， 所 以仍 然涉 及
持产成 本 和再订 购成 本之 间存 在 一个 平 衡 点 ， 我们 可 以构 造 函数 ： 总存 货成 本 ＝年 度持 产成 本 ＋年 度再订
故 当产 量 为 １ ４ ０吨时 ， 边 际成本 为 Ｃ １ ４ ０ ）：
７ ８ （ 元） 。
购成本所谓批量是指每个再订购期订货 的最大量 ， 如
本 ： ６ ０ ０ ＋ ・ ・ ８ 平 均 成 本 Ｃ（ ） ＝
不能讨论平 均成本 ， 当 ＞０时 ， Ｃ （ ｃ ｐ ） 有唯一的极小 值， 又 由 由
—
：６ ～ ０ ０ ０＋ ２ ＞０
．
即 当边 际成 本 等于平 均成本 时 ， 平均成 本达 到最 小 。 下
２ 存 货成本 最小 化 问题
：
４ ９ ０ ０
—
＋８＋
．
：
０ ， 解得 唯一 驻点 ： １ ４ ０ ．
＞０ ． 故 ＝ １ ４ ０￣ ｚ Ｃ （ ）的极
商业 的零售 商 店关 心存 货 成 本 ， 假 定一 个 商 店 每
年 销售 ３ ６ ０台计 算器 ， 商 店 可能 通 过 一 次 整批 订 购 所
３ Ｌ Ｃ ＇ （ １ ４ ０ ）＝
有计 算 器来保 证 营业 ； 但 第一方 面 ， 店主将 面 ｌ Ｉ 缶 存储 所 小值 点 ， 也是 最小 值点 。 因此 ， 每 月产量 为 １ ４ ０吨 时 ， 平 均成 本最低 ， 其 最低平 均成 本为 ： Ｃ （ １ ４ ０ ）＝ １ ×ｌ ４ ０＋８＋
