2012--201301概率论试题_A及参考答案
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山东建筑大学试卷 共 3 页第1页2012 至 2013 学年第 1 学期 考试时间： 120 分钟 课程名称： 概率论与数理统计 （A ）卷 考试形式：（闭卷） 年级： 2011 专业： 全校各专业 ；层次：（本科） 题号 一 二 三 总分 分数题目中可能用到的数据：9938.0)5.2(=Φ，(1.96)0.975Φ= 一、填空题（每空3分，共24分）1、设, A B 为随机事件，()()0.7P A P B +=，()0.3P AB =，则()()P AB P AB +=2、设随机变量X 的分布律为{}(0,1,2,) 0!k a P X k k k λλ===>，为常数，则常数a = .3、设随机变量X 和Y 是相互独立的随机变量且都服从正态分布，)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则=+)43(Y X D 。
4、设在三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率为1927，则事件A 在一次试验中出现的概率是 . 5、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得{}22P X -≥≤ .6、设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布，则XY e =的数学期望为 7、设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .8、设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已知，令∑=16161iX X ，则统计量σ-164X 服从的分布为 。
二、选择题（每题3分，共18分）1、设, A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( )(A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()|P A B ; (D) ()P AB 2、设随机变量X ~()1,1N ，概率密度为()f x ，分布函数()F x ，则下列正确的是( )(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3、设1X ，2X 独立，i 1{0}2P X ==，i 1{1},(i 1,2)2P X ===，下列结论正确的是＿＿＿（Ａ）12X X =； （B ）12{}1P X X ==；（C ）121{}2P X X ==； （D ）以上都不对 4、设X 的分布函数为()x F ，则121-=X Y 的分布函数()G y 为（ ） （A ）⎪⎭⎫⎝⎛-121y F （B ）()12-y F （C ）)22(+y F （D ）()12-y F 5、设总体X ～)1,(μN ，12,.n X X X 为来自总体X 的一组样本，记11212ˆ33X X μ=+， 21213ˆ44X X μ=+， 31211ˆ22X X μ=+， 41223ˆ55X X μ=+， 在这四个μ的无偏估计量中，最有效的是（ ）（A ）1ˆμ； （B ）2ˆμ； （C ） 3ˆμ； （D ） 4ˆμ. 6、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX3服从（ ）)(A )1,0(N ； )(B )3(t ； )(C )9(t ； )(D )9,1(F考场 班级 姓名 学号 订线 装订线 装订线山东建筑大学试卷 共 3 页第2页三、计算和应用题（58分） 1、（8分）甲乙丙三个同学同时独立参加考试，不及格的概率分别为： 0.2，0.3，0.4。
(1) 求恰有2位同学不及格的概率；(2) 若已知3位同学中有2位不及格，求其中1位是同学乙的概率.2、（10分）已知连续型随机变量X 的分布函数为220,0(),0x x F x A Be x -≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩, 求：(1) 常数, A B 的值；(2) 随机变量X 的密度函数()f x ； (3) ()22PX <<3、（10分）设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y 的概率密度.姓名 学号 订线 装订线 装订线山东建筑大学试卷 共 3 页第3页4、（10分）设X 的密度函数为),(,21)(∞+-∞∈=-x ex f x① 求X 的数学期望()E X 和方差()D X ；② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与X 是否相关？5、（10分）设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21,01,02;(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()||X Y f x y ；（3）求概率{}P X Y >.6、（10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>，设Z X Y =-（1）求Z 的概率密度；（2）设1z ，2z ，……，n z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ； （3）2σ是否为2σ的无偏估计量。
姓名 学号 线 装订线 装订线2012-2013学年第一学期《概率论与数理统计》A 卷参考答案与评分标准一、填空题（每题3分，共24分） 1、0.1；2、λ-e；3、180；4、31；5、12；6、21-e ；7、[4.804, 5.196]8、)1,0(N .二、选择题（每题3分，共18分） 1、C ；2、B ；3、C ；4、D ；5、C ；6、A. 三、计算和应用题（共58分）1、（8分）解： 设,,A B C 分别表示 “甲,乙,丙同学不及格” , 则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.4P C =，由题意,,A B C 相互独立 (1) 事件“恰有2位同学不及格” 为: D ABCABC ABC =，……2分()P D ()()()P ABC P ABC P ABC =+()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=0.188 ……3分(2)()()|()P BD P B D P D = ()()()P ABC P ABC P D +==33/47 ……3分2、（10分）解：(1) 由()F x 的连续性得，0A B += ……2分 又由()1F +∞=得，1A =，……2分 解得1,1A B ==- ……1分(2) ()22,0()0,xxe x f x F x -⎧⎪>'==⎨⎪⎩其它, ……3分(3) ()22PX <<()()22F F=-12ee --=-……2分3、（10分）121()2y X y P X f x dx --∞-⎧⎫=≤=⎨⎬⎩⎭⎰…………2分 当021≤-y 即1≤y 时，0)(=y F Y ；…………1分 当1210≤-<y 即31≤<y 时，)4()1(41)1(6)(2210y y dx x x y F y Y --=-=⎰-；…………2分当121>-y 即3>y 时，1)1(6)(10=-=⎰dx x x y F Y ；…………1分即⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=3,131),4()1(411,0)(2y y y y y y F Y所以⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其他,031),3)(1(43)(y y y y f Y …………2分4、（10分）解：① )(X E 021==-∞+∞-⎰dx e x x…………2分)(X D 22)]([)(X E X E -=2212021022==-=⎰⎰∞+-∞+∞--dx e x dx e x xx …………2分 ②)()()(),(X E X E X X E X X Cov -=0021=-=-∞+∞-⎰dx e x x x …………2分 0)()(),(==X D X D X X Cov X X ρ，…………2分所以X 与X 不相关. …………2分 5、（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰222/3,010,x x x ⎧+≤≤=⎨⎩其他……2分()(,)Y f y f x y dx +∞=⎰1/3/6,02y y +≤≤⎧=⎨ ……2分(2) 当02y ≤≤时, ()|(,)|()X Y Y f x y f x y f y ==262,0120,x xy x y ⎧+≤≤⎪=+⎨⎪⎩其他……3分(3) {}P X Y >(,)x yf x y dy >=⎰120017/243x dx x xy dy ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ ……3分6、（10分）解： ⑴2~(0,3)Z N σ所以，Z 的概率密度261()6zf z e σπσ-=，（z -∞<<∞）……2分（2）似然函数为()()22222116exp 6n n i i L z σπσσ-=⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑ …………2分因而 ()22211ln ln 626n i i n L z πσσ==--∑所以， 22241ln 1026n i i d L n z d σσσ==-+=∑，…………2分 解得22113n i i z n σ==∑，…………2分因此，2σ的极大似然估计量为2211ˆ3n i i z n σ==∑． （3）()2211ˆ3n i i E E z n σ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ 2σ= 所以，2211ˆ3n i i z n σ==∑是未知参数2σ的无偏估计．…………2分。
