高中数学综合训练系列试题(7)

高中数学选修二综合测试题考点精题训练单选题1、已知函数f (x )={x 2+1,x ≥0−x 3+3x +a,x <0 的值域为[1,+∞)，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．[3,+∞) 答案：D分析：求出函数y =x 2+1在x ≥0时值的集合， 函数y =−x 3+3x +a 在x <0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当x ≥0时，f(x)=x 2+1在[0,+∞)上单调递增，∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=1，则f(x)在[0,+∞)上值的集合是[1,+∞)，当x <0时，f(x)=−x 3+3x +a ，f ′(x)=−3x 2+3=−3(x +1)(x −1)，当x <−1时，f ′(x)<0，当−1<x <0时，f ′(x)>0，即f(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增， ∀x <0，f(x)≥f(−1)=a −2，则f(x)在(−∞,0)上值的集合为[a −2,+∞)，因函数f (x )={x 2+1,x ≥0−x 3+3x +a,x <0 的值域为[1,+∞)，于是得[a −2,+∞)⊆[1,+∞)，则a −2≥1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3,+∞). 故选：D2、函数f(x)=2x 2−lnx 的单调减区间是（ ） A ．(−∞，12)B ．(0，12)C ．(−∞，−12)和(0，12)D ．(12，+∞)答案：B分析：根据函数求导，然后由f ′(x)<0求解. 因为函数f(x)=2x 2−lnx ， 所以f ′(x)=4x −1x =4x 2−1x=4(x−12)(x+12)x，由f ′(x)<0，解得0<x <12，所以函数的单调递减区间是(0,12)， 故选：B3、已知等差数列{a n }的公差d 为正数，等比数列{b n }的公比为q ，若a 1=b 1=1,a 2=b 2,a 14=b 4，则d +q =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B分析：分析得到q >1，再解方程组{1+d =q 1+13d =q 3即得解.由a 2=b 2,a 14=b 4，得{1+d =q 1+13d =q 3，因为d >0,∴q >1，所以q 3−1q−1=13,∴q 2+q −12=0， 解得q =3,d =2,d +q =5. 故选：B.4、已知a =cos 23，b =sin 79，c =79，则（ ） A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．c >b >a 答案：A分析：令f(x)=x −sinx ,求导得f ′(x)=1−cosx ≥0，于是得f(x)在R 上单调递增，所以当x >0时有x >sinx ，进而可得c >b ，由二倍角公式及f(x)的单调性可得a =cos 23=1−2sin 213>1−2×(13)2=79，即可得答案.解：令f(x)=x −sinx ,则f ′(x)=1−cosx ≥0， 所以f(x)在R 上单调递增， 所以当x >0时，f(x)>f(0)=0， 即当x >0时，x >sinx ， 所以79>sin 79，即c >b ，又因为a =cos 23=1−2sin 213>1−2×(13)2=79， 即a >c ，综上所述：a >c >b . 故选：A.小提示：本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，也考查了导数的应用和逻辑推理能力，属于较难题.5、汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]上的平均速度分别为v̅1，v̅2，v̅3，则三者的大小关系为（ ）A ．v̅1<v̅2<v̅3B ．v̅1<v̅3<v̅2C ．v̅3<v̅2<v̅1D ．v̅2<v̅3<v̅1 答案：A分析：结合图象，利用平均变化率的定义求解. 因为v̅1=k OA ，v̅2=k AB ，v̅3=k BC ， 由图象知k OA <k AB <k BC ， 所以v̅1<v̅2<v̅3． 故选：A6、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.7、下列求导运算正确的是（ ）A．(lnx+3x )′=1x+3x2B．(xe x)′=1−xe xC．(3x cos2x)′=3x(ln3⋅cos2x+2sin2x)D．(ln2+log2x)′=2+11−ln2答案：B分析：根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．选项A，(lnx+3x )′=1x−3x2，故A错；选项B，(xe x )′=x′e x−x(e x)′(e x)2=1−xe x，故B正确；选项C，(3x cos2x)′=(3x)′cos2x+3x(cos2x)′=3x ln3cos2x−2⋅3x sin2x=3x(ln3⋅cos2x−2sin2x)，故C错；选项D，(ln2+log2x)′=1xln2，故D错.故选：B.8、等差数列{a n}中，a1=1，a6=2a3.设b n=2a n，记S n为数列{b n}的前n项和，若S m=62，则m的值为（）A．3B．4C．5D．6答案：C分析：首先求数列{a n}的通项公式，然后利用等比数列的前n项和公式，求m的值.设{a n}的公差为d，由题意得a n=1+(n−1)d，因为a6=2a3，所以1+(6−1)d=2[1+(3−1)d]，解得d=1，故a n=n，则b n=2n.所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n=2−2n+11−2=2n+1−2，由S m=62得2m+1−2=62，解得m=5.故选：C.多选题9、对于函数f(x)=lnxx2，下列说法正确的是（）A．f(x)在x=√e处取得极大值12eB．f(x)有两个不同的零点C ．f(√2)<f(√π)<f(√3)D ．若f (x )<k −1x2在(0,+∞)上恒成立，则k >e2答案：ACD分析：根据导函数确定f(x)的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决. 【解】A 选项，f (x )=lnx x2，定义域为(0,+∞)，∴f ′(x )=1−2lnx x 3，令f ′(x )=0，解得x =√e ，当0<x <√e 时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(0,√e)上单调递增， 当x >√e 时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(√e,+∞)上单调递减， ∴函数在x =√e 时取得极大值也是最大值f(√e)=12e ，故A 对，B 选项，∵0<x <1时f (x )<0，f (1)=0，f(x)max =f(√e)=12e >0，当x >1时f (x )>0，如下图所示：∴函数f (x )有且只有唯一一个零点，故B 错，C 选项，∵当x >√e 时f (x )为单调递减函数，∴f(√π)<f(√3)， ∵f(√2)=ln √22=ln24=f(2)<f(√π)，∴f(√2)<f(√π)<f(√3)，故C 对，D 选项，∵f (x )<k −1x2，故k >f (x )+1x 2=lnx+1x 2，由于函数在(0,+∞)上恒成立，∴k >(lnx+1x 2)max，设g (x )=lnx+1x 2，定义域为(0,+∞)，则g ′(x )=−2lnx−1x 3，设g ′(x )=0，解得x =√e ，∴x ∈√e),g ′(x )>0,g(x)单调递增，x ∈(√e,+∞),g ′(x )<0,g(x)单调递减，∴g (x )max =g (√e )=e −e2=e2，故k >e2，故D 对.故选：ACD.10、下列求导数运算正确的有（ ） A ．(sinx)′=cosx B ．(1x )′=1x 2C ．(log 3x)′=13lnxD ．(lnx)′=1x答案：AD分析：根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误. A ：(sinx)′=cosx ，故正确； B ：(1x)′=−1x2，故错误；C ：(log 3x)′=1xln3，故错误；D ：(lnx)′=1x ，故正确. 故选：AD11、设函数f(x)=e xlnx ，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x)定义域是（0，+∞）B ．x ∈（0，1）时，f(x)图象位于x 轴下方C ．f(x)存在单调递增区间D ．f(x)有且仅有两个极值点 答案：BC解析：根据{x >0lnx ≠0可得定义域，即可判断A ；通过当x ∈(0,1)时，f (x )<0可判断B ；由题意函数f(x)=e xlnx 满足{x >0lnx ≠0，解得x >0且x ≠1， 所以函数f(x)=e xlnx的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，所以A 不正确；由f(x)=e xlnx ，当x ∈(0,1)时，lnx <0，∴f (x )<0，所以f(x)在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以B 正确； ∵f ′(x )=e x (lnx−1x)(lnx )2，设g (x )=lnx −1x ，g ′(x )=1x +1x 2.(x >0)所以g ′(x )>0，函数g (x )单调增，g (e )=1−1e >0，g (e 2)=2−1e 2>0，所以f ′(x)>0在定义域上有解，所以函数f (x )存在单调递增区间，所以C 是正确的；则函数f ′(x)=0只有一个根x 0，使得f ′(x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0，函数单调递减，当x ∈(x0,+∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；故选：BC.小提示：本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.填空题12、已知函数f(x)=xe x，g(x)=2xln2x，若f(x1)=g(x2)=t，t>0，则lntx1x2的最大值为______________答案：2e分析：由已知等式代入可得x1e x1=2x2ln2x2=t，然后结合对数的运算和性质得出x1+lnx1=ln(2x2)+ln(ln2x2)=lnt，构造函数y=x+lnx(x>0)并由函数的单调性可得出x1=ln(2x2)，代入到所求式子后得lnt x1x2=lntt2=2lntt，再次构造函数ℎ(t)=2lntt，利用导数研究函数的单调性，可知当t=e时，ℎ(t)取得最大值，代入即可求出lntx1x2的最大值.解：由题意得，f(x1)=x1e x1=t，g(x2)=2x2ln2x2=t，∴x1e x1=2x2ln2x2=t，t>0，∴ln(x1e x1)=ln(2x2ln2x2)=lnt，即x1+lnx1=ln(2x2)+ln(ln2x2)=lnt，设y=x+lnx(x>0)，则y′=1+1x>0，可知y=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，所以x1=ln(2x2)，则x1+lnx1=ln(2x2)+lnx1=ln(2x1x2)=lnt，∴2x1x2=t，则x1x2=t2，∴lntx1x2=lntt2=2lntt，令ℎ(t)=2lntt ，则ℎ′(t)=2−2lntt2，当0<t≤e时，则ℎ′(t)≥0，ℎ(t)单调递增，当0>e时，则ℎ′(t)<0，ℎ(t)单调递减，故当t=e时，ℎ(t)取得最大值ℎ(e)=2e，即lntx1x 2的最大值为2e .所以答案是：2e.小提示：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键是利用对数的运算进行化简以及构造新函数并灵活利用函数的单调性，属于中档题. 13、已知在数列{a n }中，a 1=56，a n+1=13a n +(12)n+1，则a n =______．答案：32n−23n分析：由构造法可得2n+1a n+1−3=23(2n a n −3)，所以数列{2n a n −3}是以−43为首项，23为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式.因为a 1=56，a n+1=13a n +(12)n+1，所以2n+1a n+1=23×2n a n +1，整理得2n+1a n+1−3=23(2n a n −3)，所以数列{2n a n −3}是以2a 1−3=−43为首项，23为公比的等比数列，所以2n a n −3=−43(23)n−1，解得a n =32n −23n ．所以答案是：32n −23n .14、若a n =−2n 2+29n +3，则数列{a n }的最大项是第______项． 答案：7分析：a n =−2n 2+29n +3，对应的二次函数为y =−2x 2+29x +3，对称轴为x =294，找到离对称轴最近的整数即可．a n =−2n 2+29n +3，其对应的二次函数为y =−2x 2+29x +3， 对称轴为x =294，但n 为正整数，所以离x =294最近的整数为7，所以{a n }在第7项取最大值． 所以答案是：7. 解答题15、已知函数f (x )=ae 2x +(a −2)e x −x ，讨论f (x )的单调性． 答案：答案见解析分析：就a≤0,a>0分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.f(x)的定义域为R，f′(x)=2ae2x+(a−2)e x−1=(ae x−1)(2e x+1)，若a≤0，则f′(x)<0恒成立，故f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；若a>0，则当x<−lna时，f′(x)<0，当x>−lna时，f′(x)>0，故f(x)在(−lna,+∞)上为增函数，在(−∞,−lna)上为减函数，综上，当a≤0时，f(x)在(−∞,+∞)上为减函数；当a>0时，f(x)在(−lna,+∞)上为增函数，在(−∞,−lna)上为减函数．。

高中数学选修一综合测试题考点精题训练单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a2=(√33)2，求得a=√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解. ∵双曲线x 2a2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2， ∴双曲线的离心率为e =c a=√2√6=2√33． 故选：A ．2、若直线y =3x −1与双曲线C:x 2−my 2=1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．3 答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x 2−my 2=1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y =3x −1平行，所以渐近线方程为y =±3x ，故m =19故选：A3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.4、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.5、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A6、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．y=x−2B．x−y+2=0C．x2+y4=1D．x+y+2=0答案：B分析：纵截距就是令x=0是y的值，令每一个选项中的x为0，解出y，最后选出符合题意的.直线x+y+2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x−y+2=0的纵截距为2，直线y=x−2的纵截距为−2. 故选：B. 7、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B8、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．多选题9、已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A．C的准线方程为y=−116B．直线y=x−1与C相切C．若M(0,4)，则|PM|的最小值为2√3D．若M(3,5)，则△PMF的周长的最小值为11答案：BCD分析：将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ=0判断B，设点P(x,y)，表示出|PM|2，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出△PMF的周长的最小值，即可判断D.解：抛物线C：y=14x2，即x2=4y，所以焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y=−1，故A错误；由{y=14x2y=x−1，即x2−4x+4=0，解得Δ=(−4)2−4×4=0，所以直线y=x−1与C相切，故B正确；设点P(x,y)，所以|PM|2=x2+(y−4)2=y2−4y+16=(y−2)2+12≥12，所以|PM|min=2√3，故C正确；如图过点P作PN⊥准线，交于点N，|NP|=|PF|，|MF|=√32+(5−1)2=5，所以C△PFM=|MF|+|MP|+|PF|=|MF|+|MP|+|PN|≥|MF|+|MN|=5+6=11，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD10、已知a⃑=(1,0,1)，b⃑⃑=(−1,2,−3)，c⃑=(2,−4,6)，则下列结论正确的是（）A．a⃑⊥b⃑⃑B．b⃑⃑∥c⃑C．⟨a⃑,c⃑⟩为钝角D．c⃑在a⃑方向上的投影向量为(4,0,4)答案：BD分析：利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.因为1×(−1)+0×2+1×(−3)=−4≠0，所以a⃑，b⃑⃑不垂直，A错，因为c⃑=−2b⃑⃑，所以b⃑⃑∥c⃑，B对，因为a⃑⋅c⃑=1×2+0×(−4)+1×6=8，所以cos⟨a⃑,c⃑⟩>0，所以⟨a⃑,c⃑⟩不是钝角，C错，因为c⃑在a⃑方向上的投影向量|c⃑|⋅cos⟨a⃑,c⃑⟩⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=a⃑⃑⋅c⃑|a⃑⃑|2a⃑=82(1,0,1)=(4,0,4)，D对，故选：BD.11、（多选）已知直线l:x −my +m −1=0，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =√33或m =−√33C ．直线l 恒过点(2,1)D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则m =1或m =−1 答案：BD分析：讨论m =0和m ≠0时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为(x −1)−m (y −1)=0判断直线过定点，判断C 的正误. 当m =0时，直线l:x =1，斜率不存在，当m ≠0时，直线l 的斜率为1m ，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∴1m=tan60°=√3或1m=tan120°=−√3，∴m =√33或m =−√33，故B 选项正确；直线l 的方程可化为(x −1)−m (y −1)=0，所以直线l 过定点(1,1)，故C 选项错误； 当m =0时，直线l:x =1，在y 轴上的截距不存在， 当m ≠0时，令x =0，得y =m−1m，令y =0，得x =1−m ，令m−1m=1−m ，得m =±1，故D 选项正确．故选：BD ． 填空题12、已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |=6，则双曲线E 的标准方程是______． 答案：x 214−y 234=1分析：如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则可得|MN |=2c =2，|BN |=52，再利用双曲线的定义可得a 2=14，即求.由题意得|AB |=3，|BC |=2．如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，在Rt △BMN 中，|MN |=2c =2，故|BN |=√|BM|2+|MN |2=√(32)2+22=52．由双曲线的定义可得2a =|BN |−|BM |=52−32=1， 则a 2=14，又2c =2，所以c =1，b 2=34．所以双曲线E 的标准方程是x 214−y 234=1．所以答案是：x 214−y 234=1.13、若直线l 1：2x +ay −2=0与直线l 2：x −y +a =0平行，则直线l 1与l 2之间的距离为______． 答案：√22分析：先根据直线l 1与l 2平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案. ∵直线l 1与l 2平行，∴21=a−1≠−2a，解得a =−2，∴直线l 1：x −y −1=0，直线l 2：x −y −2=0， ∴直线l 1与l 2之间的距离d =√1+1=√22． 所以答案是：√2214、直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________． 答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O (0,0)到直线kx −y +2=0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3(k >0)．设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘． 因此，直线y =kx +2(k >0)的倾斜角为60∘． 所以答案是：60∘． 解答题15、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33． 所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.。

高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B．0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D．0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，=f(3)−f(2)，表示割线l2的斜率k2，又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选：C.，则f(x)（）2、已知f(x)=3xe xA ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值 答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选：C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 和为T n ，已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1，若T k =17，则正整数k 的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 5=11,S 10=120求得公差d ，即可求得数列{a n }的通项，从而求得数列{b n }的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ，从而可得出答案. 解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120，所以a 6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1，所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)， 所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.5、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ） A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2D ．ab >a 2 答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项.若a =b ，则f (x )=a (x −a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f (x )≤0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x 0=√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12.故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10答案：B分析：利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6，再表示成同一变量S 3，然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列，所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5， 所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列，所以S 3>0，S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20，当且仅当S 3=5时取等号.故选：B.8、已知等比数列{a n }中，a 1=2a 2，则这个数列的公比为（ ） A ．2B ．√2C ．12D ．√22答案：C分析：结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列， 所以公比q =a 2a 1=12.故选：C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（ ）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3； 故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是（ ） A ．a 4=0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 6=S 1D ．|a 3|<|a 5| 答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系，再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ，因为a 1+3a 5=S 7，可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，所以A 正确； 因为公差d 的正负不能确定，所以S 3可能为最大值最小值，故B 不正确； 由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0，所以S 6=S 1，所以C 正确； 因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B ．x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D ．当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案：AD 分析：设g(x)=f(x)x=lnx ，函数g(x)单调递增，可判断A ；设ℎ(x)=f(x)+x ，则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零，可判断B ；f(x)=xlnx ，f ′(x)=lnx +1不是恒小于零，可判断C ；当x >1e时，lnx >−1，故f ′(x)=lnx +1>0，函数f(x)=xlnx 单调递增，故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0，即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，由此可判断D.得选项. 解： 对于A 选项，因为令g(x)=f(x)x=lnx ，在(0,+∞)上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2，即x 2f(x 1)<x 1f(x 2)．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ，所以g′(x)=lnx +2，所以x ∈(e −2,+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(0,e −2)时，g′(x)<0,g(x)单调递减．所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f′(x)=lnx +1，所以x ∈(0,1e )时，f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减，x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e时，f(x 1)>f(x 2)，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，当1e<x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当lnx >−1时，f(x)单调递增，又因为A 正确，x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立， 所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选：AD ．小提示：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为______． 答案：10分析：由S19>0，S20<0，结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．由S19>0，S20<0，可知{a n}为递减的等差数列，设其公差为d，则d<0，由S19=19(a1+a19)2>0，S20=10(a1+a20)<0，得a1+a19=2a10>0，a1+a20=a10+a11<0，所以a10>0，a11<0，所以使S n取得最大值的n为10，所以答案是：10．小提示：一般地，如果{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质：（1）若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；（2）S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n；（3）S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列；（4）S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数a=____________.答案：−1分析：利用f′(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−114、若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且当x1<x2时，都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2，则m的最小值是________.答案：2分析：将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2，令f(x)=xlnx+2x，利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得：0<x1<x2，所以x 1−x 2<0， 则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1)， 即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2，令f (x )=xlnx+2x，则f (x 1)<f (x 2)，又x 2>x 1>m ，所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数， 所以f ′(x )=x−2x 2>0成立，解得x >2所以m ≥2， 故m 的最小值是2， 所以答案是：2 解答题15、在①a 3=5，S 9=63；②3a 2=a 10，S 2=7；③a 1=3，S 8−S 6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，___________，数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 2=a 2.求数列{a n }，{b n }的通项公式. 答案：a n =n +2；b n =2n分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得{a n }，进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可 设等差数列{a n }的公差为d .若选①：根据等差数列的性质，由S 9=63有9a 5=63，故a 5=7，所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②：由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ，即{a 1=3d 2a 1+d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③：由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19，即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n。

高二数学高中数学综合库试题答案及解析1.函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【答案】②③【解析】对于①所以不是单函数；对于②根据单函数的定义可知此命题正确。

对于③意思是最多有一个解。

显然符合单函数的要求.对于④必须说明它在整个定义域内单调或一一对应。

才能说明是单函数。

故④错。

所以正确的有②③.2.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略3.过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】略4.已知，，若向区域上随机投一点P，则点P落在区域的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略5.已知椭圆C:（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为. (Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值【答案】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意…………2分，所求椭圆方程为．…………4分（Ⅱ）设，．（1）当轴时，．……5分（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得， (6)，．……7分………8分．………9分当且仅当，即时等号成立．当时，，…10分综上所述．当最大时，面积取最大值．【解析】略6.(本小题满分10分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题．(I)在79．5～89．5之间的频率、频数分别是多少?(Ⅱ)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．【答案】解：（Ⅰ）频率为0.025×10＝0.25;……3分频数为60×0.25＝15.所以在之间的频率、频数分别是0.25和15.……5分（Ⅱ）0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75所以估计及格率为0.75.…10分【解析】略7.在△ABC中，若，则其面积等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略8.如图：已知平面//平面,点A、B在平面内，点C、D在内，直线AB与CD是异面直线，点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点，求证：（Ⅰ）E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）平面EFGH//平面.【答案】（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，∴EF∥AB,又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH∥AB,∴EF∥GH, 因此： E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）∵平面//平面,点A、B在平面内，∴AB//平面设平面ABC与平面的交线为CP,∵直线AB与CD是异面直线, ∴CP与CD是交线，∵AB//平面, ∴AB//CP, 又EF∥AB, ∴EF//CP,∴EF∥平面，∵点E、H是线段AC、AD的中点，∴EH∥CD, ∴EH∥平面，因此：平面EFGH//平面【解析】【考点】平面与平面平行的判定．分析：（Ⅰ）根据中位线定理可知EF∥AB，GH∥AB，从而EF∥GH，根据公理可知两平行线确定一平面，则E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）根据平面α∥平面β，点A、B在平面α内，则AB∥平面α，设平面ABC与平面β的交线为CP，根据AB∥平面α，则AB∥CP，又EF∥AB，则EF∥CP，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面β，根据中位线定理可知EH∥CD，从而EH∥平面β，最后根据面面平行的判定定理可平面EFGH∥平面β．解答：证：（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH∥AB，∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）∵平面α∥平面β，点A、B在平面α内，∴AB∥平面α设平面ABC与平面β的交线为CP，∵直线AB与CD是异面直线，∴CP与CD是交线，∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，∴EF∥CP，∴EF∥平面β，∵点E、H是线段AC、AD的中点，∴EH∥CD，∴EH∥平面β，因此：平面EFGH∥平面β．点评：本题考查证明两个平面平行的方法：在一个平面内找到两条条相交的直线和另一个平面平行，属于基础题．9.下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．B．C．D．【答案】C【解析】略10.函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略11.（本题满分13分）在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍．（1）写出此数列的前项；（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】解：（1）由已知，，分别取，得，，，；所以数列的前5项是：，，，，；（2）由（1）中的分析可以猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，猜想显然成立．②假设当时猜想成立，即．那么由已知，得，即．所以，即，又由归纳假设，得，所以，即当时，公式也成立．当①和②知，对一切，都有成立．【解析】略12.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．B．C．600D．【答案】略【解析】略13.设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略14.已知满足约束条件则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略15.设，若且，则下列结论中必成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略16.（本题满分10分）⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为。