江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学(含答案)

2019届高三年级第一次模拟考试

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

锥体体积公式：V ＝1

3

Sh ，其中S 为底面积，h 为高．

圆锥侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为底面半径，l 为母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{－1，0，2，3}，则A ∩B ＝________．

2. 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________．

3. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．

4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________．

5. 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．

6. 抛物线y 2

＝8x 的焦点到双曲线x 216－y 2

9

＝1渐近线的距离为________．

7. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6

S 3

＝________．

8. 已知函数f(x)＝1

2x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．

9. 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭

⎫π

2，π，则sin 2α＝________． 10. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →

的值为________．

11. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n}也为公差为d 的等差数列，则d ＝________．

12. 已知x>0，y>0，x ＋y ＝1x ＋4

y

，则x ＋y 的最小值为________．

13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．

14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式xf ′(x )－af (x )≤2对一切x ∈R 恒成立，则

b ＋c

a 的取值范围为________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos B ＋b cos C ＝3a cos B. (1) 求cos B 的值；

(2) 若|CA →－CB →

|＝2，△ABC 的面积为22，求边b.

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N.

(1) 求证：BC ⊥平面VCD ； (2) 求证：AD ∥MN.

某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．

(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；

(2) 当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．

已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l

过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；

(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k′.求证：k·k′为定值．

设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 2a 4＝64，数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有

a 1

b 1＋a 1b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋

1＋2.

(1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2) 若不等式λ⎝⎛⎭⎫1－12b 1⎝⎛⎭⎫1－12b 2…⎝⎛⎭⎫1－12b n <12b n ＋1对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围； (3) 已知k ∈N *，对于数列{b n }，若在b k 与b k ＋1之间插入a k 个2，得到一个新数列{c n }．设数列{c n }

的前m 项的和为T m ，试问：是否存在正整数m .使得T m ＝2 019？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．

已知函数f(x)＝a ln x－bx(a，b∈R)．

(1) 若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2) 若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；

(3) 若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x10)恒成立，求实数m的取值范围.