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2019-2020年高一上学期期末联考数学试题 含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答案的答案无效．参考公式：1．球体积公式334R V π=，表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径； 2．锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积、h 为高；3．圆锥表面积公式2S r rl ππ=+，其中r 为底面半径，l 为母线；4．台体的体积公式'1()3V h S S =+，其中,S S '分别是台体上、下底面的面积，h 是台体的高．第一部分 选择题(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,82．函数y =( )A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 3．下列函数中，既是奇函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（ ）A ．2log y x =B ．1-=x yC ．3x y =D ．x y 2= 4．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列推理中正确的是（ ）A ．βαβα⊂⊂n m ,,//n m //⇒ B ．αα//,//n m n m //⇒ C ．n m m =⊂βαβα ,,//n m //⇒ D ．αα⊂n m ,//n m //⇒ 5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π6．设1>a ，则a 2.0log 、a2.0、2.0a 的大小关系是（ ）A ．2.02.0log 2.0a a a <<B ．2.02.02.0log a a a <<C ．a a a 2.0log 2.02.0<<D ．a a a 2.02.0log 2.0<< 7．如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm), 则此几何体的 表面积是( )A ．220cm B．2(20cm + C．2(24cm + D ．224cm8．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（ ）A ．[1,2]-B ．[0,)+∞C ．[1,)+∞D ．[0,2]9．设函数3y x =与1()2xy =的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)A FD BGE 1BH 1C1D 1A第12题图10．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，第二部分 非选择题 (共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知29x=，342=y，则2x y +的值为 ．12．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于 ． 13．函数()log 234ay x =-+的图象恒过定点M , 且点M 在幂函数()f x 的图象上，则(3)f ＝ ．14．下列说法中：①指数函数1()2xy =的定义域为(0,)+∞；②函数2xy =与函数3log y x =互为反函数；③空集是任何一个集合的真子集；④若()f x M <（M 为常数），则函数()y f x =的最大值为M ；⑤函数()3xf x =的值域为[1,)+∞．正确的是 （请写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分12分）设函数y =A ，不等式2log (1)1x -≤的解集为集合B ．（1）求集合A ，B ； （2）求集合A B ，()R A C B ．16．(本小题满分12分）如图，已知圆锥的轴截面ABC 是边长为2cm 的正三角形，O 是底面圆心．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高AO 的中点'O 作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．17．（本小题满分14分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()(1)x f x a a =>． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若不等式()4f x ≤的解集为[2,2]-，求a 的值．18．（本小题满分14分）某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费十超额费十保险费．若每月用气量不超过最低额度)4(>A A 立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费)50(≤<C C 元；若用气量超过A 立方米时，超过部分每立方米付B 元．（1）根据上面的表格求C B A ,,的值；（2）记用户第四月份用气为x 立方米，求他应交的煤气费y （元）．19．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别是棱,AB PC 的中点，平面CMN 与平面PAD 交于PE ，求证： （1）//MN 平面PAD ； （2）//MN PE ．20．（本小题满分14分）已知函数2()2(3)12f x x a x a =-+++-，()(12)g x x x a =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 是偶函数，求函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当1a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞上为减函数； （3）当[1,3]x ∈-，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象上方，求实数a 的取值范围．2012年冬季阳东一中广雅中学两校联考高一年级数学科参考答案16．(本小题满分12分） 解：（1）由题意可知2BC AC ==cm ，则1OC =cm ，即该圆锥的底面半径1r =cm ，母线2l =cm ．所以该圆锥的表面积为2221123S r rl cm πππππ=+=⨯+⨯⨯=表面；………………………………4分（2）在Rt AOC ∆中，2,1AC OC ==，AO ∴=．……………………………………………… 6分'O 是AO 的中点，'AO ∴=cm ． ∴小圆锥的高h '＝23cm ，小圆锥的底面半径r '＝21cm ，则截得的圆台的体积为223111()1323V V V cm ππ=-=⨯⨯⨯⨯=台大小．…………………12分17．（本小题满分14分）解: (1) 当0x <时，0x ->，∴1()()xx f x aa --==．…………………………3分 ∵()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，则1()()(0)xf x x a=<，……………………4分∴0,()1()0x xa x f x x a⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，……………………………………6分(2)∵1,a >∴()4f x ≤等价于04x x a ≥⎧⎨≤⎩或01()4x x a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，………………8分∴0log 4a x ≤≤或log 40a x -≤<， 即log 4log 4a a x -≤≤……………12分 由条件知log 42a =，∴2a =． ………………………………………………14分18．（本小题满分14分）解：（1)1月份的用气量没有超过最低额度A ，所以43=+C 1=⇒C …………2分3,2月份的用气量超过了最低额度A ，所以⎩⎨⎧=-+=-+19)35(414)25(4B A B A ，解得5,21==A B (6)分（2）当5≤x 时，需付费用为413=+元 …………………………………………8分 当5>x 时，需付费用为232121)5(4+=⨯-+x x 元 …………………………………12分 所以应交的煤气费4(05)13(5)22x y x x <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ……………………………………14分19．（本小题满分14分）证明：（1）如图，取DC 的中点Q ，连接,MQ NQ ．,N Q 分别是,PC DC 的中点， //NQ PD ∴．……………………………………2分NQ ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， //NQ ∴平面PAD ．…………………………………4分 M 是AB 的中点，四边形ABCD 是平行四边形，//MQ AD ∴．……………………………………5分又MQ ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，//MQ ∴平面PAD ．…………………………7分 MQNQ Q =，∴平面//MNQ 平面PAD ．……………………9分MN ⊂平面MNQ ，//MN ∴平面PAD ． ……………… ………………………………10分 （2）平面//MNQ 平面PAD ，且平面PEC平面MNQ MN =，平面PEC 平面PAD PE = …………………………13分//MN PE ∴ ……………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，222()(3)()122(3)12x a x a x a x a ∴--++⋅-+-=-+++-(3)3,3a a a ∴-+=+∴=-2()27f x x ∴=-+ …………………………………………………………1分即函数()f x 的图象是顶点为(0,7)，对称轴为y 且开口向下的抛物线，()f x ∴在区间[1,0]-上递增，在区间[0,3]上递减又22(3)23711,(1)2(1)75f f =-⨯+=--=-⨯-+=∴ 函数()f x 在区间[1,3]-上的最小值为11-． …………………………………3分（3）对于[1,3]x ∈-，函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象上方，等价不等式 22(3)12x a x a -+++-＞(12)x x a -+在[1,3]x ∈-上恒成立， 即(2)130a x a ++->在[1,3]x ∈-上恒成立，……………………………………9分(2)(1)130(2)3130a a a a +⋅-+->⎧∴⎨+⋅+->⎩，解得14a <- ……………………………………13分 ∴所求实数a 的取值范围为1(,)4-∞- ……………………………………………14分。
2019-2020学年黑龙江省绥化市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C A B =U （ ） A ．{}1,3,4,5 B ．{}1,4C ．{}1,2,4D ．{}3,5【答案】D【解析】Q 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}{}1,2,2,4,1,2,4A B A B ==∴⋃=，(){}3,5U C A B ⋃=，故选D.2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+D ．()2f x x=和()()2xg x =【答案】D【解析】根据同一函数的要求，定义域相同，对应法则相同，分别对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】表示同一个函数，要求两个函数的定义域相同，对应法则相同，选项A 中，1y x =-定义域为x ∈R ，211x y x -=+定义域为()(),11,-∞--+∞U ，故不是同一函数，选项B 中，0y x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1y =定义域为x ∈R ，故不是同一函数，选项C 中，()2f x x =和()()21g x x =+对应法则不同，故不是同一函数，选项D 中，()2f x x=和()()2xg x =定义域相同，都是()0,∞+，化简后()()1,1f x g x ==，对应法则也相同，故是同一函数，故选D 项. 【点睛】本题考查对两个函数是否是同一函数的判断，属于简单题. 3．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先分析得到sin 0,cos 0αα><，即得点所在的象限. 【详解】因为α是第二象限角， 所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限， 故选D 【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =【答案】D【解析】根据题意判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可． 【详解】解：选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意； 选项C 中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意； 选项D 中，如图所示：函数为奇函数，且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查函数的性质，涉及函数的奇偶性与单调性，考查学生对熟知函数的掌握情况，属于简单题目.5．函数y 3 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．2π B ．23π C ．π D ．2π【答案】C【解析】化函数y 为正弦型函数，即可求出函数的最小正周期． 【详解】∵y ＝312cos2x 2⎫+⎪⎪⎝⎭＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴y 的最小正周期是T=2πω=22π=π． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质的应用问题，是基础题．6．已知2log 0.6a =，2log 3b =，0.60.2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】根据对数函数，指数函数性质，判断与0，1的大小关系，即可求解. 【详解】由题意，22log 0.6log 10a =<=22log 321log b =>= 0.6000.20.21<<=01c ∴<< a c b ∴<<故选：A 【点睛】指数式对数式比较大小问题，结合指数函数对数函数性质，将式子与0,1作比较，本题属于基础题.7．函数()()22211m m m f xx m --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是增函数，则实数m =（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．2或1-【答案】B【解析】根据幂函数的定义求出m 的值，再讨论函数()f x 是否在()0,∞+上是增函数. 【详解】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =- 因为在()0,x ∈+∞上是增函数2210m m ∴-->1m ∴=-符合题意故选：B 【点睛】本题考查幂函数定义与性质，注意x 前系数为1，本题属于基础题. 8．函数9lg y x x=-的零点所在的区间大致是 A ．(8,9) B ．(9,10)C ．(12,13)D ．(14,15)【答案】B 【解析】【详解】由于f （9）f （10）=（lg91-）（1﹣910）＜0，函数在区间(9,10)内存在零点． 故选B ．9．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.10．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．79【答案】A【解析】试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.【考点】三角函数11．已知函数()(12),11log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围是( ) A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】∵当x 1≠x 2时，()()1212f x f x x x --＜0，∴f （x ）是R 上的单调减函数，∵f （x ）=(12)1{113x a a x log x x -≤+，，＞，∴0121011123a a a ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-≥⎩＜＜＜＜， ∴0＜a≤13，故选A ．12．已知函数()xf x e x =+，()lng x x x =+，()h x x =的零点依次为,,a b c ，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】C【解析】分析函数单调性，根据零点存在性定理，依次判断,,a b c 所在区间即可. 【详解】由题意，对于函数()xf x e x =+，可知xy e =是增函数，y x =也是增函数，则()f x 为R 上增函数，又()1110,(0)10f e f --=-<=>，10a ∴-<<对函数()g x ，可知ln y x =增函数，y x =也是增函数，故函数()g x 为()0,∞+上增函数，又1111ln 10g e e e e ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭，()1ln1110g =+=>，故11b e <<； 对于()h x x =，又()110h =-=Q ，故1c =； a b c ∴<<；故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，判断()()0f a f b ⋅<，可判断零点所在区间，属于中等题型.二、填空题 13．已知02x π<<，4cos 5x =，则tan x =________. 【答案】34【解析】根据同角三角函数关系与角的范围即可求解. 【详解】 由题意02x π<<3sin 5x ==sin 3tan cos 4x x x ==故答案为：34【点睛】运用同角三角函数平方关系求值时注意角的范围，本题属于基础题. 14．103383log ()()1255---=__________．【答案】11【解析】10383log1255-⎛⎫⎛⎫--+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭35181122+-+= 15．偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，若不等式()()212f ax f x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【答案】22a -<<【解析】根据偶函数图象关于y 轴对称，得()f x 在()0,∞+上单调增，且在(),0-∞上是单调减函数，由此结合22x +是正数，将原不等式转化为212ax x -<+恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a 的取值范围. 【详解】()f x Q 是偶函数，图象关于y 轴对称.()f x ∴在(),0-∞上的单调性与()0,∞+的单调性相反，可得()f x 在(),0-∞上是减函数.∴不等式()()212f ax f x -<+恒成立，等价于212ax x -<+恒成立，即不等式22212x ax x --<-<+恒成立，整理得221030x ax x ax ⎧++>⎨-+>⎩的解集为R ,∴结合一元二次方程根的判别式，得240a -<且()2120a --<，解之得22a -<<；答案为：22a -<< 【点睛】本题考查解抽象函数不等式，运用偶函数性质和单调性判断，考查二次函数恒成立问题，综合性较强，有一定难度.16．已知函数()22,2,sin ,22,4x x f x xx π-⎧≥⎪=⎨-≤<⎪⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(0,1)【解析】由题意分析，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则()f x 与y k =的图象有两个不同的交点，作出图像，即可求解. 【详解】若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根， 则()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 在同一坐标系中作出()f x 与y k =的图象，观察图象知01k << 故答案为：(0,1) 【点睛】本题考查函数与方程的对应关系，将方程()f x k =的根的问题转化成两函数交点问题，本题属于中等偏难题.三、解答题17．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .【解析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a 的取值范围. 【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I . ②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥，122a ∴-<≤-或2a ≥.综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．已知函数()b f x ax x =+，且()()51222f f ，=-=-． （1）求f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．【答案】（1）()1f x x x=+（2）f （x ）在（0，1）上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）根据()()51222f f ，=-=-即可求出a ＝b ＝1，从而得出()1f x x x=+；（2）容易判断f （x ）在区间（0，1）上单调递减，根据减函数的定义证明：设x 1，x 2∈（0，1），并且x 1＜x 2，然后作差，通分，得出()()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭，根据x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2说明f （x 1）＞f （x 2）即可． 【详解】解：（1）∵()()51222f f ，=-=-； ∴25222a b b a +=⎧⎪⎨--=-⎪⎩；解得a =1，b =1； ∴()1f x x x=+； （2）f （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 设x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则：()()12121211f x f x x x x x -=-+-=()121211x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ∵x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2； ∴x 1-x 2＜0，1211x x ＞，12110x x -＜；∴()1212110x x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭＞； ∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（0，1）上单调递减． 【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数是减函数的方法和过程，清楚()1f x x x =+的单调性． 19．已知cos -2βα⎛⎫⎪⎝⎭,sin 1-22αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,β∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.求:(1)cos2αβ+; (2)tan(α+β).【答案】(1). 【解析】(1)先根据同角三角函数关系得sin -2βα⎛⎫⎪⎝⎭，cos -2αβ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据2αβ+= ---22βααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差余弦公式求结果，(2) 先根据同角三角函数关系得sin 2αβ+，tan2αβ+，再根据二倍角正切公式求结果.【详解】 (1)∵π2<α<π,0<β<π2, ∴π4<α-2β<π,-π42α<-β<π2. ∴sin -27βα⎛⎫== ⎪⎝⎭,cos -2αβ⎛⎫==⎪⎝⎭∴cos2αβ+=cos ---22βααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=cos -2βα⎛⎫⎪⎝⎭·cos -2αβ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin -2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭·sin 1-272αβ⎛⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=-.(2)∵π3π424αβ+<<, ∴sin2αβ+==. ∴tansin22cos 2αβαβαβ++=+=-3. ∴tan(α+β)=22tan2111-tan 2αβαβ+=+.【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 20．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2]【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再求其单调增区间．(2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．(2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．21．已知函数f （x ）＝2x 12x-，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b （b ∈R ）． （1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围； 【答案】(1) （0，+∞） (2) [52-，+∞） 【解析】（1）解指数不等式2x ＞2﹣x 可得x ＞﹣x ，运算即可得解；（2）由二次函数求最值可得函数g （x ）的值域为(],4B b =-∞+，函数f （x ）的值域为A ＝[32，+∞），由题意可得A ∩B ≠φ，列不等式b +432≥运算即可得解. 【详解】解：（1）因为f （x ）＞0⇔2x 12x -＞0，∴2x ＞2﹣x ，∴x ＞﹣x ，即x ＞0． ∴实数x 的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f （x ），g （x ）在区间[1，+∞）的值域分别为A ，B ．∵f （x ）＝2x 12x -在[1，+∞）上单调递增， 又13(1)222f =-= ∴A ＝[32，+∞）．∵g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b ＝﹣（lnx ﹣2）2+b +4． ∵x ∈[1，+∞），∴lnx ∈[0，+∞），∴g （x ）≤b +4， 即(],4B b =-∞+ 依题意可得A ∩B ≠φ， ∴b +432≥，即b 52≥-．∴实数b 的取值范围为[52-，+∞）． 【点睛】本题考查了指数不等式的解法，主要考查了二次函数最值的求法，重点考查了集合的运算，属中档题.22．函数f （x ）＝1﹣2a ﹣2a cos x ﹣2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ， （1）求g （a ）； （2）若g （a ）12=，求a 及此时f （x ）的最大值．【答案】（1）g （a ）()()()21221222142.a aa a a a ⎧-⎪⎪=----≤≤⎨⎪-⎪⎩＜＞（2）a ＝﹣1，最大值是5． 【解析】（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a 小于﹣1时②2a 大于﹣1而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f（x ）的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入f （x ）中得到f （x ）的解析式，利用配方可得f （x ）的最大值． 【详解】（1）f （x ）＝1﹣2a ﹣2a cos x ﹣2（1﹣cos 2x ） ＝2cos 2x ﹣2a cos x ﹣1﹣2a＝2（cos x 2a -）222a --2a ﹣1．若2a-＜1，即a ＜﹣2，则当cos x ＝﹣1时，f （x ）有最小值g （a ）＝2（﹣12a -）222a --2a﹣1＝1；若﹣12a ≤≤1，即﹣2≤a ≤2，则当cos x 2a =时，f （x ）有最小值g （a ）22a =--2a ﹣1；若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x ＝1时，f （x ）有最小值g （a ）＝2（12a -）222a --2a ﹣1＝1﹣4a ．∴g （a ）()()()21221222142.a aa a a a ⎧-⎪⎪=----≤≤⎨⎪-⎪⎩＜＞ （2）若g （a ）12=，由所求g （a ）的解析式知只能是22a --2a ﹣112=或1﹣4a 12=． 由22212122a a a -≤≤⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩a ＝﹣1或a ＝﹣3（舍）；由21142a a ⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩＞a 18=（舍）． 此时f （x ）＝2（cos x 12+）212+，得f （x ）max ＝5． ∴若g （a ）12=，则a ＝﹣1，此时f （x ）的最大值是5． 【点睛】本题考查学生会利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性，注意分类讨论思想的应用，是中档题。
黑龙江省鹤岗市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·会宁期中) 三个数a＝0.22 ， b＝log20.2，c＝20.2之间的大小关系是（）A .B .C .D .3. （2分）偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)="x" ,则关于x的方程f(x)= ,在x∈[0,4]上解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2016高一上·抚州期中) 已知函数y=x2﹣2x+5在区间[0，m]上有最大值5，最小值4，则实数m 的取值范围是（）A . [1，+∞）B . [0，2]C . （﹣∞，2]D . [1，2]5. （2分）已知函数，则f(x)=（）A . 在上单调递增B . 在上单调递增C . 在上单调递减D . 在上单调递减6. （2分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A . [kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z）B . [kπ，kπ+ ]（k∈Z）C . [kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）D . [kπ﹣，kπ]（k∈Z）7. （2分）已知是两夹角为120°的单位向量，，则（）A . 4B .C . 3D .8. （2分）已知A（1，2），B（﹣1，0），C（3，a）三点在同一条直线上，则a的值为（）A . -2B . 4C . -4D . 29. （2分）(2020·兴平模拟) 函数的图像为（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·广东模拟) 已知向量，，若，，三点共线，则（）A . 10B . 80C . －10D . －8011. （2分） (2016高一下·邢台期中) 函数y=3sin（﹣）的振幅、周期、初相分别为（）A . ﹣3，4π，B . 3，4π，﹣C . 3，π，﹣D . ﹣3，π，12. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）函数的定义域为________ ．14. （1分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=________15. （1分）函数f（x）与g（x）的图象拼成如图所示的“Z”字形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点，若f（x）的图象关于原点对称的图形即为g（x）的图象，则其中一个函数的解析式可以为________ ．16. （1分） (2019高三上·吉林月考) 如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________.17. （1分） (2019高一上·广州期末) 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。
黑龙江省双鸭山市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A . RB . {1，2}C . {﹣1，0，1}D . {x|x≤1}2. （2分）某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次（）A . 简单随机抽样法，分层抽样法B . 系统抽样法，分层抽样法C . 分层抽样法，简单随机抽样法D . 分层抽样法，系统抽样法3. （2分）幂函数的图像经过点，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2018·安徽模拟) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .5. （2分）某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%6. （2分）若函数在区间上为减函数，则在上（）.A . 至少有一个零点B . 只有一个零点C . 没有零点D . 至多有一个零点7. （2分） (2015高三上·驻马店期末) 执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A .B .C .D .8. （2分）已知满足约束条件，且的最小值为6.若实数则点落在上述区域内的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知是R上的单调递增函数，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）设，则（）A .B .C .D .11. （2分）在由1、2、3组成的不多于三位的自然数（可以有重复数字）中任意取一个，正好抽出两位自然数的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，若，且，则a+2b的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·上杭期中) log3 +lg25+lg4﹣7 ﹣（﹣9.8）0=________．14. （1分） (2015高二下·东台期中) 甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为________．15. （1分） (2018高一上·珠海期末) 已知且，且，如果无论在给定的范围内取任何值时，函数与函数总经过同一个定点，则实数 ________．16. （1分） (2019高一上·拉萨期中) 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，，定义函数，则下列命题正确的是________.①函数的最大值为1; ②函数的最小值为0;③函数有无数个零点; ④函数是增函数.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2015高二上·济宁期末) 已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣1（a∈R）．（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x﹣3．18. （5分）(2018·肇庆模拟) 历史数据显示：某城市在每年的3月11日—3月15日的每天平均气温只可能是-5℃，-6℃，-7℃，-8℃中的一个，且等可能出现.（Ⅰ）求该城市在3月11日—3月15日这5天中，恰好出现两次-5℃，一次-8℃的概率；（Ⅱ）若该城市的某热饮店，随平均气温的变化所售热饮杯数如下表平均气温t-5℃-6℃-7℃-8℃所售杯数y19222427根据以上数据，求关于的线性回归直线方程.（参考公式：，）19. （10分） (2019高一上·鹤壁期中) 已知定义域为的函数是奇函数。
黑龙江省绥化市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2019高三上·建平期中) 设函数的定义域是，为全体实数集，则________2. （2分） y=（sinx﹣cosx）2﹣1是以________为最小正周期的________（选填“奇”或“偶”）函数．3. （1分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（2 ）=________4. （2分） (2019高一上·嘉兴期中) 已知函数f（x）= ，则f（1）=________；若f（a）=2，则a=________．5. （1分） (2015高一下·忻州期中) 已知 =（3，4）， =（﹣1，2），且与 + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．6. （1分） (2016高一上·张家港期中) （lg5）2+lg2×lg50=________．7. （1分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ=________8. （1分）已知实数x，y满足y=x2﹣2x+2（﹣1≤x≤1），则的取值范围是________9. （1分） (2016高三上·吉林期中) 已知 =﹣1，则tanα=________．10. （1分） (2018高一下·葫芦岛期末) 已知，则的最小值为________．11. （1分） (2016高一下·浦东期中) 已知角α的终边上一点P（x，1），且sinα= ，则x=________．12. （1分）(2016·山东文) 已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．13. （1分）(2016·江苏) 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.14. （1分）(2016·江苏) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E ， F是AD上的两个三等分点， =4，=﹣1，则的值是________.二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2016高一上·六安期中) 已知集合A={x|0＜≤1}，B={y|y=（）x ，且x＜﹣1}（1）若集合C={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，求集合C；（2）设集合D={x|3﹣a＜x＜2a﹣1}，满足A∪D=A，求实数a的取值范围．16. （10分） (2016高三上·集宁期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0 ， 2）和（x0+ ，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+ ）的值．17. （10分） (2017高二上·长沙月考) 已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.18. （10分） (2016高一上·叶县期中) 已知函数f（x）为对数函数，并且它的图象经过点（2 ，），g（x）=[f（x）]2﹣2bf（x）+3，其中b∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=g（x）在区间[ ，16]上的最小值．19. （10分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x= ．（1）求φ；（2）求y=f（x）的单调减区间．20. （10分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数．（1）求的单调区间；（2）若 ,存在 ,使得 ,求实数的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
9 .第1页（共13页）2019-2020学年黑龙江省绥化市高一（上）期末数学试卷12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 和 y xLjx 1x|x|C . 2或9lgx -的零点所在的区间大致是 （xB . (9,10)C . (12,13)D . (14,15)（5分）为了得到函数 y sin （2x）的图象，可以将函数6A .向右平移一个单位长度6B .向右平移一个单位长度3（5分）设全集U {1，2，3，4，5}，集合 A {1，2}，B{2， 4}，则 e u (A U B)(A . {1 , 3, 4, 5}B . {1 , 4}C . {1 , 2, 4}{3 , 5}2. （5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是3.4. C . f(x)（5分）若 2 2X 和 g(x) (x 1)A .第一象限(5分) f(x) H 和 gx(x)x (x)2是第二象限，则点 P （sin B .第二象限,cos C . 第三象限第四象限F 列函数中，既是奇函数又是增函数的为5. (5分) 函数y .3 sin 2x cos2x 的最小正周期为6. (5分) 已知a C .(5分）若函数 log 2 0.6 , f(x) (m 2log 2 3,mm 1)x2m 0.60.2 , c 的大小关系是C .1是幕函数，在 (0,）是增函数，则实数、选择题：本大题共 x °和y C .（5分）函数yA . (8,9)cos2x 的图象（C .向左平移 一个单位长度6D .向左平移—个单位长度3实数a 的取值范围是2216. (5分)已知函数f(x)，若关于sin (―x), 2, x 24数根，则实数k 的取值范围是 ______ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤•17. (10 分)已知集合 A {x|a 1 x 2a 1} , B {x|0 x 1}(1) 若B A ，求实数a 的取值范围；(2)若A | B，求实数a 的取值范围.10. (5 分) 设 sin(_1 小)，贝U sin2 379C .11. ( 5分)已知函数 x(1 2a) , x, 1x 2时，f (X 1) X1f(x 2)0，则a 的取值X 2f(x) lOga > 1 ,x 13当石范围是()11111 1A . (0 , _]B .[-] C . (0 ,—]D .[—，-]33 224 312. (5 分)已知函数 f (x)xex,g(x) lnxx , h(x) x1沪的零点依次为a , b , c , V x则()A . c b aB .a b)cC . cabD . b a c每小题5分，共20分. 本大题共 4小题, 二、填空题: 13. (5分) 已知0 x 14.(5分) log s 27—,cos x 2 1 8 3()31254，则 tanx 5 15.(5分) 偶函数f (x)在［0， )上为增函数，若不等式f (ax21) f(2 x )恒成立，则 x 的方程f(x) k 有两个不同的实18 . (12分) 已知函数 f (x) ax -，且f (1) x2,f(2)52 .(1) 求f (x)的解析式;(2)判断f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明. 2 /71 19. (12 分)已知 cos(-) , sin( ) ，且 (一,),(0,—) •求:2 72 222(1) cos ______ ；2 (2) tan( ) •20. (12 分)已知函数 f (x) Asin( x 的交点中，相邻两个交点之间的距离为(I)求f (x)的解析式；，且图象上一个最低点为 M (? , 2).2 3(U)当x [,]，求f (x)的值域.12 2x 121. (12 分)已知函数 f(x) 2 x , g(x) 2(1 )若f(x) 0,求实数x 的取值范围; )，使得f(xj g(X 2)，求实数b 的取值范围;222. (12 分)函数 f (x)1 2a 2acosx 2sin x 的最小值为 g (a ), a R , (1 )求 g ( a ); 1(2)若g ( a )，求a 及此时f (x)的最大值.),x R (其中 A 0, 0,0 -)的图象与x 轴(4 Inx )gnx b(b R).(2)若存在 x , X 2[1,。
2019-2020学年黑龙江省绥化市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C A B =（ ） A ．{}1,3,4,5 B ．{}1,4 C ．{}1,2,4D ．{}3,5【答案】D【解析】全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}{}1,2,2,4,1,2,4A B A B ==∴⋃=，(){}3,5U C A B ⋃=，故选D.2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+D ．()2f x x=和()()2xg x =【答案】D【解析】根据同一函数的要求，定义域相同，对应法则相同，分别对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】表示同一个函数，要求两个函数的定义域相同，对应法则相同，选项A 中，1y x =-定义域为x ∈R ，211x y x -=+定义域为()(),11,-∞--+∞，故不是同一函数，选项B 中，0y x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，1y =定义域为x ∈R ，故不是同一函数，选项C 中，()2f x x =和()()21g x x =+对应法则不同，故不是同一函数，选项D 中，()2f x x=和()()2xg x =定义域相同，都是()0,∞+，化简后()()1,1f x g x ==，对应法则也相同，故是同一函数， 故选D 项. 【点睛】本题考查对两个函数是否是同一函数的判断，属于简单题.3．若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】先分析得到sin 0,cos 0αα><，即得点所在的象限. 【详解】因为α是第二象限角， 所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限， 故选D 【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（ ） A ．1y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．y x x =【答案】D【解析】根据题意判断给定的函数既是奇函数又是定义域上的增函数，进行逐个判断即可． 【详解】解：选项A 中，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 选项B 中，函数为奇函数，但在定义域为减函数，不符合题意；选项C 中，函数为奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意；选项D 中，如图所示：函数为奇函数，且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ． 【点睛】本题考查函数的性质，涉及函数的奇偶性与单调性，考查学生对熟知函数的掌握情况，属于简单题目.5．函数ysin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．2πB ．23πC ．πD ．2π【答案】C【解析】化函数y 为正弦型函数，即可求出函数的最小正周期． 【详解】∵y ＝12cos2x 22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴y 的最小正周期是T=2πω=22π=π．故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质的应用问题，是基础题．6．已知2log 0.6a =，2log 3b =，0.60.2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A【解析】根据对数函数，指数函数性质，判断与0，1的大小关系，即可求解. 【详解】由题意，22log 0.6log 10a =<=22log 321log b =>= 0.6000.20.21<<=01c ∴<< a c b ∴<<故选：A 【点睛】指数式对数式比较大小问题，结合指数函数对数函数性质，将式子与0,1作比较，本题属于基础题. 7．函数()()22211mm m f x x m --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是增函数，则实数m =（ ） A ．0 B ．1- C ．2 D ．2或1-【答案】B【解析】根据幂函数的定义求出m 的值，再讨论函数()f x 是否在()0,∞+上是增函数. 【详解】由题意()f x 是幂函数， 则211mm --=，解得2m =或1m =-因为在()0,x ∈+∞上是增函数2210m m ∴-->1m ∴=-符合题意故选：B 【点睛】本题考查幂函数定义与性质，注意x 前系数为1，本题属于基础题. 8．函数9lg y x x=-的零点所在的区间大致是 A ．(8,9)B ．(9,10)C ．(12,13)D ．(14,15)【答案】B 【解析】【详解】 由于f （9）f （10）=（lg91-）（1﹣910）＜0， 函数在区间(9,10)内存在零点． 故选B ．9．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x=的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x=的图象向右平移3π个单位长度，故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.10．设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19 D ．79【答案】A 【解析】试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.【考点】三角函数11．已知函数()(12),11log ,13x a a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围是( )A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】∵当x 1≠x 2时，()()1212f x f x x x --＜0，∴f （x ）是R 上的单调减函数，∵f （x ）=(12)1{113x a a x log x x -≤+，，＞，∴0121011123a a a ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-≥⎩＜＜＜＜， ∴0＜a≤13，故选A ． 12．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()4h x x x=-的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C【解析】分析函数单调性，根据零点存在性定理，依次判断,,a b c 所在区间即可. 【详解】由题意，对于函数()xf x e x =+，可知x y e =是增函数，y x =也是增函数，则()f x 为R 上增函数，又()1110,(0)10f ef --=-<=>，10a ∴-<<对函数()g x ，可知ln y x =增函数，y x =也是增函数，故函数()g x 为()0,∞+上增函数，又1111ln 10g e e e e ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭，()1ln1110g =+=>，故11b e <<； 对于()h x x =，又()110h =-=，故1c =； a b c ∴<<；故选：C. 【点睛】本题考查零点存在性定理，判断()()0f a f b ⋅<，可判断零点所在区间，属于中等题型.二、填空题 13．已知02x π<<，4cos 5x =，则tan x =________. 【答案】34【解析】根据同角三角函数关系与角的范围即可求解. 【详解】 由题意02x π<<3sin 5x == sin 3tan cos 4x x x == 故答案为：34【点睛】运用同角三角函数平方关系求值时注意角的范围，本题属于基础题. 14．103383log ()()1255---+=__________．【答案】11【解析】1383log 1255-⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭35181122+-+= 15．偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，若不等式()()212f ax f x -<+恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】22a -<<【解析】根据偶函数图象关于y 轴对称，得()f x 在()0,∞+上单调增，且在(),0-∞上是单调减函数，由此结合22x +是正数，将原不等式转化为212ax x-<+恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a 的取值范围. 【详解】()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.()f x ∴在(),0-∞上的单调性与()0,∞+的单调性相反，可得()f x 在(),0-∞上是减函数.∴不等式()()212f ax f x -<+恒成立，等价于212ax x-<+恒成立，即不等式22212x ax x --<-<+恒成立，整理得221030x ax x ax ⎧++>⎨-+>⎩的解集为R ,∴结合一元二次方程根的判别式，得240a -<且()2120a --<，解之得22a -<<； 答案为：22a -<< 【点睛】本题考查解抽象函数不等式，运用偶函数性质和单调性判断，考查二次函数恒成立问题，综合性较强，有一定难度. 16．已知函数()22,2,sin,22,4x x f x x x π-⎧≥⎪=⎨-≤<⎪⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(0,1)【解析】由题意分析，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根，则()f x 与y k =的图象有两个不同的交点，作出图像，即可求解. 【详解】若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实数根， 则()f x 与y k =的图象有两个不同的交点， 在同一坐标系中作出()f x 与y k =的图象，观察图象知01k << 故答案为：(0,1) 【点睛】本题考查函数与方程的对应关系，将方程()f x k =的根的问题转化成两函数交点问题，本题属于中等偏难题.三、解答题17．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a 的取值范围. 【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅.②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >- 又A B =∅，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．已知函数()b f x ax x =+，且()()51222f f ，=-=-． （1）求f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．【答案】（1）()1f x x x =+（2）f （x ）在（0，1）上单调递减，证明见解析. 【解析】（1）根据()()51222f f ，=-=-即可求出a ＝b ＝1，从而得出()1f x x x=+； （2）容易判断f （x ）在区间（0，1）上单调递减，根据减函数的定义证明：设x 1，x 2∈（0，1），并且x 1＜x 2，然后作差，通分，得出()()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，根据x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2说明f （x 1）＞f （x 2）即可． 【详解】 解：（1）∵()()51222f f ，=-=-；∴25222a b b a +=⎧⎪⎨--=-⎪⎩； 解得a =1，b =1； ∴()1f x x x =+；（2）f （x ）在区间（0，1）上单调递减，证明如下： 设x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则：()()12121211f x f x x x x x -=-+-=()121211x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；∵x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2；∴x 1-x 2＜0，1211x x ＞，12110x x -＜； ∴()1212110x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＞；∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（0，1）上单调递减． 【点睛】本题考查减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数是减函数的方法和过程，清楚()1f x x x=+的单调性． 19．已知cos -2βα⎛⎫⎪⎝⎭,sin 1-22αβ⎛⎫=⎪⎝⎭,且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭. 求:(1)cos2αβ+; (2)tan(α+β).【答案】(1)-14.【解析】(1)先根据同角三角函数关系得sin -2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos -2αβ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据2αβ+= ---22βααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差余弦公式求结果，(2) 先根据同角三角函数关系得sin 2αβ+，tan2αβ+，再根据二倍角正切公式求结果.【详解】(1)∵π2<α<π,0<β<π2,∴π4<α-2β<π,-π42α<-β<π2.∴sin -27βα⎛⎫== ⎪⎝⎭,cos -22αβ⎛⎫==⎪⎝⎭∴cos2αβ+=cos ---22βααβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=cos -2βα⎛⎫ ⎪⎝⎭·cos -2αβ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin -2βα⎛⎫⎪⎝⎭·sin1--27272αβ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-14. (2)∵π3π424αβ+<<, ∴sin 2αβ+==∴tansin22cos2αβαβαβ++=+=-3. ∴tan(α+β)=22tan2111-tan2αβαβ+=+. 【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.20．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【答案】（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2]【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其单调增区间．(2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=．由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，．∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．(2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．21．已知函数f （x ）＝2x 12x-，g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b（b ∈R ）．（1）若f （x ）＞0，求实数x 的取值范围；（2）若存在x 1，x 2∈[1，+∞），使得f （x 1）＝g （x 2），求实数b 的取值范围；【答案】(1) （0，+∞） (2) [52-，+∞）【解析】（1）解指数不等式2x ＞2﹣x 可得x ＞﹣x ，运算即可得解；（2）由二次函数求最值可得函数g （x ）的值域为(],4B b =-∞+，函数f （x ）的值域为A ＝[32，+∞），由题意可得A ∩B ≠φ，列不等式b +432≥运算即可得解. 【详解】解：（1）因为f （x ）＞0⇔2x 12x -＞0，∴2x ＞2﹣x ，∴x ＞﹣x ，即x ＞0．∴实数x 的取值范围为（0，+∞）．（2）设函数f （x ），g （x ）在区间[1，+∞）的值域分别为A ，B ． ∵f （x ）＝2x 12x-在[1，+∞）上单调递增，又13(1)222f =-= ∴A ＝[32，+∞）．∵g （x ）＝（4﹣lnx ）•lnx +b ＝﹣（lnx ﹣2）2+b +4． ∵x ∈[1，+∞），∴lnx ∈[0，+∞），∴g （x ）≤b +4， 即(],4B b =-∞+ 依题意可得A ∩B ≠φ， ∴b +432≥，即b 52≥-． ∴实数b 的取值范围为[52-，+∞）．【点睛】本题考查了指数不等式的解法，主要考查了二次函数最值的求法，重点考查了集合的运算，属中档题.22．函数f （x ）＝1﹣2a ﹣2a cos x ﹣2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ， （1）求g （a ）； （2）若g （a ）12=，求a 及此时f （x ）的最大值．【答案】（1）g （a ）()()()21221222142.a a a a a a ⎧-⎪⎪=----≤≤⎨⎪-⎪⎩＜＞（2）a ＝﹣1，最大值是5．【解析】（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①2a小于﹣1时②2a大于﹣1而小于1时③2a大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f （x ）的最小值g （a ）的值即可；（2）把12代入到第一问的g （a ）的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入f （x ）中得到f （x ）的解析式，利用配方可得f （x ）的最大值． 【详解】（1）f （x ）＝1﹣2a ﹣2a cos x ﹣2（1﹣cos 2x ） ＝2cos 2x ﹣2a cos x ﹣1﹣2a＝2（cos x 2a -）222a --2a ﹣1． 若2a-＜1，即a ＜﹣2，则当cos x ＝﹣1时，f （x ）有最小值g （a ）＝2（﹣12a -）222a --2a ﹣1＝1；若﹣12a≤≤1，即﹣2≤a ≤2，则当cos x 2a=时，f （x ）有最小值g （a ）22a =--2a ﹣1；若2a＞1，即a ＞2，则当cos x ＝1时，f （x ）有最小值g （a ）＝2（12a -）222a--2a ﹣1＝1﹣4a ．∴g （a ）()()()21221222142.a a a a a a ⎧-⎪⎪=----≤≤⎨⎪-⎪⎩＜＞ （2）若g （a ）12=，由所求g （a ）的解析式知只能是22a --2a﹣112=或1﹣4a 12=．由22212122a a a -≤≤⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩a ＝﹣1或a ＝﹣3（舍）；由21142a a ⎧⎪⇒⎨-=⎪⎩＞a 18=（舍）． 此时f （x ）＝2（cos x 12+）212+，得f （x ）max ＝5．∴若g （a ）12=，则a ＝﹣1，此时f （x ）的最大值是5．【点睛】本题考查学生会利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求学生掌握余弦函数图象的单调性，注意分类讨论思想的应用，是中档题。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】因为集合,,故.故选：C【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.2.命题“”的否定是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题判定即可.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C【点睛】本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题.3.函数的定义域为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数中真数大于0求解即可.【详解】由题,,即,解得或.故选：D【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域,属于基础题.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.方程的解所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理判定即可.【详解】设，，根据零点存在性定理可知方程的解所在的区间是.故选：C【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.6.函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性与当时的正负判定即可.【详解】因为.故为奇函数,排除CD.又当时, ,排除B.故选：A【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式判断函数图像的问题,需要判断奇偶性与函数的正负解决,属于基础题.7.已知,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判断各式与0,1的大小即可.【详解】,,。
2019-2020学年黑龙江省东部地区四校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M={x|−3<x<1}，N={−3, −2, −1, 0, 1}，则M∩N等于（）A.{−2, −1, 0, 1}B.{−3, −2, −1, 0}C.{−2, −1, 0}D.{−3, −2, −1}2. 已知f(x)={x−4(x≥6)f(x+3)(x<6)，则f(2)为（）A.2B.3C.4D.53. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.y＝x+1B.y＝−x3C.y＝x|x|D.y=1x 4. tan600∘的值为（）A.√3B.−√3C.√33D.−√335. 为了得到函数y＝sin2x，x∈R的图象，只需把y＝sin(2x+π3)，x∈R的图象上所有点（）A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π6个单位长度6. 若tanα，tanβ是方程x2−2x−4＝0的两根，则tan(α+β)＝（）A.2 5B.−23C.−25D.237. 已知α为第二象限角，则α2在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第二、三象限8. 函数y＝A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.y＝2sin(2x+π3) B.y＝2sin(x2−π3)C.y＝2sin(2x−π3) D.y＝2sin(2x+2π3)9. 设A、B、C为三角形的三个内角，sin A＝2sin B cos C，该三角形一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形10. 已知sin2α=cosα，α≠kπ2，k∈Z，则cos2α=( )A.34B.−34C.12D.−1211. 将函数f(x)=2√3cos x+2sin x的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则φ的最小值为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π612. 已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是（）A.函数g(x)是奇函数B.函数g(x)图象关于直线x=−π4对称C.其当x∈[0,π3]时，函数g(x)的值域是[−1, 2]D.函数g(x)在[π4,π2]上是增函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知sin α+cos α=15，则sin αcos α＝________．若tan (2α+β)＝2，tan (α+β)＝3，则tan α＝________．若sin (π6−α)=13，则cos (π3+α)＝________．若函数f(x)＝|4x −x 2|−a 的零点个数为3，则a ＝________．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知sin α=−2√55，且α是第四象限的角．． （1）求tan α； （2）2sin (π+α)+cos (2π+α)cos (α−π2)+sin (π2+α)．已知函数f(x)=2√3sin x cos x +2cos 2x ． （1）求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数f(x)在区间[−π6,π3]上的最大值与最小值，以及此时x 的取值．已知函数f(x)＝a sin (2ωx +π6)+a2+b(x ∈R, a >0, ω>0)的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是74，最小值是34．（1）求ω、a 、b 的值；（2）求f(x)的单调递增区间．已知函数f(x)＝cos 2(x +π12)，g(x)＝1+12sin 2x ． (Ⅰ)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程；(Ⅱ)求函数ℎ(x)＝f(x −π12)+g(x)的最小正周期和值域．设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)＝f(x)+f(y)． （1）求f(0)；（2）证明f(x)奇函数；（3）解不等式12f(x 2)−f(x)>12f(3x)．已知定义域为R 的函数f(x)=2x −n2x+1+m 是奇函数． （1）求f(x)的解析式；（2）试判断f(x)的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意的t ∈[1, 4]，不等式f(log 2t −2t)+f(2t 2−k)<0恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年黑龙江省东部地区四校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】由不等式和交集的定义，即可得到所求M∩N．【解答】解：M={x|−3<x<1}，N={−3, −2, −1, 0, 1}，则M∩N={x|−3<x<1}∩{−3, −2, −1, 0, 1}={−2, −1, 0}．故选C．2.【答案】C【考点】求函数的值分段函数的应用函数的求值【解析】直接利用分段函数，逐步求解即可．【解答】f(x)={x−4(x≥6)f(x+3)(x<6)，则f(2)＝f(2+3)＝f(5+3)＝8−4＝4．3.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】可利用函数的奇偶性的定义对A，B，C，D逐个判断即可．【解答】对于A:y＝x+1不是奇函数，故A错误；对于B:y＝−x3是减函数，故B错误；对于C：令y＝f(x)＝x|x|，∵f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)，∴y＝f(x)＝x|x|为奇函数，又f(x)＝x|x|={x2,x≥0−x2,x<0，其图象如下：由图象可知，f(x)＝x|x|为R上的增函数．∴C正确；对于D:y=1x在(−∞, 0)，(0, +∞)递减，故D错误；4.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】把600∘变为540∘+60∘，然后利用诱导公式tan(k⋅180∘+α)＝tanα化简，再根据正切函数为奇函数变形，最后利用特殊角的三角函数值即可得到结果．【解答】tan600∘＝tan(540∘+60∘)＝tan(3×180∘+60∘)＝tan60∘=√3．5.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】由于把函数y＝sin2x，x∈R的图象向左平移π6个单位，可得y＝sin2(x+π6)＝sin(2x+π3)的图象，故为了得到函数y＝sin2x，x∈R的图象，只需把y＝sin(2x+π3)，x∈R的图象上所有点向右平移π6个单位长度即可，6.【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用根与系数之间的关系求出tan αtan β＝2，tan αtan β＝−4，利用两角和差的正切公式进行求解即可． 【解答】∵ tan α，tan β是方程x 2−2x −4＝0的两根，则 ∴ tan αtan β＝2，tan αtan β＝−4， 则tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=21−(−4)=25，7.【答案】 B【考点】象限角、轴线角 【解析】根据角α的终边在第二象限，建立角α满足的不等式，两边除以2再讨论整数k 的奇偶性，可得 α2的终边所在的象限． 【解答】∵ 角α的终边在第二象限， ∴ 2kπ+π2<α<2kπ+π，k ∈Z∴ kπ+π4<α2<kπ+π2，①当k 为偶数时，2nπ+π4<α2<2nπ+π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； ②当k 为奇数时，(2n +1)π+π4<α2<(2n +1)π+π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角；8.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】由函数的最小值为−2可得A ＝2，再根据T2=πω=5π12−(−π12)=π2，求得ω＝2， 再根据五点法作图可得2×(−π12)+φ=π2，求得φ=2π3，故函数的解析式为y ＝2sin (2x +2π3)，9. 【答案】A【考点】三角形的形状判断 【解析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状． 【解答】因为sin A ＝2sin B cos c ，所以sin (B +C)＝2sin B cos C ，所以sin B cos C −sin C cos B ＝0，即sin (B −C)＝0， 因为A ，B ，C 是三角形内角， 所以B ＝C ．所以三角形是等腰三角形． 10.【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式【解析】由已知利用二倍角的正弦函数公式可求sin α，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解． 【解答】解：∵ sin 2α=cos α，α≠kπ2，k ∈Z ，∴ 2sin αcos α=cos α，cos α≠0，∴ sin α=12，∴ cos 2α=1−2sin 2α=1−2×(12)2=12．故选C . 11. 【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用三角函数关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果． 【解答】把函数f(x)=2√3cos x +2sin x =4sin (x +π3)的图象沿x 轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的解析式为y ＝4sin (x −φ+π3)， 由于y ＝4sin (x −φ+π3)为奇函数， 则−φ+π3=kπ，解得φ=π3−kπ(k∈Z)，由于φ>0，所以当k＝0时，φ取得最小值π3．12.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据图象平移写出函数g(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．【解答】函数f(x)=2sin(2x+π6)的图象沿x轴向左平移π6个单位，得函数g(x)＝f(x+π6)＝2sin[2(x+π6)+π6]＝2cos2x的图象；所以函数g(x)是定义域R上的偶函数，A错误；令2x＝kπ，解得x=kπ2，k∈Z；所以g(x)的对称轴为x=kπ2，k∈Z，所以x=−π4不是函数g(x)的对称轴，B错误；x∈[0, π3]时，2x∈[0, 2π3]，cos2x∈[−12, 1]，g(x)的值域是[−1, 2]，C正确；x∈[π4, π2]时，2x∈[π2, π]，g(x)＝2cos2x是单调减函数，D错误．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】−12 25【考点】二倍角的三角函数同角三角函数间的基本关系【解析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】∵sinα+cosα=15，∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=125，∴1+2sinαcosα=125，则sinαcosα=−1225．【答案】−17【考点】两角和与差的三角函数【解析】由题意利用两角差的正切公式，求得tanα＝tan[(2α+β)−(α+β)]的值．【解答】tan(2α+β)＝2，tan(α+β)＝3，则tanα＝tan[(2α+β)−(α+β)]=tan(2α+β)−tan(α+β)1+tan(2α+β)tan(α+β)=2−31+2×3=−17，【答案】13【考点】运用诱导公式化简求值两角和与差的三角函数【解析】由两角的关系使用诱导公式得出答案．【解答】∵π6−α+α3+α=π2，∴cos(π3+α)＝sin(π6−α)=13，【答案】4【考点】函数零点的判定定理【解析】令f(x)＝0，判断得到a>0，利用绝对值的代数意义化简，得到两个一元二次方程，由f(x)的零点个数为3，得到两方程共有3个解，即一个方程△>0，一个方程△＝0，即可求出a的值．【解答】令f(x)＝0，得到|4x−x2|−a＝0，即|4x−x2|＝a，可得4x−x2＝a或4x−x2＝−a，即x2−4x+a＝0或x2−4x−a＝0，若a＝0，解得：x＝0或x＝4，只有两个解，舍去，∴a>0，由f(x)的零点个数为3，得到两方程共有3个解，即一个方程△>0，一个方程△＝0，若x2−4x+a＝0中的△＝16−4a>0，即a<4；x2−4x−a＝0的△＝16+4a＝0，即a＝−4，不合题意，舍去；若x2−4x+a＝0中的△＝16−4a＝0，即a＝4；x2−4x−a＝0的△＝16+4a>0，即a>−4，满足题意，则a＝4，三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】由已知sinα=−2√55，且α是第四象限的角，所以，cosα=√1−sin2α=√55，∴tanα=sinαcosα=−2．2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α)=−2sinα+cosαsinα+cosα=−2tanα+1tanα+1=−5．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求出要求式子的值．【解答】由已知sinα=−2√55，且α是第四象限的角，所以，cosα=√1−sin2α=√55，∴tanα=sinαcosα=−2．2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α)=−2sinα+cosαsinα+cosα=−2tanα+1tanα+1=−5．【答案】函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为T2=π2；∵x∈[−π6,π3]，∴2x+π6∈[−π6, 5π6]，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值为3；当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)取得最小值为0．【考点】三角函数的最值两角和与差的三角函数【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）求出函数的半周期得答案；（2）由x的范围求出相位的范围，进一步求得函数的最值及使函数取得最值的x值．【解答】函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为T2=π2；∵x∈[−π6,π3]，∴2x+π6∈[−π6, 5π6]，∴当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值为3；当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)取得最小值为0．【答案】由函数f(x)＝a sin(2ωx+π6)+a2+b的最小正周期为π，得2π2ω=π，∴ω＝1，又f(x)的最大值是74，最小值是34，则{a+a2+b=74−a+a2+b=34，解得{a=12b=1；由（1）知，f(x)=12sin(2x+π6)+54，当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，即kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k∈Z)．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的图象【解析】（1）由函数f(x)的最小正周期求出ω的值，再由f(x)的最值求出a、b的值；（2）根据正弦函数的图象与性质，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，即可求出f(x)的单调增区间．【解答】由函数f(x)＝a sin(2ωx+π6)+a2+b的最小正周期为π，得2π2ω=π，∴ω＝1，又f(x)的最大值是74，最小值是34，则{a+a2+b=74−a+a2+b=34，解得{a=12b=1；由（1）知，f(x)=12sin(2x+π6)+54，当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，即kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k∈Z)．【答案】（I ）因为，f(x)＝cos 2(x +π12)=12cos (2x +π6)+12，所以，由2x +π6=kπ，可得x =12kπ−π12，k ∈Z ， 得对称轴方程为：x =kπ2−π12，k ∈Z ．(II)因为，f(x)＝cos 2(x +π12)，g(x)＝1+12sin 2x ， 所以，ℎ(x)=√22sin (2x +π4)+32，所以周期为π， 值域为[3−√22, 3+√22]．【考点】二倍角的三角函数 【解析】（I ）由三角函数恒等变换的应用可求f(x)=12cos (2x +π6)+12，根据余弦函数的性质可求其对称轴方程．(II)由三角函数恒等变换的应用可求ℎ(x)=√22sin (2x +π4)+32，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】（I ）因为，f(x)＝cos 2(x +π12)=12cos (2x +π6)+12， 所以，由2x +π6=kπ，可得x =12kπ−π12，k ∈Z ， 得对称轴方程为：x =kπ2−π12，k ∈Z ．(II)因为，f(x)＝cos 2(x +π12)，g(x)＝1+12sin 2x ，所以，ℎ(x)=√22sin (2x +π4)+32，所以周期为π， 值域为[3−√22, 3+√22]． 【答案】由题设，令x ＝y ＝0，恒等式可变为f(0+0)＝f(0)+f(0)，解得f(0)＝0， 令y ＝−x ，则由f(x +y)＝f(x)+f(y)得f(0)＝0＝f(x)+f(−x)，即得f(−x)＝−f(x)， 故f(x)是奇函数由12f(x 2)−f(x)>12f(3x)， f(x 2)−f(3x)>2f(x)， 即f(x 2)+f(−3x)>2f(x)，又由已知f(x +y)＝f(x)+f(y)． 得：f[2(x)]＝2f(x)∴ f(x 2−3x)>f(2x)，由函数f(x)是增函数，不等式转化为x 2−3x >2x ．即x 2−5x >0， ∴ 不等式的解集{x|x <0或x >5}． 【考点】函数奇偶性的性质与判断 抽象函数及其应用 其他不等式的解法 函数单调性的性质与判断【解析】（1）利用已知条件通过x ＝y ＝0，直接求f(0)；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f(x)是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式12f(x 2)−f(x)>12f(3x)的解集即可．【解答】由题设，令x ＝y ＝0，恒等式可变为f(0+0)＝f(0)+f(0)，解得f(0)＝0， 令y ＝−x ，则由f(x +y)＝f(x)+f(y)得f(0)＝0＝f(x)+f(−x)，即得f(−x)＝−f(x)， 故f(x)是奇函数由12f(x 2)−f(x)>12f(3x)，f(x 2)−f(3x)>2f(x)，即f(x 2)+f(−3x)>2f(x)，又由已知f(x +y)＝f(x)+f(y)． 得：f[2(x)]＝2f(x)∴ f(x 2−3x)>f(2x)，由函数f(x)是增函数，不等式转化为x 2−3x >2x ．即x 2−5x >0， ∴ 不等式的解集{x|x <0或x >5}． 【答案】由题意可得{f(0)=0f(−1)=−f(1) ⇒{20−n21+m=02−1−n 20+m=−21−n 22+m，解得{m =2n =1 ， 故f(x)=2x −12+2−−−−−−−−−−−−−−−−∵ f(x)=2x −12x+1+2=12−12x +1，可得f(x)在R 上单调递增---------------- 任取x 1，x 2∈R ，满足x 1<x 2∴ f(x 1)−f(x 2)=12−12x 1+1−12+12x 2+1=12x 2+1−12x 1+1=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵ x 1<x 2∴ 2x 1<2x 2 即2x 1−2x 2<0，又2x 1+1>0,2x 2+1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)，故f(x)在R 上单调递增----------------由f(log 2t −2t)+f(2t 2−k)<0⇒f(log 2t −2t)<−f(2t 2−k)， 因为f(x)是奇函数，所以f(log 2t −2t)<f(k −2t 2)， 由（2）可知f(x)在R 上单调递增，所以对任意的t ∈[1, 4]，log 2t −2t <k −2t 2恒成立，故k >(log 2t +2t 2−2t)max =log 24+2×42−2×4=26， 所以k 的取值范围为(26, +∞)−−−−−−−−−−−−−−−− 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】（1）由奇函数的性质可知，f(0)＝0，f(−1)＝−f(1)，代入可求； （2）利用函数的单调性的定义即可判断；（3）结合函数的单调性及奇函数的性质即可求解． 【解答】由题意可得{f(0)=0f(−1)=−f(1) ⇒{20−n21+m=02−1−n 2+m=−21−n 2+m，解得{m =2n =1 ， 故f(x)=2x −12x+1+2−−−−−−−−−−−−−−−− ∵ f(x)=2x −12x+1+2=12−12x +1，可得f(x)在R 上单调递增----------------任取x 1，x 2∈R ，满足x 1<x 2∴ f(x 1)−f(x 2)=12−12x 1+1−12+12x 2+1=12x 2+1−12x 1+1=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)， ∵ x 1<x 2∴ 2x 1<2x 2 即2x 1−2x 2<0，又2x 1+1>0,2x 2+1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0即f(x 1)<f(x 2)， 故f(x)在R 上单调递增----------------由f(log 2t −2t)+f(2t 2−k)<0⇒f(log 2t −2t)<−f(2t 2−k)， 因为f(x)是奇函数，所以f(log 2t −2t)<f(k −2t 2)， 由（2）可知f(x)在R 上单调递增，所以对任意的t ∈[1, 4]，log 2t −2t <k −2t 2恒成立，故k >(log 2t +2t 2−2t)max =log 24+2×42−2×4=26， 所以k 的取值范围为(26, +∞)−−−−−−−−−−−−−−−−。
