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广西桂林、崇左、防城港市2020届高三数学联合模拟考试试题理

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- 1 - 广西桂林、崇左、防城港市2020届高三数学联合模拟考试试题 理 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合|42Mxx，2|60Nxxx，则MN A. |43xx B. |42xx C. |22xx D. |23xx 2.已知31izi（其中i为虚数单位），则z的虚部为 A. i B. 1 C. 2 D. 4 3.已知0.2log2a，20.2b，0.23c，则 A. abc B. acb C. cab D. bca

4.若x,y满足约束条件0,+-30z2-20,xxyxyxy，则的最小值是 A. 0 B. 3 C. 4 D. 6 5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则xy的值为 A. 9 B. 7 C. 8 D. 6 6. 函数)(22Rxxyx的图象大致为 - 2 -

7.已知函数sin4fxx（0），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4，那么函数()yfx的图象 A. 关于点(,0)16对称 B. 关于点(,0)16对称

C. 关于直线16x对称 D. 关于直线4πx对称 8.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A. 215 B. 320 C. 2115 D. 3120 9.已知抛物线22ypx(0)p，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于,AB两点，若线段AB的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为

A．1x B．2x C．1x D．2x 10. 在ABC中，若cos1cos2cos1cos2bCCcBB，则ABC的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 11.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为 A. 2 B. 43 C. 5 D. 3

12.若对于任意的120xxa，都有211212lnln1xxxxxx，则a的最大值为 A. 2e B. e C. 12 D. 1 - 3 -

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.612xx的展开式中常数项是 . 14. 已知tan，tan分别是26510xx的两个实数根，则tan() . 15. 已知向量(2,1)a,(1,3)b,若存在向量c,使得6ac，4bc,则c=_______．

16. 在三棱锥PABC中，PA平面ABC，23BAC，3AP，23AB，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为3，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_______． 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率 （2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望. 18.(本小题满分12分) 已知正项等差数列na的前n项和为nS，且满足215327aaa，

763S．

（1）求数列na的通项公式； - 4 -

（2）若数列nb满足11ba，11nnnbba，求数列1nb的前n项和nT 19.(本小题满分12分) 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足:13PEFCDEFSS四边形：.

（1）证明：//PB平面ACE； （2）若二面角CAFD的余弦值为55，求PAAB的值.

20.(本小题满分12分) 已知椭圆的焦点坐标为1(1,0)F，2(1,0)F，过2F垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且3PQ. (1)求椭圆的方程； (2)过2F的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则1FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21 .(本小题满分12分) 已知22()2lnafxxaxx.

（1）当01a时，求证：02af； （2）当()fx有三个零点时，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为1xcosysin（为参数），现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. - 5 -

（1）求圆C的极坐标方程； （2）设,PQ是圆C上的两个动点，且3POQ，求OPOQ的最大值

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数21,fxxaxaR. （1）若2a，解不等式5fx； （2）当2a时，函数fx的最小值为3，求实数a的值. - 6 -

2020年高考桂林市第二次模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 一．选择题（每题5分，共60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 A B A C C A B C C D B D

二．填空题（每题5分，共20分） 13. 60 14. 1 15. （2,2） 16. 57． 三. 解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

解：（1）记事件Ai第i天到达(i=1,2,3，…,13),设B为事件“此人到达当日空气重度污染”， 则B=A5∪A8， ……………………2分 所以5858213PBPAAPAPA.……………………3分 （2）由题意知，X的所有可能取的值为0,1,2，且 367111PXPAAAA

36711

4

13PAPAPAPA;……………………5分

121213121213

4

213PXPAAAAPAPAPAPA;…………7

分 5011213PXPXPX,…………9分

所以X的分布列为 …………10分

X的期望为5441201213131313EX.…………12分

18. （本小题满分12分） 解：（1）设正项等差数列na的首项为1a，公差为d，n0a，

X 0 1 2

P 413 413 513 - 7 -

则21111242772163aadadad， ……………………2分 得1=32ad ……………………4分 31221nann ……………………5分

（2）11nnnbbaQ，且21nan，123nnbbn. ……………………6分 当2n时，112211()()()nnnnnbbbbbbbbL (21)(21)53(2)nnnnL， ……………………8分

当1n时，13b满足上式，(2)nbnn. ……………………9分 11111()(2)22nbnnnn

. ……………………10分

1211111nnnTbbbbL1111111111[(1)()()()()]232435112nnnn

L

11113111(1)()22124212nnnn

………………………………12分

19.（本小题满分12分）

(1)解：由题知四边形ABCD为正方形 ∴AB//CD，又CD平面PCD，AB平面PCD

∴AB//平面PCD …………1分 又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF ∴EF // AB，又AB//CD ∴EF //CD， …………3分 由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点 连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中EG为中位线，∴ EG//PB ∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE ∴PB//平面ACE. …………6分 （2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD， ∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，…………7分

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2020届广西桂林、崇左、防城港市高三联合模拟考试数学(文)试题

2020届广西桂林、崇左、防城港市高三联合模拟考试数学(文)试题

绝密 *启用前2020年高考第二次模拟考试 文科数学注意事项 :1. 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷 （非选择题 ）两部分。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.若 x,y 满足约束条件 x+y-3 0，则z x 2y 的取值范围是 x-2y 0,A. [0,6]B. [0,4]C. [6, + ）5. 某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图， 其中甲班学生成绩的平均分是 85 ，乙班学生成绩的第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分 ，在每小题给出的四个选项中， 只有一 1.已知集合 M x| 4 x 2 ， Nx2x 2 x 6 0 ，则 M NA. x| 4 x3B. x| 4 x2 C. x| 2 x 2 D.x|22. 已知 z 3 i(1i 其中 i 为虚数单位），则z 的虚部为A. 2B. 1C.2i3. 已知 a log 0.2 2，b 0.22， c 30.2，则A. a bc B. a c b C. ca b D.bcax 0,项是符合题目要求的x3D. i中位数是83 ，则 x y 的值为A. 9B. 7C. 86. 函数 f x e x·ln x 的大致图象为D. [4, + )D. 67.《九章算术》中有如下问题： “今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意： “已知直角三 角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？ ”现若向此三角形内随机投一粒豆子， 则豆子落在其内切圆外的概率是232 3 A.B.C. 1D. 115201520bcosC 1 cos2C8. 在 ABC 中， 若则 ABC 的形状是ccosB 1 cos2BA. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形0，| | 2 )，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4，将函数3y f (x)的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，那么函数 y f (x) 的图象16则实数 a 的取值范围是9.已知函数 f(x) sin( x ) (A. 关于点 ( 16,0) 对称B. 关于点 (16,0)对称C. 关于直线x16 对称πD. 关于直线 x 对称410. 如图所示，正方体的棱长为 2 ， 为 ， AB 的中点，点是正方形 内的动点，若 平面 ，则 点的轨迹长度为A. 22B.1C.D.11. 已知函数 f x 3lnx 2x 在区间 1,3 上有最大值，A.12,5B.1,11 2, 2C.1,11 2, 21D. 12,512. 已知双曲线 C ： 交 C 的右支于 M ，2x 2aN 两点，b 21(a 0,b 0)的右焦点为 F ，左顶点为 A ，F 为圆心， FA 为半径的圆且线段 AM 的垂直平分线经过点 N ，则 C 的离心率为A. 2C. 3D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试数学(文)试卷

广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试数学(文)试卷

绝密★启用前广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试数学（文）试卷学校：注意事项： 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知集合{}{}2260|4|,N x M x x x x =--<-<=<，则M N =( )A. {}|43x x -<<B. {}|43x x -<<C. {}|22x x -<<D. {}|23x x << 1.答案：A解析： 2.已知31i z i-=-（其中为i 虚数单位），z 则的虚部为( ) A. i - B. 1- C.1 D.22.答案：B解析：223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i i z i i i i i --++-+=====+--+-∵2z i =-∴z ∴的虚部为1- 3.已知20.20.2log 2,0.2,3a b c ===，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<3.答案：A 解析：20.20.2log 21,0.2(0,1),31a b c =<=∈=>，∴a b c <<.故选：A.4.若,x y 满足约束条件0,+3020,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是( )A. []0,6B. []0,4C. [)6,+∞D. [)4,+∞4.答案：D 解析：,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图：目标函数2z x y =+经过C 点时，函数取得最小值，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得()2,1C ， 目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[)4,+∞.故答案为：D5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为( )A. 9B. 7C. 8D. 65.答案：C解析：∵班学生成绩的平均分是85，∴79788080859296857x +++++++=⨯，即5x =.∵乙班学生成绩的中位数是83，∴若1y ≤，则中位数为81，不成立。

2020届广西桂林、崇左、防城港市2017级高三高考联合模拟考试数学(文)试卷及解析

2020届广西桂林、崇左、防城港市2017级高三高考联合模拟考试数学(文)试卷及解析

2020届广西桂林、崇左、防城港市2017级高三高考联合模拟考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知集合{}|42M x x =-<<,{}2|60N x x x =--<,则M N ⋃=（） A. {}|43x x -<< B. {}|42x x -<<-C. {}|22x x -<<D. {}|23x x <<【答案】A【解析】化简集合N ,进而求并集即可.【详解】由题意可得{}|42M x x =-<<,{}|23N x x =-<<,所以{}|43M N x x =-<<,故选A .2.已知31iz i -=-（其中i 为虚数单位）,则z 的虚部为（ ）A. 2B. 1C. 2iD. i 【答案】B【解析】先化简得2z i =+,即得z 的虚部. 【详解】由题得3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+.所以z 的虚部为1.故选：B.3.已知0.2log 2a =,20.2b =,0.23c =,则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】利用指对函数的单调性,借助中间量比较大小.【详解】0.2log 20a =<,()20.20,1b =∈,0.231c =>,所以a b c <<,故选A【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值0,1的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小．4.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D解：x 、y 满足约束条件,表示的可行域如图： 目标函数z=x+2y 经过C 点时,函数取得最小值, 由解得C （2,1）,目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4,+∞）．故选D ．5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛,他们取得的成绩的茎。

广西桂林市、崇左市2020届高三数学下学期二模联考试题 文(含解析)

广西桂林市、崇左市2020届高三数学下学期二模联考试题 文(含解析)

广西桂林市、崇左市 2020 届高三数学下学期二模联考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再和集合 求交集，即可得出结果.【详解】因为，，所以，故选 D【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.若复数，，则 （ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，直接计算即可得出结果.【详解】因为，，所以.故选 A 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.已知向量，，.若，则 （ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B【解析】【分析】先由，得到 的坐标，再由，即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，，所以，解得 .故选 B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，熟记数量积的坐标运算即可，属于基础题型.4.在等差数列 中，，，若，则 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】先设公差为 ，根据题意求出公差，得到通项公式，求出 ，进而可求出结果.【详解】因为在等差数列 中，，，设公差为 ，则，所以 ，故，因此，，所以，又，所以，因此 .故选 C【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式以及前 项和公式即可，属于常考题型.5.已知 是第一象限的角，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先由 是第一象限的角，确定，再由【详解】因为 是第一象限的角，所以，又，所以，代入，即可求出结果.可得，所以.故选 D 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，熟记商数关系，平方关系即可，属于常考题 型.6.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该 程序框图，若输入的 分别为 12，18，则输出的 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】D【解析】【分析】直接按照程序框图运行程序即可.【详解】12＜18，b=18-12=6,12＞6，a=12-6=6,a=b,输出 a=6.故选：D【点睛】本题主要考查程序框图和更相减损术，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 从充分性和必要性两个方面判断分析得解.B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【详解】先考虑充分性， 时，如 a=1,b=-1,但是 a＜b 不成立，所以“ ”是“ ”非充分性条件；再考虑必要性， 时，a=-1,b=1,但是 不成立，所以“ ”是“ ”非必要性条件.故“ ”是“ ”的既不充分又不必要条件.故选：D 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力.8.已知平面 A.平面 ， 是 内的一条直线， 是 内的一条直线，且B.C.或，则（ ）D.且【答案】C 【解析】 【分析】 根据空间中直线与直线、直线与平面位置关系，可直接得出结果. 【详解】因为平面 平面 ， 是 内的一条直线， 是 内的一条直线， 要使 ，只能 或 垂直平面 与平面 的交线， 因此， 或 ； 故选 C 【点睛】本题主要考查空间的线面、线线位置关系，熟记线面、线线位置关系以及面面垂直 的性质定理即可，属于常考题型.9.在正方体中，直线 与平面所成角的正弦值为（ ）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出直线 的方向向量，求两向量夹角余弦值，进而可求出结果.【详解】以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，则所以，因为在正方体中所以，又平面，，所以平面，因此 是平面的一个法向量，设直线 与平面所成角为 ，则.故选 B【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的正弦值，灵活掌握向量的方法求解即可，属于常 考题型.10.将函数 正确的是（ ） A. 的周期为的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法中不B.是 的一条对称轴C.D. 为奇函数【答案】B 【解析】 【分析】 先由题意得到的解析式，再根据正弦函数的性质，即可求出结果.【详解】因为将函数的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，所以，所以其最小正周期为，所以 A 正确；又，所以 为奇函数，即 D 正确；，故 C 正确；由可得， 的对称轴为，故 B 错；故选 B 【点睛】本题主考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可， 属于常考题型.11.若函数，则 在点 处的切线方程为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先对函数 求导，将代入导函数求出切线斜率，进而可求出结果.【详解】因为 所以， ，因此 在点 处 切线斜率为，所以，所求切线方程为，整理得.的 故选D【点睛】本题主要考查曲线在某一点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题 型.12.过双曲线的右支上一点 分别向圆 ：作切线，切点分别为 A. 5，则 B. 4的最小值为（ ） C. 3和圆 ： D. 2【答案】A【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接 ，， ， ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小 值，计算即可得到所求值．【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为 ，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接 ， ， ， ，可得． 当且仅当 为右顶点时，取得等号，即最小值 5． 故选： ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质， 以及运算 能力，属于中档题．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若，则 __________．【答案】 .【解析】 【分析】 根据对数的运算，可直接求出结果.【详解】因为，所以，故 ，所以 .故答案为 【点睛】本题主要考查对数 计算，熟记对数运算性质即可，属于基础题型.14.设函数，若，则__________．【答案】-1【解析】【分析】先由，得到的值，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以，因此.故答案为 . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记概念即可，属于基础题型.15.若实数 满足，则 的最大值为__________．【答案】5. 【解析】 【分析】 先作出可行域，再利用斜率结合数形结合分析解答得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域如图所示阴影部分，表示的是点（x,y）和原点所在直线的斜率，联立.由图得可行域内的点 A(1,5)和原点所在直线的斜率最大，且等于 .故 的最大值为 5. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查线性规划的最值问题，考查斜率的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.以抛物线 ：的顶点为圆心的圆交 于 两点，交 的准线于 两点.已知，，则 等于__________．【答案】 .【解析】【分析】画出图形，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即得 p 的值.【详解】如图：，，，，，， ，，解得：，故答案为： ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思 想，属于中 档题．三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17.已知数列 满足，.（1）求 ， ， ；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列前 项和 .【答案】（1）1,3,7；的 （2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据题中条件，逐项计算，即可得出结果；（2）根据得到，进而可得出结论，求出结果；（3）根据分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）由及知，解得：，同理得，.（2）由知，即.∴是以为首项，公比为 2 的等比数列.（3）∵ ∴，∴.. 【点睛】本题主要考查递由推公式证明数列是等比数列、以及数列的求和，熟记等比数列的 通项公式、求和公式即可，属于常考题型.18.某汽车公司为调查 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的 店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：四座城市的（1）根据统计的数据进行分析，求 关于 的线性回归方程；（2）该公司为扩大销售拟定在同等规模的城市 开设 4 个 店，预计 市的 店一季度汽车销量是多少台？附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；.【答案】（1）；（2）31 台.【解析】【分析】（1）先由题中数据求出 ；，由；即可求出结果；（2）将 代入(1)的结果，即可得出所求预测值.【详解】（1）由题意可得： ；，..所以回归直线方程为.（2）将 代入上式得预计 市的 店一季度汽车销量是 31 台.【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求 的估计值即可，属于常考题型.19.已知四棱锥 点.的底面 是菱形，， 底面 ， 是 上的任意一（1）求证：平面平面 ；（2）设，求点 到平面【答案】（1）见解析；的距离.（2） .【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明 平面 ，即可得出平面平面 ；（2）用等体积法求解，根据，结合题中数据即可求出结果.【详解】（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴.∵四边形 是菱形，∴.∵，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴平面平面 .（2）设，连结 ，则，∵，四边形是菱形，，∴，.∴，∵，∴.∴设点 到平面 的距离为 ，∵ 平面，∴，∴解得.即点 到平面 的距离为 .【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，熟记面面垂直的判定定理以及 等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.20.椭圆的离心率，过点和的直线与原点间的距离为.（1）求椭圆 的方程；（2）过点的直线与椭圆 交于 、 两点，且点 位于第一象限，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）由题得到关于 a,b,c 的方程组，解方程组即得解；（2）设，（， ），设直线的方程为.联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出 m 的值得解.【详解】（1）据题知，直线 的方程为.依题意得.解得，，所以椭圆 的方程为.（2）设，（，设直线的方程为.代入椭圆方程整理得：）， .∴，由，依题意可得：.① ，②结合①②得，消去 解得 ，（不合题意）.所以直线的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.设函数，.（1）当 时，讨论 的单调性；（2）已知 ，证明.【答案】（1） 在上单调递减，在 上单调递增.（2）见解析.【解析】【分析】（1）先由 ，求出函数的导函数，通过解导函数对应的不等式，即可得出结果；（2）先对函数求导，用导数的方法判断出函数的单调性，求出最大值，即可得出结论成立.【详解】 的定义域为.（1）当 时，.由，得所以函数 在；得.上单调递减，在 上单调递增.（2）.∵，的两根为.∴；.所以 在上单调递增，在上单调递减.∴∵ ，∴；∴.∴.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要先对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为（ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 的极坐标方程；（2）过点倾斜角为 的直线与曲线 交于两点，求的值.【答案】（1）;（2）8.【解析】【分析】（1）先求出曲线 的普通方程为，再化成极坐标方程；（2）先写出直线的参数方程（为参数），再将直线的参数方程代入圆的方程，利用直线参数方程 t 的几何意义解答.【详解】（1）依题意，曲线 的普通方程为，即，故，故，故所求极坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数），将此参数方程代入化简可得，中，显然 .设 所对应的参数分别为 ， ，则.∴.【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程 t 的几 何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数，其中 .（1）当 时，求不等式解集；（2）若关于 的不等式恒成立，求实数 的取值范围.的 【答案】（1）【解析】 【分析】；（2） .(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出，再求出 【详解】（1）当 当 时，由时，.解不等式即得解..；当 时，由不成立；综上所述，当 时，不等式的解集为.（2）记则.∴ 依题意得. ，∴ .所以实数 的取值范围为 【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意 在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。