2018年北京市中考数学一模分类24题统计题

第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖北省孝感市-第10题-3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【思路分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH 即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP= =x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答过程】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．2．（2018年湖北省荆门市-第11题-3分）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A B C．1 D．2【知识考点】轨迹；等腰直角三角形【思路分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答过程】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【总结归纳】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．3．（2018年江苏省扬州市-第8题-3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【知识考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答过程】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．二、填空题1．（2018年江苏省泰州市-第14题-3分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．【知识考点】三角形中位线定理；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．【解答过程】解：∵∠ACD=90°，∠D=α，∴∠DAC=90°﹣α，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，∵∠ABC=90°，EAC的中点，∴BE=AE=EC，∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，∴∠CEB=180°﹣2α，∵E、F分别为AC、CD的中点，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠D=α，∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，故答案为：270°﹣3α．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题1．（2018年湖北省荆门市-第19题-9分）如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB 边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【思路分析】（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．【解答过程】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边的中点，∴BC=EA，∠ABC=60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解：如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°．∴∠EAE'=60°，∴△EAE'为等边三角形，∴，∴∠AE'B=90°，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，，∴，，∴，∴BH+EH的最小值为3．【总结归纳】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．2．（2018年湖北省江汉油田/潜江市/天门市/仙桃市-第24题-10分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【解答过程】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAE 中，，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）， ∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE==6，∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=DE=6．【总结归纳】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2018年湖南省岳阳市-第23题-10分）已知在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿CD 所在的直线对折，使点B 落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD 交BB'于点E ，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC ，求证：CD=2BE ；（2）如图2，若AB≠AC ，试求CD 与BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC 绕点C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC ，连结EF 交BC 于点O ，设△COE 的面积为S 1，△COF 的面积为S 2，求12S S （用含α的式子表示）． 【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）由翻折可知：BE=EB′，再利用全等三角形的性质证明CD=BB′即可； （2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．只要证明△BAB′∽△CAD ，可得==，推出=，可得CD=2•BE•tan2α；（3）首先证明∠ECF=90°，由∠BEC+∠ECF=180°，推出BB′∥CF，推出===sin（45°﹣α），由此即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，∵B、B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图2中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴==，∴=，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．【总结归纳】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2018年江苏省南通市-第26题-12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=，BC=，点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP 的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P 与H重合时，CP⊥AB，此时t=2；（2）分两种情形求解即可解决问题；（3）分两种情形：①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH；②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．求出QM即可解决问题；【解答过程】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，∵CH⊥AB，∴∠CHB=∠CHB=90°，∴AC2﹣AH2=BC2﹣BH2，∴（4）2﹣（6﹣x）2=（2）2﹣x2，解得x=2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2．（2）如图2中，当点Q与H重合时，BP=2BQ=4，此时t=4．如图3中，当CP=CB=2时，CQ⊥PB，此时t=6+（4﹣2）=6+4﹣2．（3）①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH=×t×4=t．②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．易知BG=AG=3，CG=．MQ=BG=．∴S=×PC×QM=••（6+4﹣t）=+6﹣t．综上所述，s=．【总结归纳】本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．5．（2018年江苏省连云港市-第27题-14分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC 是边长为2的等边形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．（2）当点E在线段上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC AE的长．（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．S 时，求AE的长．（4）如图2，当△ECD的面积16【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明；（2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE=S△BCF，推出S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，由S四边形ABCF=，推出S△ABE=，再利用三角形的面积公式求出AE即可；（3）结论：S2﹣S1=．利用全等三角形的性质即可证明；（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，推出CD=x﹣，由CD∥AB，可得=，即=，求出x即可；【解答过程】解：（1）结论：△ABE≌△CBF．理由：如图1中，∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF．（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△BCF，∴S四边形BECF=S△BEC+s△BCF=S△BCE+S△ABE=S△ABC=，∵S四边形ABCF=，∴S△ABE=，∴•AE•AB•siin60°=，∴AE=．（3）结论：S2﹣S1=．理由：如图2中，∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF，∴S△ABE=S△BCF，∵S△BCF﹣S△BCE=S2﹣S1，∴S2﹣S1=S△ABE﹣S△BCE=S△ABC=．（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD=，∵S△ECD=，∴S△BDF=，∵△ABE≌△CBF，∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，∴∠ABC=∠DCB，∴CF∥AB，则△BDF的BF边上的高为，可得DF=，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+，∴CD=x﹣，∵CD∥AB，∴=，即=，化简得：3x2﹣x﹣2=0，解得x=1或﹣（舍弃），∴CE=1，AE=3．【总结归纳】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会理由参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2018年江苏省扬州市-第27题-12分）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN 的值．方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；【解答过程】解：（1）如图1中，∵EC∥MN，∴∠CPN=∠DNM，∴tan∠CPN=tan∠DNM，∵∠DMN=90°，∴tan∠CPN=tan∠DNM===2，故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．∵CD∥AN，∴∠CPN=∠DCM，∵△DCM是等腰直角三角形，∴∠DCM=∠D=45°，∴cos∠CPN=cos∠DCM=．（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．∵PC∥MN，∴∠CPN=∠ANM，∵AM=MN，∠AMN=90°，∴∠ANM=∠MAN=45°，∴∠CPN=45°．【总结归纳】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．7．（2018年江苏省常州市-第27题-10分）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？【知识考点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；作图—复杂作图．【思路分析】（1）只要证明FC=FB即可解决问题；（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵EK垂直平分线段BC，∴FC=FB，∴∠CFD=∠BFD，∵∠BFD=∠AFE，∴∠AFE=∠CFD．（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．②结论：Q是GN的中点．理由：设PP′交GN于K．∵∠G=60°，∠GMN=90°，∴∠N=30°，∵PK⊥KN，∴PK=KP′=PN，∴PP′=PN=PM，∴∠P′=∠PMP′，∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，∴∠PMP′=30°，∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，∴QM=QN，QM=QG，∴QG=QN，∴Q是GN的中点．【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

2018-2020年广东中考数学各地区模拟试题分类（深圳专版）（一）——三角形一．选择题1．（2020•龙华区二模）如图，直线a∥b∥c，等边三角形△ABC的顶点A、B、C分别在直线a、b、c上，边BC与直线c所夹的角∠1＝25°，则∠2的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．45°2．（2020•宝安区二模）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，连接MN，交AB于点H，以点H为圆心，HA的长为半径作的弧恰好经过点C，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，连接CD，若∠A ＝22°，则∠BDC＝（）A．52°B．55°C．56°D．60°3．（2020•福田区一模）如图，正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，其中正确的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③GD＝CM；④若AG＝1，GD＝2，则BM＝．A．①②③④B．①②C．③④D．①②④4．（2020•光明区一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE＝DE，则∠C＝（）A．40°B．30°C．20°D．15°5．（2020•南山区模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（）A．4 B．5 C．9 D．106．（2020•龙岗区模拟）平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2020•宝安区三模）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7 8．（2020•龙岗区校级模拟）如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（）A．AB B．AC C．AB D．AC9．（2020•南山区校级一模）等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A．17 B．22 C．13 D．17或22 10．（2020•福田区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以AD 为边向外作等边△ADE，AE＝，连接CE，交BD于F，若点M为AB的延长线上一点，连接CM，连接FM且FM平分∠AMC，下列选项正确的有（）＝；③∠AMC＝60°；④CM+AM＝MF．①DF＝﹣1；②S△AECA．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．（2020•龙岗区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED，设AB＝10，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．12．（2020•深圳模拟）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F，若AB＝8，AC＝4，则CF的长为．13．（2020•宝安区校级一模）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为．14．（2020•龙岗区模拟）如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，BD ＝5，CE ＝8，则DE 的长为 ．15．（2020•龙岗区校级模拟）如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、BC 上的点，AD ＝2BD ，BE ＝CE ．设△ADF 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2，若S △ABC ＝6，则S 1﹣S 2＝ ．16．（2020•深圳模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC ＝4，则BC 边的长为 ．17．（2020•深圳模拟）若等腰三角形ABC 的周长为16cm ，底边BC 上高线AD 长为4cm ，则三角形ABC 的面积是 cm 2．三．解答题18．（2020•宝安区二模）如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC 的边BC 在x 轴上，A （0，3），B （﹣，0），点M （m ，0）为x 轴上的一个动点，连接AM ，将AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN ．（1）当M 点在B 点的左方时，连接CN ，求证：△BAM ≌△CAN ；（2）如图2，当M点在边BC上时，过点N作ND∥AC交x轴于点D，连接MN，若S四边形ACDN ＝S△MND，试求D点的坐标；（3）如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线y＝﹣2x2+4x+3上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．19．（2020•龙岗区模拟）四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．20．（2020•龙岗区模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．21．（2019•南山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．（1）△BCD的形状为；（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；（3）当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．参考答案一．选择题1．解：∵b∥c，∴∠3＝∠1＝25°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠4＝∠ABC﹣∠3＝60°﹣25°＝35°，∵a∥b，∴∠2＝∠4＝35°，故选：C．2．解：连接CH，由题意得，直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AH＝BH，∵CH＝AH，∴CH＝AB，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝22°，∴∠ACH＝∠A＝22°，∴∠BCH＝∠B＝68°，∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣68°）＝56°，故选：C．3．解：如图1中，过点B作BK⊥GH于K．∵B，G关于EF对称，∴EB＝EG，∴∠EBG＝∠EGB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴∠AGB＝∠EBG，∴∠AGB＝∠BGK，∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，∴△BAG≌△BKG（AAS），∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK＝∠ABC＝45°，过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．∵∠1＝∠2，∴MQ＝MP，∵∠MEQ＝∠MER，∴MQ＝MR，∴MP＝MR，∴∠4＝∠MCP＝∠BCD＝45°，∴∠GBH＝∠4，故②正确，如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．∵B，G关于EF对称，∴BM＝MG，∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，∴△MCB≌△MCD（SAS），∴BM＝DM，∴MG＝MD，∵MW⊥DG，∴WG＝WD，∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，∴∠BMT+∠GMW＝90°，∵∠GMW+∠MGW＝90°，∴∠BMT＝∠MGW，∵MB＝MG，∴△BTM≌△MWG（AAS），∴MT＝WG，∵MC＝TM，DG＝2WG，∴DG＝CM，故③正确，∵AG＝1，DG＝2，∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，∴BM＝＝＝，故④正确，故选：A．4．解：∵AB∥CE，∴∠AEC＝∠A＝40°，∵CE＝DE，∴∠C＝∠D，∴∠AEC＝∠C+∠D＝2∠C，∴∠C＝∠AEC＝×40°＝20°．故选：C．5．解：作GM⊥AB于M，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AC，GM⊥AB，∴GM＝GH＝2，＝×5×2＝5．∴S△ABG故选：B．6．解：∵点A、B的坐标分别为（1，2）、B（3，0）．∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（B点除外），即（﹣1，0）、（0，2+）、（0，2﹣），即满足△ABC是等腰三角形的C点有3个；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个．综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有7个．故选：C．7．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝7，∴AB＝4，由勾股定理知AF＝＝，故选：B．8．解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC＝∠DEF．又∵点D是AB的中点，∴EF＝AE．∵∠DEF＝∠BFC＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+∠C）＝90°﹣∠C，∴∠FBC＝∠BFC，∴BC＝FC，∴BC+2AE＝AC．故选：B．9．解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；∵4+4＜9，∴不能构成三角形；因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长＝9+9+4＝22．故选：B．10．解：如图，过点F作FG⊥CD于G，作∠HFC＝∠DCE，交CD于H，连接OE交AD于P，连接AF，在AM上截取MQ＝MC，连接FQ，∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴AD＝CD，AE＝AD＝，∠ADE＝60°，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，∴∠EDC＝150°，DE＝DC＝，∴∠DEC＝∠DCE＝15°，∴∠HFC＝∠DCE＝15°，∴HC＝HF，∠FHG＝30°，∵FG⊥CD，∠BDC＝45°，∠FHG＝30°，∴DG＝GF，GH＝GF，HF＝2GF＝HC，∴DF＝GF，∵CD＝DG+HG+HC＝（3+）GF＝，∴GF＝，∴DF＝GF＝﹣1，故①正确；∵DE＝AE，DO＝AO，∴EO垂直平分AD，∴EP⊥AD，又∵△AED是等边三角形，AD＝DE＝，∴AP＝，EP＝AP＝，∵DO＝AO，∠AOD＝90°，OP⊥AD，AD＝，∴OP＝，∴EO＝OP+EP＝，∵S△AEC ＝S△AEO+S△EOC＝××＝，故②正确；∵FM平分∠AMC，∴∠CMF＝∠AMF，又∵CM＝QM，FM＝FM，∴△CMF≌△QMF（SAS），∴∠MCF＝∠FQM，FC＝FQ，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴AF＝CF，∠DCF＝∠DAF＝15°，∴∠FAQ＝75°，FA＝FQ＝FC，∴∠FQA＝FAQ＝75°，∴∠FQM＝∠FCM＝105°，∴∠DCM＝120°，∵DC∥AB，∴∠AMC+∠DCM＝180°，∴∠AMC＝60°，故③正确；如图，过点C作CN⊥MF于N，设BM＝a，∵∠CBM＝90°，∠CMB＝60°，∴CM＝2BM＝2a，CB＝a＝AB，∴AM＝a+a，∴AM+CM＝（+3）a，∵∠CMF＝∠CMA＝30°，∴∠CFM＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∵CN⊥FM，∠CMN＝30°，∠CFM＝45°，∴CN＝CM＝a，MN＝a，FN＝CN＝a，∴MF＝a+a，∴AM+CM＝MF，故④错误，故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB＝5，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，∴△EDM是边长为5的等边三角形，∴S＝×52＝．△EDM故答案为：．12．解：连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，∵AD平分∠FAB，∴∠FAD＝∠DAM，在△AFD和△AMD中，，∴△AFD≌△AMD（AAS）∴AF＝AM，FD＝DM，∵DE垂直平分BC∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDM中，，∴Rt △CDF ≌Rt △BDM （HL ）∴BM ＝CF ，∵AB ＝AM +BM ＝AF +MB ＝AC +CF +MB ＝AC +2CF ， ∴8＝4+2CF ，解得，CF ＝2，故答案为：2．13．解：∵△OAA 1为等腰直角三角形，OA ＝1， ∴AA 1＝OA ＝1，OA 1＝OA ＝；∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，∴A 1A 2＝OA 1＝，OA 2＝OA 1＝2；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴A 2A 3＝OA 2＝2，OA 3＝OA 2＝2；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴A 3A 4＝OA 3＝2，OA 4＝OA 3＝4．∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，∴A 4A 5＝OA 4＝4，OA 5＝OA 4＝4．∵△OA 5A 6为等腰直角三角形，∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．∴OA8的长度为＝16．故答案为：16．14．解：∵AB＝AC，∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，∴BE′＝EC＝8，AE′＝AE，∠E′AB＝∠EAC，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠EAC＝60°，∴∠E′AD＝∠E′AB+∠BAD＝60°，在△E′AD和△EAD中，∴△E′AD≌△EAD（SAS），∴E′D＝ED，过E′作EF⊥BD于点F，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝∠E′BA＝30°，∴∠E′BF＝60°，∴∠BE′F＝30°，∴BF＝BE′＝4，E′F＝4，∵BD＝5，∴FD＝BD﹣BF＝1，在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D＝＝7，∴DE＝7．故答案为7．15．解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝6，∴S△ABE ＝S△ABC＝×6＝3．∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△BCD ＝S△ABC＝×6＝2，∵S△ABE ﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF ﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝3﹣2＝1．故答案为：116．解：作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，5）．设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，∴AB＝BE，∠ABE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，∴∠BAC＝∠EBQ，在△ABC和△BEQ中，，∴△ACB≌△BQE（AAS），∴AC＝BQ＝5，BC＝EQ，设BC＝EQ＝x，∴O为AE中点，∴OM为梯形ACQE的中位线，∴OM＝，又∵CM＝CQ＝，∴O点坐标为（，），根据题意得：OC＝4＝，解得：x＝3，则BC＝3．故答案为：3．17．解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝4cm∴BD＝BC∵等腰三角形ABC的周长为16cm∴2AB+2BD＝16cm，即AB+BD＝8①，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝AB2﹣42②，联立①②方程，解得，AB＝5cm，DB＝3cm∴BC＝6cm＝BC•AD＝×6×4＝12cm2∴S△ABC三．解答题（共4小题）18．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，∴AM＝AN，∠MAN＝60°＝∠BAC，即∠CAN+∠BAN＝∠MAB+∠BAN，∴∠CAN＝∠MAB，∴△BAM≌△CAN（SAS）；（2）如图1，连接CN，由（1）可知△BAM≌△CAN，∴∠B＝∠ACN＝60°，∵DN∥AC，∴∠NDC＝∠ACB＝60°，∴∠NCD＝60°，∴△CDN是等边三角形，∴CN＝DN，∠CND＝60°，∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AN＝MN，∠ANM＝60°，∴∠ANC＝∠MND，∴△ANC≌△MND（SAS），∴S△ACN ＝S△MND，∵S 四边形ACDN ＝S △MND ＝S △ACN +S △CDN ， ∴，∴CD ＝AB ，∵A （0，3），B （﹣，0），∴OA ＝3，OB ＝，∴AB ＝＝2，∴CD ＝，∴OD ＝OC +CD ＝＝，∴D （，0）；（3）如图2，过点C 作CE ∥AB 交y 轴于点E ，由（1），（2）可知点N 在直线CE 上，CE 与抛物线交于点N 1，N 2，∴∠ABC ＝∠OCE ＝60°，OC ＝OB ＝，∴OE ＝3，∴E （0，﹣3），设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ， ∴，解得：，∴直线CE 的解析式为y ＝x ﹣3， ∴， 解得：，，∴N 1（2，3），N 2（﹣，﹣），若AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN 1时，M （m ，0），∴AM ＝AN 1＝2， ∵AB ＝2，AN 1∥x 轴，∴点M 与点C 重合，即m ＝，若AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN 2时，M （m ，0），∵C （0，）， ∴CN 2＝＝3，由（1）可知BM 2＝CN 2＝3， ∴OM 2＝OB +BM 2＝＝4， ∴m ＝﹣4．综合以上可得，m＝或﹣4．19．证明：（1）∵BE＝DF，∴BE﹣EF＝DF﹣EF，即BF＝DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE＝∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．20．证明：在AC上取AF＝AE，连接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO与△AFO中，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠AOF；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC＝∠ACB+∠BAC＝（∠ACB+∠BAC）＝（180°﹣∠B）＝60°则∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC与△DOC中，，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝FC，∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．21．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠CBD＝60°．∵点D是AB中点，∴BD＝BC，∴△BCD为等边三角形．故答案为：等边三角形．（2）∠DBF的度数不变，理由如下：∵∠ACB＝90°，点D是AB中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ECD＝30°．∵△BDC为等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°．又∵△DEF为等边三角形，∴DF＝DE，∠FDE＝60°，∴∠BDF+∠FDC＝∠EDC+∠FDC＝60°，∴∠BDF＝∠CDE．在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠DBF＝∠DCE＝30°，即∠DBF的度数不变．（3）∵△DEF为等边三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝60°．∵∠A＝∠ECD＝30°，∴∠ADE＝∠CDF＝30°，∴△CDF、△ADE为等腰三角形，∴CF＝DF＝EF＝DE＝AE，∴DE＝AE＝AC＝2．。

2024年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．圆锥B．三棱柱C．三棱锥D．四棱锥2．（2分）2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps 提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”．其中10Gbps表示每秒传输10000000000位（bit）的数据．将10000000000用科学记数法表示应为（）A．0.1×1011B．1×1010C．1×1011D．10×109 3．（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）直尺和三角板如图摆放，若∠1＝55°，则∠2的大小为（）A．35°B．55°C．135°D．145°5．（2分）不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（）A．B．C．D．6．（2分）已知﹣2＜a＜﹣1，则下列结论正确的是（）A．a＜1＜﹣a＜2B．1＜a＜﹣a＜2C．1＜﹣a＜2＜a D．﹣a＜1＜a＜2 7．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k＞﹣且k≠0C．k≥﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（其中a＜b）．CD⊥AB 于点D，点E在边AB上，BE＝BC．设CD＝h，AD＝m，BD＝n，给出下面三个结论：①n2+h2＜（m+n）2；②2h2＞m2+n2；③AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣12xy+36y＝．11．（2分）方程＝的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣1，8）和（2，n），则n的值为．13．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F．若AF＝1，AB＝2，则＝．14．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点A是的中点，连接AC，若∠DAB ＝130°，则∠ACB＝°．15．（2分）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为．16．（2分）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．37…三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2sin60°﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x2﹣x﹣4＝0，求代数式（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）的值．20．（5分）如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE＝AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF＝BF，tan∠AEF＝，AB＝4，求菱形AEGD的面积．21．（5分）某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍？若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，5），B （﹣2，0），且与y轴交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．23．（6分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦（每串冰糖葫芦由5颗山楂制成）．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量（单位：g），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n 根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是（填写“甲”或“乙”）；甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的10颗山植中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为_______和；（3）估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF∥CE，AF与⊙O的交点为F．（1）求证：AF＝CD；（2）若⊙O的半径为6，AH＝2OH，求AE的长．25．（6分）如图，点O为边长为1的等边三角形ABC的外心．线段PQ经过点O，交边AB 于点P，交边AC于点Q．若AP＝x，AQ＝y1，S△APQ：S△ABC＝y2，下表给出了x，y1，y2的一些数据（近似值精确到0.0001）．x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.92940.51350.5 y20.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（1）补全表格；（2）在同一平面直角坐标系xOy中描出了部分点（x，y1），（x，y2）．请补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ是等腰三角形时，y1关于x的函数图象上的对应点记为（a，b），请在x轴上标出横坐标为a的点；②当y2取最大值时，x的值为．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若y1＝3，求t的值；（2）若当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，AM⊥BC于点M．D是射线AB上的动点（不与点A，B重合），点E在射线AC上且满足AE＝AD，过点D作直线BE的垂线交直线BC于点F，垂足为点G，直线BE交射线AM于点P．（1）如图1，若点D在线段AB上，当AP＝AE时，求∠BDF的大小；（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP，AB的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q 满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．（1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（﹣，﹣），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣）中，点P1关于直线l的“衍生点”是，点P2关于直线l的“衍生点”是；（2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；（3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值．2024年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．【解答】解：由题意可知，该几何体的底面是一个三角形，侧面由三个三角形组成，故该几何体是三棱锥．故选：C．【点评】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握三棱锥展开图的特征是正确判断的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：10000000000＝1×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．4．【分析】求出∠3＝90°﹣55°＝35°，由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°，由邻补角的性质得到∠2＝180°﹣35°＝145°．【解答】解：∵∠1＝55°，∴∠3＝90°﹣55°＝35°，∵直尺的对边平行，∴∠3＝∠4＝35°，∴∠2＝180°﹣35°＝145°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质关键是由平行线的性质推出∠3＝∠4＝35°．5．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：红蓝红（红，红）（红，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为．故选：A．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．6．【分析】根据﹣2＜a＜﹣1，判断出﹣a的取值范围，进而推出a、﹣a的大小关系即可．【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜2，∴a＜1＜﹣a＜2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出﹣a的取值范围．7．【分析】根据一元二次方程kx2+x﹣2＝0有两个实数根，构建不等式求解．【解答】解：由题意，Δ≥0且k≠0，∴1+8k≥0，∴k≥﹣，∴k≥﹣且k≠0．故选：C．【点评】考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．8．【分析】因为CD⊥AB，所以∠CDB＝∠CDA＝90°，由勾股定理得，n2+h2＝a2，因为∠ACB＝90°，由勾股定理得，（m+n）2＝a2+b2，因为a2＜a2+b2，所以n2+h2＜（m+n）2，由射影定理得，h2＝mn，所以2h2＝2mn，因为a＜b，a＝，b＝，则m＞n，所以（m﹣n）2＞0，可得m2+n2＞2mn，所以m2+n2＞2h2，方程x2+2ax﹣b2＝0配方得（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，因为a2+b2＝（m+n）2，可得（x+a）2＝（m+n）2，解得x的值，因为BE＝BC，BC＝a，可得BE＝a，因为AB＝AD+BD＝m+n，所以AE＝m+n ﹣a，可得AE的长是否是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∴n2+h2＝a2，∵∠ACB＝90°，∴（m+n）2＝a2+b2，∵a2＜a2+b2，∴n2+h2＜（m+n）2，故①符合题意，∵h2＝mn，∴2h2＝2mn，∵a＜b，a＝，b＝，∴m＞n，∴（m﹣n）2＞0，即m2+n2＞2mn，∴m2+n2＞2h2，故②不符合题意，x2+2ax﹣b2＝0，配方得，（x+a）2﹣（a2+b2）＝0，∵a2+b2＝（m+n）2，∴（x+a）2﹣（m+n）2＝0，即（x+a）2＝（m+n）2，∴x＝m+n﹣a或x＝﹣m﹣n﹣a，∵BE＝BC，BC＝a，∴BE＝a，∵AB＝AD+BD＝m+n，∴AE＝m+n﹣a，∴AE的长是关于x的方程x2+2ax﹣b2＝0的一个实数根x＝m+n﹣a，故③符合题意，故选：B．【点评】本题考查了射影定理、勾股定理，关键是掌握射影定理的运用．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．【分析】提取公因式后用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣6）2，故答案为：y（x﹣6）2．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键．11．【分析】方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2）得出4（x﹣2）＝3（3x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘（3x﹣1）（x﹣2），得4（x﹣2）＝3（3x﹣1），4x﹣8＝9x﹣3，4x﹣9x＝﹣3+8，﹣5x＝5，x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（3x﹣1）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．12．【分析】由点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出n的值．【解答】解：将点（﹣1，8）代入y＝（k≠0）得：8＝，解得：k＝﹣8，∴反比例函数解析式为y＝﹣当x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴n的值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数解析式，根据给定坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．13．【分析】由平行四边形的性质得到AB∥CD，CD＝AB＝2，推出△FAE∽△CDE，得到＝，而AF＝1，于是得到＝．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD＝AB＝2，∴△FAE∽△CDE，∴＝，∵AF＝1，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，推出＝．14．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，再根据圆周角定理求出∠ACB．【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DAB＝130°，∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，∵点A是的中点，∴∠ACB＝∠ACD＝×50°＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键．15．【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A＝O1B＝O2C＝a，在Rt△O2CE中，O2C＝a，∠CO2E＝30°，∴EC＝O2C＝a＝BE，O2E＝O2C＝a，∴AE＝2a+a＝a，∴tan∠O2AC＝＝．故答案为：．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．16．【分析】根据第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，可知第2个空格所填入的数为1，根据前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，且前37个数的和是第37个数的倍数，即可得出结果．【解答】解：根据要求：第1个数是第2个数的倍数，第1个空格填入37，而37是质数，∴第2个空格所填入的数为1，∵前36个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和是第37个数的倍数，∴前37个数的和为：1+2+3+⋯+37＝703＝37×19，且37与19都是质数，假设第37个数为x，则（37×19﹣x）一定能被x整除，∵x≠37，第2个空格所填入的数为1，∴x的值只能是19，故答案为：1，19．【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的倍数关系是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝＝＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据同小取小确定不等式组的解集．【解答】解：，解解不等式①，得：x＜3，解不等式②，得：x≤7，∴原不等式组的解集为x＜3．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．【分析】利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x2﹣x＝4代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解答】解：（x﹣2）2+（x﹣1）（x+3）＝x2﹣4x+4+x2+3x﹣x﹣3＝2x2﹣2x+1，∵x2﹣x﹣4＝0，∴x2﹣x＝4，∴当x2﹣x＝4时，原式＝2（x2﹣x）+1＝2×4+1＝8+1＝9．【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得出EF＝DF，再证△GEF和△ADF全等，得出GF＝AF，于是根据对角线相等的四边形是平行四边形推出四边形AEGD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出四边形AEGD是菱形；（2）分别求出AF、EF的长，即可得出对角线AG、ED的长，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AE＝AD，AF⊥BD，∴EF＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF＝∠ADF，在△GEF和△ADF中，，∴△GEF≌△ADF（ASA），∴GF＝AF，∵EF＝DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE＝AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF＝BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴由勾股定理得，，∵tan∠AEF＝，∴，即，∴EF＝，∵四边形AEGD是菱形，∴AG＝2AF＝，ED＝2EF＝，∴菱形AEGD的面积．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数，菱形的面积等，熟练掌握这些知识点是解题的关键．21．【分析】设购买象棋x套，若购买围棋2x套，可得40×2x+30x＝1000，解得x＝9，即可判断不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【解答】解：不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍，理由如下：设购买象棋x套，若购买围棋2x套，根据题意得：40×2x+30x＝1000，解得x＝9，∵x是整数，∴x＝9不符合题意，∴不能恰好用1000元经费购买围棋和象棋，使所购买围棋的套数是所购买象棋套数的2倍．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出方程．22．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；（2）先利用（1）中解析式计算x＝2时，y＝4，再把点（2，4）代入y＝﹣3x+n中得到n＝10，则利用一次函数的性质可判断当n≥10时满足条件．【解答】解：（1）根据题意得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2，当x＝0时，y＝x+2＝2，∴C（0，2）；（2）当x＝2时，y＝x+2＝4，把点（2，4）代入y＝﹣3x+n得﹣6+n＝4，解得n＝10，∴当n≥10时，对于x＜2的每一个值，函数y＝﹣3x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质．23．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【解答】解：（1）根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以m＝9.4；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以n＝10．故答案为：9.4，10．（2）①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.1﹣9.2之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.8﹣9.4，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．②∵要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：[（9.3﹣9.48）2+（9.4﹣9.48）2+（9.5﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2+（9.6﹣9.48）2]×＝0.0136，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：[（9.4﹣9.6）2+（9.5﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.6﹣9.6）2+（9.9﹣9.6）2]×＝0.028，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：[（9.3﹣9.54）2+（9.4﹣9.54）2+（9.5﹣9.54）2+（9.6﹣9.54）2+（9.9﹣9.54）2]×＝0.0424，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．故答案为：甲；9.3、9.6．（3）7.6千克＝7600克，7600÷9.5＝800（个），800÷5＝160（串），答：能制作160串冰糖葫芦．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE＝∠ACB＝90°，可证明∠ACE＝∠B，由AF∥CE，得∠CAF＝∠ACE＝∠B，则＝，由垂径定理得＝，则＝，即可证明＝，所以AF＝CD；（2）由⊙O的半径为6，AH＝2OH，得OC＝OA＝2OH+OH＝6，求得OH＝2，因为＝＝cos∠COE，所以OE＝＝18，则AE＝12．【解答】（1）证明：连接AC、OC、BC，则OC＝OA，∵CE与⊙O相切于点C，∴CE⊥OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OCA＝90°，∠B+∠OAC＝90°，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠ACE＝∠B，∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝∠B，∴＝，∵CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴＝+＝+＝，∴AF＝CD．（2）解：∵⊙O的半径为6，AH＝2OH，∴OC＝OA＝2OH+OH＝6，∴OH＝2，∵∠OHC＝∠OCE＝90°，∴＝＝cos∠COE，∴OE＝＝＝18，∴AE＝OE﹣OA＝18﹣6＝12，∴AE的长为12．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）利用已知条件得到：当x＝0.5时，点P为AB的中点，当y1＝1时，此时点Q在点C处，由题意计算当x＝0.5时的y1即可；（2）补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象即可；（3）①当△APQ是等腰三角形时，利用等边三角形的判定与性质解答即可求得a值，在x轴上描出横坐标为的点即可；②观察图象即可得出结论．【解答】（1）解：当x＝0.5时，点P为AB的中点，∵点O为边长为1的等边三角形ABC的外心，∵y1＝1，∴此时点Q在点C处，如图所示：∵△ABC为等边三角形，点P为AB的中点，点Q在点C处，∴∴y2＝S△APQ：S△ABC＝0.5，填报如下：x0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951 y110.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.5 y20.50.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5（2）解：补全表格中数据的对应点，并分别画出y1与y2关于x的函数图象如图所示：（3）解：①连接AO并延长交BC于点D，连接OB，如图，∵△ABC为等边三角形，点O为△ABC外心，∴∠OBD＝∠BAD＝30°，AD⊥BC，，OA＝OB，∴，∴，∴．当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，∵∠PAQ＝60°，∴△PAQ为等边三角形，∴∠APQ＝60°，∴∠APQ＝∠ABC，∴PQ∥BC，∴∠AOP＝∠ADB＝90°．∴，∴．∴，∴b＝，在x轴上标出横坐标为a的点，如图所示：②根据函数图象可知，函数y2的最大值为0.5，此时x＝0.5或x＝1．故答案为：0.5或1．【点评】本题主要考查了还是的图象与性质，描点法画出函数的图象，等边三角形的性质，等边三角形的外心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质和函数图象的画法是解题的关键．26．【分析】（1）把A点的坐标代入解析式求得b＝2a，然后利用对称轴公式即可求得；（2）由题意可知点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t ﹣2），分两种情况讨论，得到关于t的不等式组，解不等式组从而求得t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴3＝4a﹣2b+3，∴b＝2a，∴t＝﹣＝﹣1；（2）∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）开口向上，当x＞t时，y随x的增大而增大，∵当t+1＜m＜t+2时，都有y1＞y3＞y2，∴点A（﹣2，y1）在对称轴的左侧，C（m，y3）在对称轴的右侧，∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝t的对称点为（2t+2），B（2，y2）关于直线x＝t的对称点为（2t﹣2），当t≥2时，则，解得2≤t≤3；当t＜2时，则，解得1≤t＜2，故1≤t≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明∠AEP＝∠APE＝67.5°，进而可以解决问题；（2）结合（1）即可补全图形，作CQ∥AP交BE于点Q，证明△BDF≌△CEQ（ASA），得BF＝CQ，再根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝BAC＝45°，BM＝CM，∵AP＝AE，∴∠AEP＝∠APE＝（180°﹣∠MAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∵DF⊥BE，∴∠ABE+∠BDF＝90°，∴∠BDF＝∠AEP＝67.5°；（2）如图，即为补全的图形，线段CF，MP，AB的数量关系为：CF＝2MP+AB，证明：如图2，作CQ∥AP交BE于点Q，∵CO∥AP，BM＝CM，∴＝＝，∴CQ＝2MP，∵AM⊥BC，∴∠AMC＝90°，∵CQ∥AP，∴∠BCQ＝∠AMC＝90°，∴∠QCE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCQ＝45°，∵∠DBF＝∠ABC＝45°，∴∠DBF＝∠QCE，∵DG⊥BE，∴∠DGB＝∠BAC＝90°，∵∠DBG＝∠ABE，∴∠D＝∠E，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AD﹣AB＝AE﹣AC，∴BD＝CE，∴△BDF≌△CEQ（ASA），∴BF＝CQ，∵CF＝BF+BC，BC＝AB，∴CF＝CQ+√AB＝2MP+AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是得到△BDF≌△CEQ．28．【分析】（1）a＝0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可；（2）因为直线y＝ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答；（3）根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定理求出MN的长度的最大值，从而得解．【解答】解：（1）当a＝0时，直线l为y＝0，即x轴，∵P1（，），P2（﹣，﹣），∴P1′（，﹣），P2′（﹣，），∴P1P1′＝，P2P2′＝，∵Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣，﹣），∴OQ1＝，OQ2＝，OQ3＝，OQ4＝2，∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3；故答案为：Q2，Q3；（2）∵直线l：y＝ax过圆心O，∴P′也在⊙O上，∴PP′≤2，∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，∴A（﹣m，0），B（0，m），当OA＝OB＝2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2，此时，m＝±2，又∵y＝ax不能是y轴，∴（1，0）和（﹣1，0）不能同时是P和P′，∴m＝±2符合题意；当O到线段AB的距离是2时，∵OA＝OB，OA⊥OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝2，∴m＝±2，∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2，∴﹣2≤m≤﹣2或2≤m≤2；（3）∵﹣1≤a≤1，∴在图中作直线y＝x和直线y＝﹣x，将⊙O分成四份，如图：①当P在或上时，当P，P′重合时，PP′＝0，当PP′为直径时，PP′＝2，∴0≤PP′≤2，∴D（s）＝2，②当P在或上时，当PP′为直径时，PP′＝2，当P在y轴上时，直线l为y＝x或y＝﹣x时，PP′取最小值，此时，PP′＝，∴≤PP′≤2，∴D（s）＝2﹣，综上所述，D（s）的最小值为2﹣．【点评】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键。

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．圆柱2．（2分）2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40%人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（）A．0.223×1011B．2.23×1010C．22.3×109D．223×1083．（2分）如图，AB∥CD，E为线段AD上一点，连结CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．（2分）已知关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜4B．n≤4C．n＞4D．n＝45．（2分）如图，由5个“O”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（）A．l1B．l2C．l3D．l46．（2分）一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（）A．B．C．D．7．（2分）已知数轴上有A、B两点，点B在点A的右侧，若点A、B分别表示数a、b，且满足a+b＝2，则下列各式的值一定为负数的是（）A．a B．﹣a C．a﹣1D．b﹣18．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P和点Q分别在边CD和AD上运动（不与A、C、D重合），满足DP＝AQ，连结AP、CQ交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（）①AP＝CQ；②∠AEC的度数不变；③∠APD+∠CQD＝180°；④CP2＝AP•EP．A．①②B．③④C．①②④D．①②③④二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为．10．（2分）分解因式：x2y﹣4y＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线交于点P（m，3），则k的值是．13．（2分）如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：DE＝1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AF＝6，则CD的长为．14．（2分）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过15min的有人．15．（2分）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计⊙O的面积，S正六边形＝6×，所以⊙O的面积近似为，由此可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形估计⊙O的面积，可得π的估计值为．16．（2分）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．工作代码工作名称持续时间（天）前期工作A张贴海报、收集作品7无B购买展览用品3无C打扫展厅1无D展厅装饰3CE展位设计与布置3ABDF展品布置2EG宣传语与环境布置2ABDH展前检查1FG（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰”最短需要天；（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要天．三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x2﹣x﹣1＝0，求代数式4x（x﹣1）+（2x+1）（2x﹣1）的值．20．（5分）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约7.5万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为2：3，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．21．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连结AE、AF、BF．（1）求证：四边形AEBF是菱形；（2）若，BE＝5，求AD的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1）和B（4，3），与过点（0，﹣3）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的表达式及点C的坐标；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于函数y＝kx+b（k ≠0）的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）为了选出适应市场需求的小番茄秧苗，在条件基本相同的情况下，工作人员把两个品种的小番茄秧苗分别种植在甲、乙两个大棚．对两个品种的小番茄的产量进行了抽样调查，数据整理如下：a．从甲、乙两个大棚各收集了20株秧苗，将每株秧苗上的小番茄的个数做如下记录：甲：26 32 40 74 44 63 81 54 62 41 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33乙：27 34 46 52 48 67 82 48 56 63 73 35 56 56 58 60 36 46 40 71b．对以上样本数据按如下分组整理：个数25≤x＜3535≤x＜4545≤x＜5555≤x＜6565≤x＜7575≤x＜85大棚甲44m n21乙235631 c．两组样本数据的平均数、众数、中位数和方差如表所示：统计量平均数众数中位数方差大棚甲52.554p228.75乙52.75654196.41（1）m＝，n＝．（2）p＝．（3）可以推断出大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，理由为.（从两个不同的角度说明推断的合理性）24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AM，C是半圆AB上一点（不与点A、B重合），连结AC，过点C作CD⊥AB于点E，连接BD并延长交AM于点F．（1）求证：∠CAB＝∠AFB；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求DF的长．25．（5分）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x 吨产品所获得的利润与生产（x﹣1）吨产品获得的利润之差记为y（万元）．例如：当x＝0时，p＝﹣1.00，当x＝1时，p＝2.50．所以，当x＝1时，y＝2.50﹣（﹣1.00）＝3.50；当x＝1.5时，p＝6.31，当x＝2.5时，p＝16.19．所以，当x＝2.5时，y＝16.19﹣6.31＝9.88．记录的部分数据如下：x00.50.751 1.5 1.752 2.53 3.54 4.55 5.56p﹣1.00﹣0.061.042.50 6.318.5711.0016.1921.5026.5631.0034.4436.5036.8135.00y 3.50 6.377.53m9.8810.5010.379.50n 5.50 2.37﹣1.50根据以上数据，解决下列问题：（1）m＝，n＝．（2）结合表中的数据，当1≤x≤6时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象．（3）结合数据，利用所画的函数图象可以推断：①当生产总量约为吨（精确到0.1），利润变化值y最大，②当生产总量约为吨（精确到0.1），利润开始降低．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（m，y1），N（m+2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上两点，且满足m＞0．设抛物线的对称轴为x＝t．（1）当y1＝y2时，写出m，t的之间的等量关系．（2）当3＜t＜4时，均满足c＞y2＞y1，求m的取值范围．27．（7分）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到线段AC，连结BC，点N是BC的中点，点D，E分别在线段AC，BC的延长线上，且CE＝DE．（1）∠EDC＝（用含α的代数式表示）；（2）连结BD，点F为BD的中点，连接AF，EF，NF．①依题意补全图形；②若AF⊥EF，用等式表示线段NF与CE的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，n），A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移|m|个单位长度，再向上平移|n|个单位长度，得到点A′再将点A′绕点O逆时针旋转90°得到点A1；Q运动：将点A绕点O逆时针旋转90°，得到点A″，再将点A″向右平移|m|个单位长度，再向上平移|n|个单位长度，得到点A2．（1）如图，已知点A（1，1），M（m，0），点A分别经过P运动与Q运动后，得到点A1，A2．①若m＝1，请你在图中画出点A1，A2的位置；②若A1A2＝2，求m的值．（2）已知AB＝t，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点A1，A2与点B1，B2，连接A1B1，A2B2．若线段A1B1与A2B2存在公共点，请直接写出此时线段MO长度的取值范围（用含有t的式子表示）．。