材料力学第五章 弯曲内力

材料力学
第五章 弯曲内力
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材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
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材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
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材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示

Q2=P(正剪力) ∑m2(F)= 0，-M2-P· a/2=0 M2= -Pa/2 (负弯矩)
§5–4
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q ( x)
剪力方程 弯矩方程
M M ( x)
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图
Q Q( x) 的图线表示
m
P B
C
RB
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§5–3 剪力与弯矩
求剪力和弯矩的工具——截面法
利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤 如下： （1） 计算支座反力，画出计算简图。 （2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段， 取其中一段为研究对象，在截面上假设弯矩和内力。 （3）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。
（4）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和 弯矩均按正方向假设。
YO
x
Q(x)
M(x)
②写出内力方程
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
§5–4
Q(x)
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
P x
Q( x ) YO P
M ( x ) YO x M O P ( x L)
M(x)
x
–PL
③根据方程画内力图
M (x)-Q(x) x x qxdx 0 0 x q0 x 2 q0 x 2 M (x ) ( L 3x ) x dx 0 6L L M(x) qx q 1 0 ( L2 3x 2 ) 0 x 3 6L L 3 q0 x 2 (L x2 ) 6L
§5–4
a
F
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

5 qa 3
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和 弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值： 支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB

第 5 章 弯曲内力
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩 图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内 力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、 弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁 超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅 由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。 梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）