第 5 章 弯曲内力
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩 图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内 力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、 弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁 超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅 由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。 梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
杆件的整体变形有以下几种基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲以及 它们的组合。
1、轴向拉伸或压缩 受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向 相反，且作用线与杆件轴线重合。 变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。 2、剪切 受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。
FS 、 M 画在横坐标的上边 FS 、 M 画在横坐标的下边
5.4.3 剪力图、弯矩图的特点
下面用例题来说明剪力图与弯矩图的绘制及其特点。 例题 5-2：如下图所示简支梁的计算简图，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并 作剪力图与弯矩图。
解：⑴ 求约束反力 整体平衡，求出约束反力：
FA
FPb l
（2）集中力偶 常用单位：Nm、kNm； （3）分布荷载 常用单位：N/m、kN/m。其合力的大小等于荷载图的面积， 合力作用点为荷载图面积的形心。
5.2.3 静定梁 梁的未知力的数目恰好等于独立的静力平衡方程式的数目，此时，所有的未
知力都可由平衡方程完全确定，这样的梁称为静定梁。它又可分为单跨梁和多跨 度梁，其中，常见的单跨梁有：
（2）固定铰支座
限制 A 在纵向对称面内产生线位移，此时的反力可用 X 和 Y 来表示。
（3）固定支座
限制 A 的线位移及角位移，故有反力 X、Y 及反力矩 m。
A
A
m A
X
X
Y
活动铰支座 座
Y 固定铰支座
Y 固定支
5.2.2 荷载的简化
（1）集中荷载 若作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴 线长度。常用单位：N、kN；
3、扭转 受力：在垂直于杆件轴的横截面内，分别作用两个绝对值相等，转向相反的 两个力偶。变形：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 4、弯曲 受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶，或在 垂直于杆件轴线方向上作用横向力。
变形：杆件轴线由直线变为曲线。 组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。
5.3 剪力和弯矩
5.3.1 梁的内力-剪力与弯矩。 1、确定约束反力
1
2F
（1）求反力：
B 0
FA
1
A 0
FB
2、求内力（截面法） 一般来说截面上有剪力 FS 和弯矩
2
F
M （为平衡）
Fy 0
FA F1 Fs 0 FS FA F1
M 0 0
M F1 x a FA x 0
3 1 6 5 4 0 (无误) ②求指定截面上的内力：
截面 A 左（不截到 FA ）：
Fy 0 Fp FQA左 0
FQA左 FP 3kN （使该段有逆时针转动的趋势）
MO 0
Fp 2 M A左 0
M A左 3 2 6kN m （上拉下压）
截面 A 右（截到 FA ）：
FPb l
x2
FP (x2
a)
（a≤x2≤L）
⑷
FP a l
(l
x2 )
⑶ 绘 FQ、M 图
据式⑴、⑶作 FQ 图，如图（d）所示。
据式⑵、⑷作 M 图，如图（e）所示。
⑷确定 FS max 、 M max
据
FS 图可见，当
a>b
时，
FS
max
FPa l
据 M 图可见，c 截面处有， M FPab
列 FS (x1) 、 M (x1) ：
AC 段：（根据 图 b 列方程）
FS
(x1)
FA
FPb l
（0<x1<a）
⑴
M (x1)
FA
x1
FP b l
x1
（0≤x1≤a）
⑵
CB 段：（图 c）
FS (x2 )
FA
FP
FPb l
FP
FP a l
（a<x2<L）
⑶
பைடு நூலகம்
M (x2 ) FA x2 FP (x2 a)
5.4.2 剪力图与弯矩图
在工程实际中，为了简明而直观地表明梁的各截面上剪力 FS 和 M 弯矩的大 小变化情况，需要绘制剪力图和弯矩图。
可仿照轴力图或扭矩图的作法，以截面沿梁轴线的位置为横坐标 x ，以截面 上的剪力 FS 或弯矩 M 数值为对应的纵坐标，选定比例尺绘制剪力图和弯矩图。
对水平梁，绘图时将正值的剪力画在 x 轴的上方；至于弯矩，则画在梁的受 压一侧，也就是正值的弯矩画在 x 轴的上方。
根据剪力与弯矩的计算方法及正负号规定，
FS (x) qx
（0≤x＜ l ）
⑴
M (x) qx2
（0≤x≤ l ）
⑵
2
在固定端处： FS max ql
M ql 2
max
2
M C左 3 4 5 2 1 2 1 截面 C 右（截到 M1）：
4kN m
Fy 0
FA FP q 2 FQC右 0
FQC右 5 3 2 0
MO 0
Fp 4 FA 2 q 2 1 M1 M C右 0
M C右 3 4 5 2 1 2 1 2
图 5-19
max
l
若
a=b=l/2,则 M max
FPl 4
特点之一： 在集中力作用处，FS 图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大
小； FPb l
FPa l
FP l
(a b) FP ；图有一转折点，形成尖角。（M
图的切线斜
率有突然变化） 例题 5-3，均布载荷作用下的悬臂梁如下图所示，作梁的剪力图与弯矩图。
6kN m
⑷小结
基本规律
①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，
两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Fs、M）假设为正号。最后
计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的 Fs、M 即为正
Mi
左
同理，取截面右侧部分为研究对象：
FS
n
Fi
i 1
右
M
n i 1
Mi
右
5.3.2 剪力 FS 和弯矩 M 符号规定
无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力 FS 和弯矩 M，不但数值 相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。
剪力：当截面上的 Fs 使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之 为负。
5.4.1 剪力方程和弯矩方程
梁内各截面上的 FS、M 一般随横截面的位置不同而变化，设横截面的位置用 其沿梁轴线 x 上的坐标表示，则梁的各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标 x 的函数，即
Fs Fs (x) 及 M M (x) 它们分别称为剪力方程和弯矩方程（亦称为剪力函数和弯矩函数）。在建立 剪力方程和弯矩方程时，一般是以梁的左端为坐标 x 的原点。有时，为了方便计 算，也可将 x 坐标的原点取在梁的右端或梁的其他位置。
的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方
向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。
③梁内任一截面上的剪力 Fs 的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截 面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力 会使该截面上产生正号的剪力，而所有向下的外力会使该截面上产生负号的剪 力。
由剪力方程和弯矩方程，特别是根据剪力图和弯矩图，可以确定梁的剪力 和弯矩的最大值，以及剪力和弯矩为最大值的截面，这些截面称为危险截面。 剪力方程和弯矩方程，以及剪力图和弯矩图是梁的强度计算和刚度计算的重要依 据。
绘制梁的剪力图和弯矩图的基本方法： （1）首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程； （2）根据它们来作图。这也就是数学中作函数 y f (x) 的图形所用的方法。 横坐标 x---横截面位置 纵坐标 FS 或 M ---按比例表示梁的内力
②载荷作用在对称平面内 在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称 平面内： 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。 受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。
