结构力学课件 第十三章 结构弹性稳定

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11010 1 120 903 1012 12
1 32
该杆为中长杆。
σcr = 10.3MPa
79.9kN
Fcr = 111.5 kN
例2. 一压杆长l =2m，截面为10号工字钢，材料为Q 235钢， σs=235MPa，E =206GPa， σp =200MPa。压杆两端为柱 形铰，试求压杆的Fcr。
cos kl 0, kl n
2
, n 1,3,5...
Fcr
2EI
2l 2
Me x Fcr
l
w
x
2)、两端固定： M x Me Fcrw
EIw Me Fcr w
w kw k 2 M e Fcr
w Asin kx B cos kx M e Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0, w 0
cr a b, Fcr cr A
a、b为与材料有关的常数，单位：MPa。
适用范围： σP＜σ cr ＜σ u
或 λP＞λ ＞λ u
当λ≤λ u时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破 坏是强度破坏。
显然， λ u是中柔度杆与短粗杆的分界值。
令σ cr = σ u得：
u
a
b
u
四、临界应力总图
（1） λ≥λP，大柔度杆，
Fcr
w Asin kx B cos kx F0 l x
Fcr
x
F0
Me
Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0;
A F0 , B F0l
kFcr
Fcr
w
F0 Fcr
1 k
sin kx l cos kx l
x

第十三章 压杆稳定§13.1 压杆稳定的概念构件受外力作用而处于平衡状态时，它的平衡可能是稳定的，也可能是不稳定的。

一、压杆稳定直杆在压力作用下，保持原直线状态的性质。

二、失稳（屈曲）压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡。

三、临界压力压杆保持其直线状态的最小压力，cr F 。

§13.2 两端铰支细长压杆的临界压力在压杆稳定性问题中，若杆内的应力不超过材料的比例极限，称为线弹性稳定问题。

图示坐标系中，距原点为x 的任一截面的挠度为y ， 则该截面得弯矩为：y F M(x)cr =代入挠曲线近似微分方程，即EIM(x)-y d 22=dx 得： EIF k k dx cr y ,0y y d 2222==+ 方程通解为：0cos Asin y =+=kx B kx 由杆端的边界条件：0y 0===时，和l x x求得 ： 0A s i n ,0==kxB 解得：),2,1,0(⋅⋅⋅⋅==n ln k π222F l EIn cr π= 除n=0外，无论n 取何值，都有对应的cr F ，1n =压杆失稳时的最小荷载是临界载荷22F lEI cr π=上式称为两端铰支细长压杆的临界荷载的欧拉公式。

杆越细长，其临界载荷越小，即杆越容易失稳。

对两端铰支细长压杆，欧拉公式中的惯性矩I 应是横截面最小的惯性矩，即形心主惯性矩中的做小值min I§13.3其他支座条件下细长压杆的临界压力几种常见约束方式的细长压杆的长度因数与临界载荷例题：两端铰支压杆如图11-8所示，杆的直径20mm d =，长度800mm l =，材料为Q235钢，200GPa E =，200MPa p σ=。

求压杆的临界载荷cr F 。

解：根据欧拉公式2394122220010201024.2kN ()64(10.8)cr EI F l ππμ-⨯⨯⨯⨯===⨯⨯此时横截面上的正应力3cr P 26424.21077MPa 2010F A σσπ-⨯⨯===≤⨯⨯ 图 11-8上式表明压杆处于弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。

x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
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约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
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3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
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4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
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A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
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二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
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第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
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§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。

结构力学
—结构的稳定计算和案例
目录 (contents)
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§ 14-1 两类稳定问题的概述
§ 14-2 两类稳定问题计算简例
§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
§ 14-4 无限自由度体系的稳定—静力法
3. 结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确 的结论，但从实用的观点看，小挠度理论也有其 优点，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出 临界荷载的正确值。
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§ 14-3 有限自由度体系的稳定—静力法和能量法
确定临界荷载的基本方法有两类： ① 一类是根据临界状态的静力特征而提出的方 法，称为静力法； ② 另一类是根据临界状态的能量特征而提出的 方法，称为能量法。
P
P
P
EI
EI
1个自由度
2个自由度
无限自由度
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14-2-1 单自由度完善体系的分支点失稳
1. 按大挠度理论分析
平衡条件：
F P (lsin) F R (lc o s) 0
又弹簧反力：
FR klsin
即 (F Pklco s)lsin0
第一解： 0
第二解：FP klcos
2klP kl
1.618
k(k l lP ) P (2 l kp ) 0
P 23klP k2l20
P3 2
5kl02..3681kk28ll
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Pcr0.38k2l ---临界荷载
y2 1.618 ---失稳形式